Operador de rotación (mecánica cuántica)

Operador cuántico

Este artículo trata del operador de rotación , tal como aparece en la mecánica cuántica .

Rotaciones mecánicas cuánticas

Con cada rotación física , postulamos un operador de rotación mecánico cuántico que es la regla que asigna a cada vector en el espacio el vector que también está en . Demostraremos que, en términos de los generadores de rotación, donde es el eje de rotación, es el operador de momento angular y es la constante de Planck reducida . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {D}}(R):H\to H}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle |\alpha \rangle _{R}={\widehat {D}}(R)|\alpha \rangle }$$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle {\widehat {D}}(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot {\widehat {\mathbf {J} }}}{\hbar }}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}}$ ${\displaystyle \hbar }$

El operador de traducción

El operador de rotación , cuyo primer argumento indica el eje de rotación y el segundo el ángulo de rotación, puede operar a través del operador de traslación para rotaciones infinitesimales como se explica a continuación. Por ello, primero se muestra cómo actúa el operador de traslación sobre una partícula en la posición x (la partícula se encuentra entonces en el estado según la Mecánica Cuántica ). ${\displaystyle \operatorname {R} (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)}$ ${\displaystyle |x\rangle }$

Traducción de la partícula en la posición a la posición : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+a}$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle }$

Como una traslación de 0 no cambia la posición de la partícula, tenemos (donde 1 significa el operador identidad , que no hace nada): $${\displaystyle \operatorname {T} (0)=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)}$$

El desarrollo de Taylor da: con $${\displaystyle \operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da}$$ $${\displaystyle p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}}$$

De lo cual se desprende: $${\displaystyle \operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)}$$

Esta es una ecuación diferencial con la solución

$${\displaystyle \operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).}$$

Además, supongamos que un hamiltoniano es independiente de la posición. Como el operador de traslación se puede escribir en términos de , y , sabemos que Este resultado significa que se conserva el momento lineal del sistema. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle [p_{x},H]=0}$ ${\displaystyle [H,\operatorname {T} (a)]=0.}$

En relación con el momento angular orbital

Clásicamente, para el momento angular tenemos lo mismo en mecánica cuántica considerando y como operadores. Clásicamente, una rotación infinitesimal del vector sobre el eje y sin cambios se puede expresar mediante las siguientes traslaciones infinitesimales (usando la aproximación de Taylor ): ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',z)}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}}$$

De lo cual se deduce para los estados: $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle }$$

Y en consecuencia: $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)}$$

Utilizando desde arriba con y la expansión de Taylor obtenemos: con el componente del momento angular de acuerdo con el producto vectorial clásico . $${\displaystyle T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)}$$ ${\displaystyle k=x,y}$ $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots }$$ ${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$ ${\displaystyle z}$

Para obtener una rotación para el ángulo , construimos la siguiente ecuación diferencial utilizando la condición : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {R} (z,0)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

De manera similar al operador de traslación, si se nos da un hamiltoniano que es rotacionalmente simétrico respecto del eje , implica . Este resultado significa que el momento angular se conserva. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [L_{z},H]=0}$ ${\displaystyle [\operatorname {R} (z,t),H]=0}$

Para el momento angular de espín alrededor del eje, por ejemplo, simplemente reemplazamos con (donde es la matriz Y de Pauli ) y obtenemos el operador de rotación de espín . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ $${\displaystyle \operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).}$$

Efecto sobre el operador de espín y los estados cuánticos

Los operadores pueden representarse mediante matrices . Del álgebra lineal se sabe que una determinada matriz puede representarse en otra base mediante la transformación donde es la matriz de transformación de la base. Si los vectores son respectivamente el eje z en una base y en otra, son perpendiculares al eje y con un cierto ángulo entre ellos. El operador de espín de la primera base puede entonces transformarse en el operador de espín de la otra base mediante la siguiente transformación: ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A'=PAP^{-1}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle S_{c}}$ $${\displaystyle S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)}$$

De la mecánica cuántica estándar tenemos los resultados conocidos y donde y son los espines superiores en sus bases correspondientes. Por lo tanto, tenemos: ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle }$ ${\displaystyle |c+\rangle }$ $${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }$$ $${\displaystyle S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle }$$

Comparación con rendimientos . ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle }$

Esto significa que si el estado se gira alrededor del eje en un ángulo , se convierte en el estado , un resultado que puede generalizarse a ejes arbitrarios. ${\displaystyle |c+\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |b+\rangle }$

Véase también

• Simetría en mecánica cuántica
• Base esférica
• Espacio de fase óptica

Referencias

• LD Landau y EM Lifshitz: Mecánica cuántica: teoría no relativista , Pergamon Press, 1985
• PAM Dirac: Los principios de la mecánica cuántica , Oxford University Press, 1958
• RP Feynman, RB Leighton y M. Sands: Las conferencias Feynman sobre física , Addison-Wesley, 1965