Operador de número de partícula

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , para los sistemas donde el número total de partículas no se puede conservar, el operador numérico es el observable que cuenta el número de partículas.

Lo siguiente está en notación entre corchetes : El operador numérico actúa en el espacio de Fock . Sea

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$$

sea ​​un estado de Fock , compuesto de estados de una sola partícula extraídos de una base del espacio de Hilbert subyacente del espacio de Fock. Dados los operadores de creación y aniquilación correspondientes y definimos el operador de número por ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}$ ${\displaystyle a(\phi _{i})\,}$

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$$

y tenemos

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$$

donde es el número de partículas en el estado . La igualdad anterior se puede demostrar notando que entonces ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}}$$

Véase también

• Oscilador armónico
• Oscilador armónico cuántico
• Segunda cuantificación
• Teoría cuántica de campos
• Termodinámica
• (-1) ^F

Referencias

• Bruus, Henrik; Flensberg, Karsten (2004). Teoría cuántica de muchos cuerpos en física de la materia condensada: una introducción . Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6.
• Segundas notas de cuantificación de Fradkin