Distribución de cuasiprobabilidad

Concepto en estadística

Una distribución de cuasiprobabilidad es un objeto matemático similar a una distribución de probabilidad pero que relaja algunos de los axiomas de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad . Las distribuciones de cuasiprobabilidad surgen naturalmente en el estudio de la mecánica cuántica cuando se tratan en la formulación del espacio de fases , comúnmente utilizada en óptica cuántica , análisis de tiempo-frecuencia , ^[1] y en otros lugares.

Las cuasiprobabilidades comparten varias características generales con las probabilidades ordinarias, como, fundamentalmente, la capacidad de producir valores esperados con respecto a los pesos de la distribución . Sin embargo, pueden violar el axioma de σ -aditividad : la integración sobre ellas no produce necesariamente probabilidades de estados mutuamente excluyentes. Las distribuciones de cuasiprobabilidad también tienen regiones de densidad de probabilidad negativa , contradiciendo de manera contraria a la intuición el primer axioma .

Introducción

En la forma más general, la dinámica de un sistema mecánico cuántico está determinada por una ecuación maestra en el espacio de Hilbert : una ecuación de movimiento para el operador de densidad (generalmente escrito ) del sistema. El operador de densidad se define con respecto a una base ortonormal completa . Aunque es posible integrar directamente esta ecuación para sistemas muy pequeños (es decir, sistemas con pocas partículas o grados de libertad), esto rápidamente se vuelve intratable para sistemas más grandes. Sin embargo, es posible demostrar ^[2] que el operador de densidad siempre se puede escribir en forma diagonal , siempre que sea con respecto a una base sobrecompleta . Cuando el operador de densidad se representa en una base sobrecompleta de este tipo, entonces se puede escribir de una manera más parecida a una función ordinaria, a expensas de que la función tenga las características de una distribución de cuasiprobabilidad. La evolución del sistema está entonces completamente determinada por la evolución de la función de distribución de cuasiprobabilidad. ${\displaystyle {\widehat {\rho }}}$

Los estados coherentes , es decir, los estados propios correctos del operador de aniquilación, sirven como base sobrecompleta en la construcción descrita anteriormente. Por definición, los estados coherentes tienen la siguiente propiedad: ${\displaystyle {\widehat {a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}}$

También tienen otras propiedades interesantes. Por ejemplo, no hay dos estados coherentes que sean ortogonales. De hecho, si | α〉 y | β〉 son un par de estados coherentes, entonces

${\displaystyle \langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).}$

Nótese que estos estados, sin embargo, están correctamente normalizados con 〈α  |  α〉 = 1. Debido a la completitud de la base de los estados de Fock , la elección de la base de los estados coherentes debe ser sobrecompleta. ^[3] Haga clic para mostrar una prueba informal.

Sin embargo, en la base de estados coherentes, siempre es posible ^[2] expresar el operador de densidad en forma diagonal

${\displaystyle {\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha }$

donde f es una representación de la distribución del espacio de fases. Esta función f se considera una densidad de cuasiprobabilidad porque tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1}$(normalización)
• Si es un operador que puede expresarse como una serie de potencias de los operadores de creación y aniquilación en un ordenamiento Ω, entonces su valor esperado es ${\displaystyle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })}$

${\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}}$( teorema de equivalencia óptica ).

Existe una familia de representaciones diferentes, cada una conectada a un ordenamiento diferente Ω. La más popular en la literatura de física general e históricamente la primera de ellas es la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner ^[4] , que está relacionada con el ordenamiento simétrico de operadores. En óptica cuántica específicamente, a menudo los operadores de interés, especialmente el operador de número de partículas , se expresan naturalmente en orden normal . En ese caso, la representación correspondiente de la distribución del espacio de fases es la representación P de Glauber–Sudarshan . ^[5] La naturaleza cuasiprobabilística de estas distribuciones del espacio de fases se entiende mejor en la representación P debido a la siguiente declaración clave: ^[6]

Si el sistema cuántico tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado coherente o radiación térmica , entonces P es no negativo en todas partes, como una distribución de probabilidad ordinaria. Sin embargo, si el sistema cuántico no tiene análogo clásico, por ejemplo, un estado de Fock incoherente o un sistema entrelazado , entonces P es negativo en alguna parte o más singular que una función delta .

