Representación de Husimi Q

Herramienta de simulación de física computacional.

La representación Husimi Q , introducida por Kôdi Husimi en 1940, ^[1] es una distribución de cuasiprobabilidad comúnmente utilizada en mecánica cuántica ^[2] para representar la distribución del espacio de fases de un estado cuántico como la luz en la formulación del espacio de fases . ^[3] Se utiliza en el campo de la óptica cuántica ^[4] y particularmente con fines tomográficos . También se aplica en el estudio de los efectos cuánticos en superconductores . ^[5]

Distribución Husimi del estado coherente exprimido.

Función de distribución de Husimi de tres estados coherentes fusionados

Definición y propiedades

La distribución Husimi Q (llamada función Q en el contexto de la óptica cuántica ) es una de las distribuciones de cuasiprobabilidad más simples en el espacio de fases . Está construido de tal manera que los observables escritos en orden antinormal siguen el teorema de equivalencia óptica . Esto significa que es esencialmente la matriz de densidad puesta en orden normal . Esto hace que sea relativamente fácil de calcular en comparación con otras distribuciones de cuasi probabilidad mediante la fórmula

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle ,}$

que es proporcional a una traza del operador que implica la proyección al estado coherente . Produce una representación pictórica del estado ρ para ilustrar varias de sus propiedades matemáticas. ^[6] Su relativa facilidad de cálculo está relacionada con su suavidad en comparación con otras distribuciones de cuasi probabilidad. De hecho, puede entenderse como la transformada de Weierstrass de la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner , es decir, un suavizado mediante un filtro gaussiano . ${\displaystyle {\hat {\rho }}|\alpha \rangle \langle \alpha |}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle Q(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta )e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta .}$

Al ser tales transformadas de Gauss esencialmente invertibles en el dominio de Fourier mediante el teorema de convolución , Q proporciona una descripción de la mecánica cuántica en el espacio de fases equivalente a la proporcionada por la distribución de Wigner.

Alternativamente, se puede calcular la distribución Husimi Q tomando la transformada de Segal-Bargmann de la función de onda y luego calculando la densidad de probabilidad asociada.

Q está normalizado a la unidad,

${\displaystyle \int Q(\alpha )\,d\alpha ^{2}=1}$

y es definida no negativa ^[7] y acotada :

${\displaystyle 0\leq Q(\alpha )\leq {\frac {1}{\pi }}.}$

A pesar de que Q es definida no negativa y acotada como una distribución de probabilidad conjunta estándar , esta similitud puede ser engañosa, porque diferentes estados coherentes no son ortogonales. Dos puntos diferentes α no representan contingencias físicas disjuntas; por lo tanto, Q(α) no representa la probabilidad de estados mutuamente excluyentes , como se necesita en el tercer axioma de la teoría de la probabilidad .

Q también se puede obtener mediante una transformada de Weierstrass diferente de la representación P de Glauber-Sudarshan ,

${\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ,}$

dado , y el producto interno estándar de estados coherentes. ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\beta ,\beta ^{*})|{\beta }\rangle \langle {\beta }|\,d^{2}\beta }$

Ver también

• Distribución de cuasiprobabilidad § Funciones características
• Luz no clásica
• Representación P de Glauber-Sudarshan
• Entropía de Wehrl

Referencias

1. Kodi Husimi (1940). "Algunas propiedades formales de la matriz de densidad", Proc. Física. Matemáticas. Soc. Japón. 22 : 264-314.
2. Dirac, PAM (1982). Los principios de la mecánica cuántica (Cuarta ed.). Oxford Reino Unido: Oxford University Press. pag. 18 y sigs. ISBN 0-19-852011-5.
3. Ulf Leonhardt (1997). Medición del estado cuántico de la luz , Estudios de Cambridge en Óptica Moderna. ISBN 0521497302 , ISBN 978-0521497305 .  
4. HJ Carmichael (2002). Métodos estadísticos en óptica cuántica I: ecuaciones maestras y ecuaciones de Fokker-Planck , Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54882-9 
5. Callaway, DJE (1990). "Sobre la notable estructura del estado intermedio superconductor". Física Nuclear B. 344 (3): 627–645. Código bibliográfico : 1990NuPhB.344..627C. doi :10.1016/0550-3213(90)90672-Z.
6. Cosmas K. Zachos , David B. Fairlie y Thomas L. Curtright (2005). Mecánica cuántica en el espacio de fases , (World Scientific, Singapur) ISBN 978-981-238-384-6 [1]. 
7. Cartwright, Dakota del Norte (1975). "Una distribución de tipo Wigner no negativa". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 83 (1): 210–818. Código bibliográfico : 1976PhyA...83..210C. doi :10.1016/0378-4371(76)90145-X.