Espacio de fase óptica

Espacio de fases utilizado en óptica cuántica

Diagrama de fase óptico de la distribución de un estado coherente a través del espacio de fases.

En óptica cuántica , un espacio de fase óptica es un espacio de fase en el que se describen todos los estados cuánticos de un sistema óptico . Cada punto del espacio de fase óptica corresponde a un estado único de un sistema óptico . Para cualquier sistema de este tipo, un gráfico de las cuadraturas entre sí, posiblemente como funciones del tiempo, se denomina diagrama de fase . Si las cuadraturas son funciones del tiempo, entonces el diagrama de fase óptica puede mostrar la evolución de un sistema óptico cuántico con el tiempo.

Un diagrama de fase óptico puede dar una idea de las propiedades y comportamientos del sistema que de otra manera no serían obvios. Esto puede hacer referencia a cualidades del sistema que pueden ser de interés para una persona que estudie un sistema óptico y que serían muy difíciles de deducir de otra manera. Otro uso de un diagrama de fase óptico es que muestra la evolución del estado de un sistema óptico. Esto se puede utilizar para determinar el estado del sistema óptico en cualquier momento.

Información de fondo

Cuando se habla de la teoría cuántica de la luz, es muy común utilizar un oscilador electromagnético como modelo. ^[1] Un oscilador electromagnético describe una oscilación del campo eléctrico. Como el campo magnético es proporcional a la tasa de cambio del campo eléctrico, este también oscila. Tales oscilaciones describen la luz. Los sistemas compuestos por tales osciladores pueden describirse mediante un espacio de fase óptico.

Sea u ( x ,t) una función vectorial que describe un único modo de un oscilador electromagnético . Para simplificar, se supone que este oscilador electromagnético está en el vacío. Un ejemplo es la onda plana dada por

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {u_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$

donde u ₀ es el vector de polarización , k es el vector de onda , la frecuencia y A B denota el producto escalar entre los vectores A y B. Esta es la ecuación para una onda plana y es un ejemplo simple de un oscilador electromagnético de este tipo. Los osciladores que se examinan podrían ser ondas libres en el espacio o algún modo normal contenido en alguna cavidad. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \cdot }$

Se aísla un único modo del oscilador electromagnético del resto del sistema y se examina. Un oscilador de este tipo, cuando se cuantifica, se describe mediante las matemáticas de un oscilador armónico cuántico . ^[1] Los osciladores cuánticos se describen utilizando operadores de creación y aniquilación y . Las cantidades físicas, como la intensidad del campo eléctrico , se convierten entonces en operadores cuánticos . ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$

Para distinguir una cantidad física del operador mecánico cuántico utilizado para describirla, se utiliza un "sombrero" sobre los símbolos de los operadores. Así, por ejemplo, donde podría representar (un componente de) el campo eléctrico , el símbolo denota el operador mecánico cuántico que describe . Esta convención se utiliza en todo este artículo, pero no es de uso común en textos más avanzados, que evitan el sombrero, ya que simplemente satura el texto. ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle {\widehat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$

En el modo de oscilador cuántico, la mayoría de los operadores que representan magnitudes físicas se expresan normalmente en términos de operadores de creación y aniquilación. En este ejemplo, la intensidad del campo eléctrico viene dada por:

${\displaystyle {\widehat {E}}_{i}=u_{i}^{*}(\mathbf {x} ,t){\widehat {a}}^{\dagger }+u_{i}(\mathbf {x} ,t){\widehat {a}}}$^[2]

(donde x _i es un componente único de x , posición). El hamiltoniano de un oscilador electromagnético se obtiene cuantificando el campo electromagnético de este oscilador y la fórmula viene dada por:

${\displaystyle {\widehat {H}}=\hbar \omega ({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}+1/2)}$^[2]

donde es la frecuencia del modo (espacio-temporal). El operador de aniquilación es el operador de aniquilación bosónico y por lo tanto obedece a la relación de conmutación canónica dada por: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle [{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]=1}$

Los estados propios del operador de aniquilación se denominan estados coherentes :

${\displaystyle {\widehat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$

Es importante señalar que el operador de aniquilación no es hermítico , por lo que sus valores propios pueden ser complejos. Esto tiene consecuencias importantes. ${\displaystyle \alpha }$

Finalmente, el número de fotones lo da el operador que da el número de fotones en el modo (espacio-temporal) dado u . ${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}},}$

