Operador de desplazamiento

En el estudio de la mecánica cuántica del espacio de fases ópticas , el operador de desplazamiento para un modo es el operador de desplazamiento en óptica cuántica .

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {a}}\right)}$,

donde es la cantidad de desplazamiento en el espacio de fase óptica , es el conjugado complejo de ese desplazamiento, y y son los operadores de descenso y elevación , respectivamente. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

El nombre de este operador se deriva de su capacidad para desplazar un estado localizado en el espacio de fases en una magnitud . También puede actuar sobre el estado de vacío desplazándolo a un estado coherente . Específicamente, donde es un estado coherente , que es un estado propio del operador de aniquilación (reducción). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Propiedades

El operador de desplazamiento es un operador unitario , y por lo tanto obedece a , donde es el operador identidad. Como , el conjugado hermítico del operador de desplazamiento también se puede interpretar como un desplazamiento de magnitud opuesta ( ). El efecto de aplicar este operador en una transformación de similitud de los operadores de escalera da como resultado su desplazamiento. ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {1}}}$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}$ ${\displaystyle -\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }$

El producto de dos operadores de desplazamiento es otro operador de desplazamiento cuyo desplazamiento total, hasta un factor de fase, es la suma de los dos desplazamientos individuales. Esto se puede comprobar utilizando la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff .

${\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}.}$

Lo que nos muestra que:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}$

Al actuar sobre un elemento propio, el factor de fase aparece en cada término del estado resultante, lo que lo hace físicamente irrelevante. ^[1] ${\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}}$

Esto conduce además a la relación de trenzado.

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta }{\hat {D}}(\beta ){\hat {D}}(\alpha )}$

Expresiones alternativas

La identidad de Kermack-McCrae ofrece dos formas alternativas de expresar el operador de desplazamiento:

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=e^{+{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{+\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}}$

Desplazamiento multimodo

El operador de desplazamiento también se puede generalizar al desplazamiento multimodo. Un operador de creación multimodo se puede definir como

${\displaystyle {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }=\int d\mathbf {k} \psi (\mathbf {k} ){\hat {a}}^{\dagger }(\mathbf {k} )}$,

donde es el vector de onda y su magnitud está relacionada con la frecuencia según . Utilizando esta definición, podemos escribir el operador de desplazamiento multimodo como ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |=\omega _{\mathbf {k} }/c}$

${\displaystyle {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )=\exp \left(\alpha {\hat {A}}_{\psi }^{\dagger }-\alpha ^{\ast }{\hat {A}}_{\psi }\right)}$,

y definir el estado coherente multimodo como

${\displaystyle |\alpha _{\psi }\rangle \equiv {\hat {D}}_{\psi }(\alpha )|0\rangle }$.

Véase también

• Espacio de fase óptica

Referencias

1. Christopher Gerry y Peter Knight: Introducción a la óptica cuántica . Cambridge (Inglaterra): Cambridge UP, 2005.