Esta afirmación general no es válida en otras representaciones. Por ejemplo, la función de Wigner del estado EPR es definida positiva pero no tiene un análogo clásico. ^{[7] [8]}

Además de las representaciones definidas anteriormente, existen muchas otras distribuciones de cuasiprobabilidad que surgen en representaciones alternativas de la distribución del espacio de fases. Otra representación popular es la representación Q de Husimi , ^[9] que es útil cuando los operadores están en orden antinormal . Más recientemente, se han utilizado la representación P positiva y una clase más amplia de representaciones P generalizadas para resolver problemas complejos en óptica cuántica. Todas ellas son equivalentes e interconvertibles entre sí, a saber, la función de distribución de clase de Cohen .

Funciones características

De manera análoga a la teoría de la probabilidad, las distribuciones de cuasiprobabilidad cuántica pueden escribirse en términos de funciones características , de las cuales pueden derivarse todos los valores esperados de los operadores. Las funciones características para las distribuciones P y Q de Wigner, Glauber de un sistema de N modos son las siguientes:

• ${\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$
• ${\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})}$
• ${\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})}$

Aquí y son vectores que contienen los operadores de aniquilación y creación para cada modo del sistema. Estas funciones características se pueden utilizar para evaluar directamente los valores esperados de los momentos de los operadores. El orden de los operadores de aniquilación y creación en estos momentos es específico de la función característica particular. Por ejemplo, los momentos ordenados normalmente (los operadores de creación preceden a los operadores de aniquilación) se pueden evaluar de la siguiente manera a partir de : ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \chi _{P}\,}$

${\displaystyle \langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}$

De la misma manera, los valores esperados de combinaciones antinormalmente ordenadas y simétricamente ordenadas de operadores de aniquilación y creación pueden evaluarse a partir de las funciones características para las distribuciones Q y Wigner, respectivamente. Las funciones de cuasiprobabilidad se definen como transformadas de Fourier de las funciones características anteriores. Es decir,

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}$

Aquí y pueden identificarse como amplitudes de estado coherentes en el caso de las distribuciones P y Q de Glauber, pero simplemente como números c para la función de Wigner. Dado que la diferenciación en el espacio normal se convierte en multiplicación en el espacio de Fourier, los momentos pueden calcularse a partir de estas funciones de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha _{j}\,}$ ${\displaystyle \alpha _{k}^{*}}$

• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$
• ${\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }$

Aquí se denota ordenamiento simétrico. ${\displaystyle (\cdots )_{S}}$

Todas estas representaciones están interrelacionadas a través de la convolución mediante funciones gaussianas y transformadas de Weierstrass .

• ${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }$
• ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }$

o, utilizando la propiedad de que la convolución es asociativa ,

• ${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.}$

Resulta que

• ${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,}$

una integral a menudo divergente, lo que indica que P es a menudo una distribución. Q siempre es más amplia que P para la misma matriz de densidad. ^[10]

Por ejemplo, para un estado térmico,

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~~,}$

Uno tiene

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~~~.}$

Evolución temporal y correspondencias entre operadores

Dado que cada una de las transformaciones anteriores de ρ a las funciones de distribución es lineal , la ecuación de movimiento para cada distribución se puede obtener realizando las mismas transformaciones a . Además, como cualquier ecuación maestra que se pueda expresar en forma de Lindblad se describe completamente mediante la acción de combinaciones de operadores de aniquilación y creación sobre el operador de densidad, es útil considerar el efecto que tienen dichas operaciones sobre cada una de las funciones de cuasiprobabilidad. ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$

Por ejemplo, considere el operador de aniquilación que actúa sobre ρ . Para la función característica de la distribución P tenemos ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\,}$

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}$

Tomando la transformada de Fourier con respecto a para encontrar la acción correspondiente en la función P de Glauber, encontramos ${\displaystyle \mathbf {z} \,}$

${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).}$

Siguiendo este procedimiento para cada una de las distribuciones anteriores, se pueden identificar las siguientes correspondencias de operadores :

• ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$
• ${\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}$

Aquí κ = 0, 1/2 o 1 para las distribuciones P, Wigner y Q, respectivamente. De esta manera, las ecuaciones maestras pueden expresarse como ecuaciones de movimiento de funciones de cuasiprobabilidad.

