Estado coherente

Estado cuántico específico de un oscilador armónico cuántico

En física , específicamente en mecánica cuántica , un estado coherente es el estado cuántico específico del oscilador armónico cuántico , a menudo descrito como un estado que tiene una dinámica que se asemeja más al comportamiento oscilatorio de un oscilador armónico clásico . Fue el primer ejemplo de dinámica cuántica cuando Erwin Schrödinger lo derivó en 1926, mientras buscaba soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisficieran el principio de correspondencia . ^[1] El oscilador armónico cuántico (y por tanto los estados coherentes) surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. ^[2] Por ejemplo, un estado coherente describe el movimiento oscilante de una partícula confinada en un pozo de potencial cuadrático (para una referencia temprana, consulte, por ejemplo, el libro de texto de Schiff ^[3] ). El estado coherente describe un estado en un sistema en el que el paquete de ondas del estado fundamental está desplazado del origen del sistema. Este estado puede relacionarse con soluciones clásicas mediante una partícula que oscila con una amplitud equivalente al desplazamiento.

Estos estados, expresados ​​como vectores propios del operador descendente y que forman una familia sobrecompleta , se introdujeron en los primeros artículos de John R. Klauder , por ejemplo, ^[4] En la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías de campos cuánticos bosónicos , coherentes. Los estados fueron introducidos por el trabajo de Roy J. Glauber en 1963 y también se conocen como estados de Glauber .

El concepto de estados coherentes se ha abstraído considerablemente; se ha convertido en un tema importante en física matemática y en matemáticas aplicadas , con aplicaciones que van desde la cuantificación hasta el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes (ver Estados coherentes en física matemática ). Por esta razón, los estados coherentes asociados al oscilador armónico cuántico a veces se denominan estados coherentes canónicos (CCS), estados coherentes estándar , estados gaussianos o estados del oscilador.

Estados coherentes en óptica cuántica.

Figura 1: El campo eléctrico, medido mediante detección óptica homodina , en función de la fase para tres estados coherentes emitidos por un láser Nd:YAG. La cantidad de ruido cuántico en el campo eléctrico es completamente independiente de la fase. A medida que aumenta la intensidad del campo, es decir, la amplitud de oscilación α del estado coherente, el ruido cuántico o incertidumbre es constante en 1/2, y por lo tanto se vuelve cada vez menos significativo. En el límite de un campo grande, el estado se convierte en una buena aproximación de una onda clásica estable y silenciosa. El número promedio de fotones de los tres estados de arriba a abajo es ⟨n⟩ =4.2, 25.2, 924.5 ^[5]

Figura 2: El paquete de ondas oscilantes correspondiente al segundo estado coherente representado en la Figura 1. En cada fase del campo luminoso, la distribución es gaussiana de ancho constante.

Figura 3: Función de Wigner del estado coherente representado en la Figura 2. La distribución se centra en la amplitud α del estado y es simétrica alrededor de este punto . Las ondas se deben a errores experimentales.

En óptica cuántica, el estado coherente se refiere a un estado del campo electromagnético cuantificado , etc. ^{[2] [6] [7]} que describe un tipo máximo de coherencia y un tipo clásico de comportamiento. Erwin Schrödinger lo derivó como un paquete de ondas gaussiano de " incertidumbre mínima " en 1926, buscando soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisficieran el principio de correspondencia . ^[1] Es un estado de incertidumbre mínima , con el único parámetro libre elegido para hacer que la dispersión relativa (desviación estándar en unidades naturales adimensionales) sea igual para la posición y el impulso, siendo cada uno igualmente pequeño a alta energía.

Además, a diferencia de los estados propios energéticos del sistema, la evolución temporal de un estado coherente se concentra a lo largo de las trayectorias clásicas . El oscilador armónico lineal cuántico y, por tanto, los estados coherentes, surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. Ocurren en la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías de campos cuánticos bosónicos .

