Representación de Glauber-Sudarshan P

La representación P de Glauber-Sudarshan es una forma sugerida de escribir la distribución del espacio de fases de un sistema cuántico en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica. La representación P es la distribución de cuasi probabilidad en la que los observables se expresan en orden normal . En óptica cuántica , esta representación, formalmente equivalente a varias otras representaciones, ^{[1] [2]} a veces se prefiere a otras representaciones alternativas para describir la luz en el espacio de fase óptico , porque los observables ópticos típicos, como el operador de número de partículas , se expresan de forma natural. en orden normal. Lleva el nombre de George Sudarshan ^[3] y Roy J. Glauber , ^[4] quienes trabajaron en el tema en 1963. ^[5] A pesar de muchas aplicaciones útiles en la teoría del láser y la teoría de la coherencia, la representación Sudarshan-Glauber P tiene la peculiaridad de que no siempre es positiva y no es una función de probabilidad auténtica.

Definición

Deseamos construir una función con la propiedad de que la matriz de densidad es diagonal en base a estados coherentes , es decir, ${\displaystyle P(\alpha )}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|\alpha \rangle \}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\int P(\alpha )|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\qquad d^{2}\alpha \equiv d\,{\rm {Re}}(\alpha )\,d\,{\rm {Im}}(\alpha ).}$

También deseamos construir la función de manera que el valor esperado de un operador normalmente ordenado satisfaga el teorema de equivalencia óptica . Esto implica que la matriz de densidad debe estar en orden antinormal para que podamos expresar la matriz de densidad como una serie de potencias.

${\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}=\sum _{j,k}c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}{\hat {a}}^{\dagger k}.}$

Insertando el operador de identidad

${\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{\pi }}\int |{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,}$

vemos eso

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{A}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot {\hat {a}}^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|{\hat {a}}^{\dagger k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{j,k}\int c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\alpha ^{*k}\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \sum _{j,k}c_{j,k}\cdot \alpha ^{j}\alpha ^{*k}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha \\&={\frac {1}{\pi }}\int \rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*})|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|\,d^{2}\alpha ,\end{aligned}}}$

y así asignamos formalmente

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi }}\rho _{A}(\alpha ,\alpha ^{*}).}$

Se necesitan fórmulas integrales más útiles para P para cualquier cálculo práctico. Un método ^[6] es definir la función característica

${\displaystyle \chi _{N}(\beta )=\operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot e^{i\beta \cdot {\hat {a}}^{\dagger }}e^{i\beta ^{*}\cdot {\hat {a}}})}$

y luego tomamos la transformada de Fourier

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int \chi _{N}(\beta )e^{-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Otra fórmula integral útil para P es ^[7]

${\displaystyle P(\alpha )={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{\pi ^{2}}}\int \langle -\beta |{\hat {\rho }}|\beta \rangle e^{|\beta |^{2}-\beta \alpha ^{*}+\beta ^{*}\alpha }\,d^{2}\beta .}$

Tenga en cuenta que ambas fórmulas integrales no convergen en ningún sentido habitual para los sistemas "típicos". También podemos usar los elementos de la matriz en la base de Fock . La siguiente fórmula muestra que siempre es posible ^[3] escribir la matriz de densidad en esta forma diagonal sin recurrir a los ordenamientos de los operadores usando la inversión (dada aquí para un solo modo), ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$

${\displaystyle P(\alpha )=\sum _{n}\sum _{k}\langle n|{\hat {\rho }}|k\rangle {\frac {\sqrt {n!k!}}{2\pi r(n+k)!}}e^{r^{2}-i(n-k)\theta }\left[\left(-{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{n+k}\delta (r)\right],}$

donde r y θ son la amplitud y fase de α . Aunque se trata de una solución formal completa de esta posibilidad, requiere infinitas derivadas de funciones delta de Dirac , mucho más allá del alcance de cualquier teoría de distribución moderada ordinaria .

Discusión

Si el sistema cuántico tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado coherente o radiación térmica , entonces P no es negativo en todas partes, como una distribución de probabilidad ordinaria. Sin embargo, si el sistema cuántico no tiene un análogo clásico, por ejemplo, un estado de Fock incoherente o un sistema entrelazado , entonces P es negativo en algún lugar o más singular que una función delta de Dirac. (Según un teorema de Schwartz , las distribuciones que son más singulares que la función delta de Dirac son siempre negativas en alguna parte). Tal " probabilidad negativa " o alto grado de singularidad es una característica inherente a la representación y no disminuye el significado de los valores esperados tomados. con respecto a P. Sin embargo, incluso si P se comporta como una distribución de probabilidad ordinaria, la cuestión no es tan simple. Según Mandel y Wolf: "Los diferentes estados coherentes no son [mutuamente] ortogonales, de modo que incluso si se comportara como una verdadera [función] de densidad de probabilidad, no describiría probabilidades de estados mutuamente excluyentes". ^[8] ${\displaystyle P(\alpha )}$

Ejemplos

Radiación termal

A partir de argumentos de mecánica estadística basados ​​en la base de Fock, se sabe que el número medio de fotones de un modo con vector de onda k y estado de polarización s para un cuerpo negro a una temperatura T es

${\displaystyle \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle ={\frac {1}{e^{\hbar \omega /k_{B}T}-1}}.}$

La representación P del cuerpo negro es

${\displaystyle P(\{\alpha _{\mathbf {k} ,s}\})=\prod _{\mathbf {k} ,s}{\frac {1}{\pi \langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }}e^{-|\alpha |^{2}/\langle {\hat {n}}_{\mathbf {k} ,s}\rangle }.}$

En otras palabras, cada modo del cuerpo negro se distribuye normalmente en base a estados coherentes. Dado que P es positivo y acotado, este sistema es esencialmente clásico. En realidad, este es un resultado bastante notable porque para el equilibrio térmico la matriz de densidad también es diagonal en la base de Fock, pero los estados de Fock no son clásicos.