Ejemplos

Estado coherente

Por construcción, P para un estado coherente es simplemente una función delta: ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).}$

Las representaciones de Wigner y Q se desprenden inmediatamente de las fórmulas de convolución gaussiana anteriores,

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}$

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.}$

La representación de Husimi también se puede encontrar utilizando la fórmula anterior para el producto interno de dos estados coherentes,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}$

Estado de Fock

La representación P de un estado de Fock es ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}$

Dado que para n>0 esto es más singular que una función delta, un estado de Fock no tiene análogo clásico. La no clasicidad es menos transparente a medida que se avanza con las convoluciones gaussianas. Si L _n es el n-ésimo polinomio de Laguerre , W es

${\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,}$

que puede volverse negativo pero está limitado.

Q , por el contrario, siempre permanece positiva y acotada,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.}$

Oscilador armónico cuántico amortiguado

Consideremos el oscilador armónico cuántico amortiguado con la siguiente ecuación maestra,

${\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).}$

Esto da como resultado la ecuación de Fokker-Planck ,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma (\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),}$

donde κ  = 0, 1/2, 1 para las representaciones P , W y Q , respectivamente.

Si el sistema está inicialmente en el estado coherente , entonces esta ecuación tiene la solución ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$

${\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right)}~~.}$

Véase también

• Espacio de Kerin

Referencias

1. L. Cohen (1995), Análisis de tiempo-frecuencia: teoría y aplicaciones , Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN  0-13-594532-1
2. Sudarshan, ECG (1963-04-01). "Equivalencia de descripciones semiclásicas y mecánico-cuánticas de haces de luz estadísticos". Physical Review Letters . 10 (7). American Physical Society (APS): 277–279. Bibcode :1963PhRvL..10..277S. doi :10.1103/physrevlett.10.277. ISSN  0031-9007.
3. Klauder, John R (1960). "La opción de acción y una cuantificación de Feynman de campos de espinores en términos de números c ordinarios". Anales de Física . 11 (2). Elsevier BV: 123–168. Bibcode :1960AnPhy..11..123K. doi :10.1016/0003-4916(60)90131-7. ISSN  0003-4916.
4. Wigner, E. (1 de junio de 1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico". Physical Review . 40 (5). American Physical Society (APS): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/physrev.40.749. ISSN  0031-899X.
5. Glauber, Roy J. (15 de septiembre de 1963). "Estados coherentes e incoherentes del campo de radiación". Physical Review . 131 (6). American Physical Society (APS): 2766–2788. Bibcode :1963PhRv..131.2766G. doi :10.1103/physrev.131.2766. ISSN  0031-899X.
6. Mandel, L .; Wolf, E. (1995), Coherencia óptica y óptica cuántica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2
7. Cohen, O. (1997-11-01). "No localidad del estado original de Einstein-Podolsky-Rosen". Physical Review A . 56 (5). American Physical Society (APS): 3484–3492. Bibcode :1997PhRvA..56.3484C. doi :10.1103/physreva.56.3484. ISSN  1050-2947.
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10. Wolfgang Schleich, Óptica cuántica en el espacio de fases , (Wiley-VCH, 2001) ISBN 978-3527294350 
11. HJ Carmichael, Métodos estadísticos en óptica cuántica I: ecuaciones maestras y ecuaciones de Fokker-Planck , Springer-Verlag (2002).
12. CW Gardiner, Ruido cuántico , Springer-Verlag (1991).