Si bien los paquetes de ondas gaussianas de incertidumbre mínima eran bien conocidos, no atrajeron toda la atención hasta que Roy J. Glauber , en 1963, proporcionó una descripción teórica cuántica completa de la coherencia en el campo electromagnético. ^[8] A este respecto, no se debe omitir la contribución concurrente de ECG Sudarshan , ^[9] (hay, sin embargo, una nota en el artículo de Glauber que dice: "Los usos de estos estados como funciones generadoras para los estados cuánticos tienen, Sin embargo, fue realizado por J. Schwinger ^[10] ). Se pidió a Glauber que hiciera esto para proporcionar una descripción del experimento de Hanbury-Brown & Twiss , que generó patrones de interferencia de línea de base muy amplia (cientos o miles de millas) que podrían usarse. para determinar los diámetros estelares. Esto abrió la puerta a una comprensión mucho más completa de la coherencia (para obtener más información, consulte la descripción de la mecánica cuántica). ${\displaystyle n}$

En óptica clásica , la luz se considera ondas electromagnéticas que irradian desde una fuente. A menudo, se piensa que la luz láser coherente es la luz emitida por muchas fuentes que están en fase . En realidad, la imagen de un fotón en fase con otro no es válida en la teoría cuántica. La radiación láser se produce en una cavidad resonante donde la frecuencia de resonancia de la cavidad es la misma que la frecuencia asociada con las transiciones de electrones atómicos que proporcionan el flujo de energía hacia el campo. A medida que se acumula energía en el modo resonante, aumenta la probabilidad de emisión estimulada , sólo en ese modo. Se trata de un bucle de retroalimentación positiva en el que la amplitud en el modo resonante aumenta exponencialmente hasta que algunos efectos no lineales la limitan. Como contraejemplo, una bombilla irradia luz en un continuo de modos, y no hay nada que seleccione un modo sobre el otro. El proceso de emisión es muy aleatorio en el espacio y el tiempo (ver luz térmica ). En un láser , sin embargo, la luz se emite en un modo resonante y ese modo es altamente coherente . Por tanto, la luz láser se idealiza como un estado coherente. (Clásicamente describimos dicho estado mediante un campo eléctrico que oscila como una onda estable. Ver Fig.1)

Además de describir los láseres, los estados coherentes también se comportan de una manera conveniente al describir la acción cuántica de los divisores de haz : dos haces de entrada en estado coherente simplemente se convertirán en dos haces de estado coherente en la salida con nuevas amplitudes dadas por fórmulas clásicas de ondas electromagnéticas; ^[11] un comportamiento tan simple no ocurre para otros estados de entrada, incluidos los estados numéricos. Del mismo modo, si un haz de luz en estado coherente se absorbe parcialmente, entonces el resto es un estado coherente puro con una amplitud menor, mientras que la absorción parcial de luz en estado no coherente produce un estado mixto estadístico más complicado . ^[11] La luz térmica puede describirse como una mezcla estadística de estados coherentes, y la forma típica de definir la luz no clásica es que no puede describirse como una simple mezcla estadística de estados coherentes. ^[11]

Los estados propios de energía del oscilador armónico lineal (p. ej., masas sobre resortes, vibraciones de red en un sólido, movimientos vibratorios de núcleos en moléculas u oscilaciones en el campo electromagnético) son estados cuánticos de número fijo. El estado de Fock (por ejemplo, un solo fotón) es el estado más parecido a una partícula; tiene un número fijo de partículas y la fase es indeterminada. Un estado coherente distribuye equitativamente su incertidumbre mecánico-cuántica entre las coordenadas canónicamente conjugadas , la posición y el momento, y la incertidumbre relativa en fase [definida heurísticamente ] y amplitud es aproximadamente igual y pequeña a alta amplitud.

Definición de mecánica cuántica

Matemáticamente, un estado coherente se define como el estado propio (único) del operador de aniquilación â con el correspondiente valor propio α . Formalmente, esto dice: ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

Dado que â no es hermitiano , α es, en general, un número complejo. Escritura | α | y θ se llaman amplitud y fase del estado . ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

El estado se denomina estado coherente canónico en la literatura, ya que existen muchos otros tipos de estados coherentes, como se puede ver en el artículo complementario Estados coherentes en física matemática . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Físicamente, esta fórmula significa que un estado coherente permanece sin cambios por la aniquilación de la excitación del campo o, digamos, de una partícula. Un estado propio del operador de aniquilación tiene una distribución numérica de Poisson cuando se expresa en base a estados propios de energía, como se muestra a continuación. Una distribución de Poisson es una condición necesaria y suficiente para que todas las detecciones sean estadísticamente independientes. Compare esto con un estado de una sola partícula ( estado de Fock ): una vez que se detecta una partícula, hay cero probabilidad de detectar otra. ${\displaystyle |1\rangle }$