Ejemplo muy singular

Incluso estados de apariencia muy simple pueden exhibir un comportamiento muy no clásico. Considere una superposición de dos estados coherentes.

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{0}|\alpha _{0}\rangle +c_{1}|\alpha _{1}\rangle }$

donde c ₀ , c ₁ son constantes sujetas a la restricción de normalización

${\displaystyle 1=|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).}$

Tenga en cuenta que esto es bastante diferente de un qubit porque y no son ortogonales. Como es sencillo de calcular , podemos usar la fórmula de Mehta anterior para calcular P , ${\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha _{1}\rangle }$ ${\displaystyle \langle -\alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =\langle -\alpha |\psi \rangle \langle \psi |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\alpha )={}&|c_{0}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0})+|c_{1}|^{2}\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}^{*}c_{1}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{1}^{*}-\alpha _{0}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{0}-\alpha _{1})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})\\[5pt]&{}+2c_{0}c_{1}^{*}e^{|\alpha |^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{0}|^{2}-{\frac {1}{2}}|\alpha _{1}|^{2}}e^{(\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})\cdot \partial /\partial (2\alpha ^{*}-\alpha _{0}^{*}-\alpha _{1}^{*})}e^{(\alpha _{1}-\alpha _{0})\cdot \partial /\partial (2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1})}\cdot \delta ^{2}(2\alpha -\alpha _{0}-\alpha _{1}).\end{aligned}}}$

A pesar de tener infinitas derivadas de funciones delta, P todavía obedece el teorema de equivalencia óptica. Si el valor esperado del operador numérico, por ejemplo, se toma con respecto al vector de estado o como un promedio del espacio de fase con respecto a P , los dos valores esperados coinciden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {n}}|\psi \rangle &=\int P(\alpha )|\alpha |^{2}\,d^{2}\alpha \\&=|c_{0}\alpha _{0}|^{2}+|c_{1}\alpha _{1}|^{2}+2e^{-(|\alpha _{0}|^{2}+|\alpha _{1}|^{2})/2}\operatorname {Re} \left(c_{0}^{*}c_{1}\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}e^{\alpha _{0}^{*}\alpha _{1}}\right).\end{aligned}}}$

Ver también

• Distribución de cuasiprobabilidad § Funciones características
• Luz no clásica
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
• Representación de Husimi Q
• Controversias del Premio Nobel

Referencias

Citas

1. L. Cohen (1966). "Funciones generalizadas de distribución del espacio de fases". J. Matemáticas. Física . 7 (5): 781–786. Código bibliográfico : 1966JMP......7..781C. doi :10.1063/1.1931206.
2. L. Cohen (1976). "Problema de cuantificación y principio variacional en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica". J. Matemáticas. Física . 17 (10): 1863–1866. Código bibliográfico : 1976JMP....17.1863C. doi : 10.1063/1.522807.
3. ECG Sudarshan (1963). "Equivalencia de descripciones mecánicas cuánticas y semiclásicas de haces de luz estadísticos". Física. Rev. Lett . 10 (7): 277–279. Código bibliográfico : 1963PhRvL..10..277S. doi :10.1103/PhysRevLett.10.277.
4. RJ Glauber (1963). "Estados coherentes e incoherentes del campo de radiación". Física. Rdo . 131 (6): 2766–2788. Código bibliográfico : 1963PhRv..131.2766G. doi : 10.1103/PhysRev.131.2766.
5. Fue objeto de controversia cuando Glauber recibió una parte del Premio Nobel de Física de 2005 por su trabajo en este campo y la contribución de George Sudarshan no fue reconocida, cf. Zhou, Lulú (6 de diciembre de 2005). "Los científicos cuestionan el Nobel". El carmesí de Harvard . Consultado el 28 de abril de 2016 .. El artículo de Sudarshan se recibió en Physical Review Letters el 1 de marzo de 1963 y se publicó el 1 de abril de 1963, mientras que el artículo de Glauber se recibió en Physical Review el 29 de abril de 1963 y se publicó el 15 de septiembre de 1963.
6. CL Mehta; ECG Sudarshan (1965). "Relación entre la descripción cuántica y semiclásica de la coherencia óptica". Física. Rdo . 138 (1B): B274–B280. Código bibliográfico : 1965PhRv..138..274M. doi :10.1103/PhysRev.138.B274.
7. CL Mehta (1967). "Representación diagonal en estado coherente de operadores cuánticos". Física. Rev. Lett . 18 (18): 752–754. Código bibliográfico : 1967PhRvL..18..752M. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.752.
8. Mandel y Wolf 1995, pág. 541

Bibliografía

Mandel, L .; Wolf, E. (1995), Coherencia óptica y óptica cuántica , Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2