Cuadraturas

Operadores dados por

${\displaystyle {\widehat {q}}={\tfrac {1}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}})}$

y

${\displaystyle {\widehat {p}}={\tfrac {i}{2}}({\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}})}$

se denominan cuadraturas y representan las partes reales e imaginarias de la amplitud compleja representada por . ^[1] La relación de conmutación entre las dos cuadraturas se puede calcular fácilmente: ${\displaystyle {\widehat {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\widehat {q}},{\widehat {p}}\right]&={\tfrac {i}{4}}[{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}]\\&={\tfrac {i}{4}}([{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]+[{\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger }]-[{\widehat {a}},{\widehat {a}}])\\&={\tfrac {i}{4}}(-(-1)+1)\\&={\tfrac {i}{2}}\end{aligned}}}$

Esto parece muy similar a la relación de conmutación del operador de posición y momento. Por lo tanto, puede ser útil pensar y tratar las cuadraturas como la posición y el momento del oscilador, aunque de hecho son los "componentes en fase y fuera de fase de la amplitud del campo eléctrico del modo espacio-temporal", o u , y no tienen nada que ver realmente con la posición o el momento del oscilador electromagnético (ya que es difícil definir qué se entiende por posición y momento para un oscilador electromagnético). ^[1]

Propiedades de las cuadraturas

Los estados propios de los operadores de cuadratura y se denominan estados de cuadratura. Satisfacen las relaciones: ${\displaystyle {\widehat {q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}}$

• ${\displaystyle {\widehat {q}}|q\rangle =q|q\rangle }$ y ${\displaystyle {\widehat {p}}|p\rangle =p|p\rangle }$

• ${\displaystyle \langle q|q'\rangle =\delta (q-q')}$ y ${\displaystyle \langle p|p'\rangle =\delta (p-p')}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|q\rangle \langle q|\,dq=1}$ y ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|p\rangle \langle p|\,dp=1}$

ya que estos forman conjuntos básicos completos .

Resultado importante

La siguiente es una relación importante que se puede derivar de lo anterior y que justifica nuestra interpretación de que las cuadraturas son las partes reales e imaginarias de un complejo (es decir, los componentes en fase y fuera de fase del oscilador electromagnético). ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }|\alpha \rangle +\langle \alpha |{\widehat {a}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}\langle \alpha |\alpha \rangle +\alpha \langle \alpha |\alpha \rangle )}$

La siguiente es una relación que se puede utilizar para ayudar a evaluar lo anterior y está dada por:

${\displaystyle \langle \alpha '|\alpha \rangle =e^{(-1/2)(|\alpha '|^{2}+|\alpha |^{2})+\alpha '^{*}\alpha }}$^[1]

Esto nos da que:

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle ={\frac {1}{2}}(\alpha ^{*}+\alpha )=q_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle ={\frac {i}{2}}(\alpha ^{*}-\alpha )=p_{\alpha }}$mediante un método similar al anterior.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle +i\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle )={\frac {1}{2}}(q_{\alpha }+ip_{\alpha })}$

Por lo tanto, es solo una composición de las cuadraturas. ${\displaystyle \alpha }$

Otra propiedad muy importante de los estados coherentes se hace muy evidente en este formalismo. Un estado coherente no es un punto en el espacio de fases óptico sino más bien una distribución en él. Esto se puede ver mediante

${\displaystyle q_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {q}}|\alpha \rangle }$

y

${\displaystyle p_{\alpha }=\langle \alpha |{\widehat {p}}|\alpha \rangle }$.

Éstos son sólo los valores esperados de y para el estado . ${\displaystyle {\widehat {q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p}}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Se puede demostrar que las cuadraturas obedecen el Principio de Incertidumbre de Heisenberg dado por:

${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq 1/2}$^[1] (donde y son las varianzas de las distribuciones de q y p, respectivamente) ${\displaystyle \Delta q}$ ${\displaystyle \Delta p}$

Esta desigualdad no tiene por qué estar necesariamente saturada y un ejemplo común de tales estados son los estados coherentes comprimidos . Los estados coherentes son distribuciones de probabilidad gaussianas sobre el espacio de fases localizado alrededor de . ${\displaystyle \alpha }$

Operadores en el espacio de fases

Es posible definir operadores para mover los estados coherentes por el espacio de fases. Estos pueden producir nuevos estados coherentes y permitirnos movernos por el espacio de fases.

Operador de cambio de fase

Operador de desplazamiento de fase que actúa sobre un estado coherente rotándolo en un ángulo en el espacio de fases. ${\displaystyle \theta }$

El operador de desplazamiento de fase hace rotar el estado coherente en un ángulo en el espacio de fase óptico. Este operador viene dado por: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )=e^{-\imath \,\theta {\widehat {N}}}}$ ^[1]

donde es el operador numérico del modo de radiación considerado. ${\displaystyle {\widehat {N}}={\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}}$

La relación importante

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}(\theta )={\widehat {a}}e^{-i\theta }}$

se deriva de la siguiente manera:

${\displaystyle d/d\theta ({\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}})=i{\widehat {N}}{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}{\widehat {N}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {N}},{\widehat {a}}]{\widehat {U}}}$

${\displaystyle ={\widehat {U}}^{\dagger }i({\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}){\widehat {U}}={\widehat {U}}^{\dagger }i[{\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]{\widehat {a}}{\widehat {U}}=-i{\widehat {U}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {U}}}$

y resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene el resultado deseado.

Así pues, utilizando lo anterior queda claro que

${\displaystyle {\widehat {U}}(\theta )|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle }$,

o una rotación en un ángulo theta sobre el estado coherente en el espacio de fases. Lo siguiente lo ilustra con más claridad:

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}{\widehat {a}}e^{-i\theta }|\alpha \rangle }$

(que se obtiene utilizando el hecho de que el operador de cambio de fase es unitario

${\displaystyle {\widehat {a}}({\widehat {U}}|\alpha \rangle )={\widehat {U}}\alpha e^{-i\theta }|\alpha \rangle =\alpha e^{-i\theta }({\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

De este modo,

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta },{\widehat {U}}|\alpha \rangle )}$

es el par propio de

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {U}}|\alpha \rangle }$.

De esto se desprende que

${\displaystyle (\alpha e^{-i\theta }=2^{-1/2}[q_{\alpha }\cos(\theta )+p_{\alpha }\sin(\theta )]+i2^{-1/2}[-q_{\alpha }\sin(\theta )+p_{\alpha }\cos(\theta )],{\widehat {U}}|\alpha \rangle =|\alpha e^{-i\theta }\rangle )}$

que es otra forma de expresar el par propio que ilustra más claramente los efectos del operador de cambio de fase en estados coherentes.

Operador de desplazamiento

Operador de desplazamiento que actúa sobre un estado coherente desplazándolo por algún valor en el espacio de fases. ${\displaystyle \alpha }$

El operador de desplazamiento es un operador unitario que toma un estado coherente y lo convierte en otro estado coherente. El operador de desplazamiento está dado por

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )=e^{\alpha {\widehat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\widehat {a}}}}$

y su nombre proviene de una relación importante

${\displaystyle {\widehat {a}}(\alpha )\equiv {\widehat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {a}}+\alpha }$.

De hecho, introduzcamos temporalmente con real y consideremos cómo varía cuando cambia de 0 a 1. Diferenciando con respecto a , encontramos ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(s\alpha )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}{\widehat {a}}(s)=D^{\dagger }(s\alpha )[\alpha ^{*}{\widehat {a}}-\alpha {\widehat {a}}^{\dagger },{\widehat {a}}]D(s\alpha )=\alpha ,}$

de modo que ${\displaystyle {\widehat {a}}(s)={\widehat {a}}(0)+s\alpha .}$

Dado que los estados coherentes son estados propios tanto del operador de aniquilación como del operador de multiplicación por un número, es fácil ver que, de hecho, el operador de desplazamiento mueve los estados coherentes o, más precisamente,

${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle .}$

De hecho, la relación derivada anteriormente se puede reescribir como , entonces ${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )}$

${\displaystyle {\widehat {a}}{\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )({\widehat {a}}+\alpha )|\beta \rangle =(\alpha +\beta ){\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle .}$

Por lo tanto, es un estado propio del operador de aniquilación con el valor propio , por lo tanto . ${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle {\widehat {D}}(\alpha )|\beta \rangle =|\alpha +\beta \rangle }$

En particular,

${\displaystyle {\widehat {D}}(-\alpha )|\alpha \rangle =|0\rangle }$

Lo que conduce a

${\displaystyle |\alpha \rangle ={\widehat {D}}(\alpha )|0\rangle }$.

Esto es importante porque muestra que todos los estados coherentes pueden obtenerse como desplazamientos del estado fundamental , que en óptica también es el estado de vacío .

Véase también

• Luz no clásica
• Operador de rotación (mecánica cuántica)
• Oscilador armónico cuántico
• Distribución de cuasiprobabilidad
• Representación de Husimi Q
• Estado coherente comprimido
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Referencias

1. Leonhardt, Ulf (2005). Medición del estado cuántico de la luz . Cambridge: Cambridge University Press . Págs. 18-29. ISBN. 0-521-02352-1.
2. Scully, Marlan; Zubairy, M. Suhail (1997). Óptica cuántica . Cambridge: Cambridge University Press . pp. 5. ISBN. 0-521-43595-1.