La derivación de esto hará uso de operadores adimensionales (no convencionalmente normalizados) , X y P , normalmente llamados cuadraturas de campo en óptica cuántica. (Ver No dimensionalización ). Estos operadores están relacionados con los operadores de posición y momento de una masa m en un resorte con constante k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Figura 4: La probabilidad de detectar n fotones, la distribución del número de fotones, del estado coherente en la Figura 3. Como es necesario para una distribución Poissoniana, el número medio de fotones es igual a la varianza de la distribución del número de fotones. Las barras se refieren a la teoría, los puntos a valores experimentales.

Para un campo óptico ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

son las componentes real e imaginaria del modo del campo eléctrico dentro de una cavidad de volumen . ^[12] ${\displaystyle V}$

Con estos operadores (adimensionales), el hamiltoniano de cualquiera de los sistemas se convierte en

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Erwin Schrödinger estaba buscando los estados más clásicos cuando introdujo por primera vez los paquetes de ondas gaussianas de mínima incertidumbre. El estado cuántico del oscilador armónico que minimiza la relación de incertidumbre con incertidumbre igualmente distribuida entre X y P satisface la ecuación

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

o equivalente,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Así, dado (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0 , Schrödinger encontró que los estados de incertidumbre mínima para el oscilador armónico lineal son los estados propios de ( X + iP ) . Dado que â es ( X + iP ) , esto es reconocible como un estado coherente en el sentido de la definición anterior.

Utilizando la notación para estados multifotónicos, Glauber caracterizó el estado de completa coherencia de todos los órdenes en el campo electromagnético como el estado propio del operador de aniquilación; formalmente, en un sentido matemático, el mismo estado encontrado por Schrödinger. El nombre de estado coherente se afianzó después del trabajo de Glauber.

Si la incertidumbre se minimiza, pero no necesariamente se equilibra por igual entre X y P , el estado se denomina estado coherente comprimido .

La ubicación del estado coherente en el plano complejo ( espacio de fase ) está centrada en la posición y el momento de un oscilador clásico de fase θ y amplitud | α | dado por el valor propio α (o el mismo valor de campo eléctrico complejo para una onda electromagnética). Como se muestra en la Figura 5, la incertidumbre, igualmente distribuida en todas las direcciones, está representada por un disco con un diámetro de 1 ⁄ 2 . A medida que varía la fase, el estado coherente gira alrededor del origen y el disco no se distorsiona ni se expande. Esto es lo más similar que puede ser un estado cuántico a un solo punto en el espacio de fases.

Figura 5: Gráfico del espacio de fases de un estado coherente. Esto muestra que la incertidumbre en un estado coherente se distribuye igualmente en todas las direcciones. Los ejes horizontal y vertical son las cuadraturas X y P del campo, respectivamente (ver texto). Los puntos rojos en el eje x trazan los límites del ruido cuántico en la Figura 1. Para obtener más detalles, consulte la figura correspondiente de la formulación del espacio de fases .

Dado que la incertidumbre (y por tanto el ruido de medición) permanece constante en 1 ⁄ 2 a medida que aumenta la amplitud de la oscilación, el estado se comporta cada vez más como una onda sinusoidal, como se muestra en la Figura 1. Además, dado que el estado de vacío es simplemente el estado coherente con α =0, todos los estados coherentes tienen la misma incertidumbre que el vacío. Por lo tanto, se puede interpretar que el ruido cuántico de un estado coherente se debe a fluctuaciones del vacío. ${\displaystyle |0\rangle }$

La notación no se refiere a un estado de Fock . Por ejemplo, cuando α = 1 , no se debe confundir con el estado de Fock de fotón único, que también se denota en su propia notación. La expresión con α = 1 representa una distribución de Poisson de estados numéricos con un número medio de fotones unitario. ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle }$

La solución formal de la ecuación de valores propios es el estado de vacío desplazado a una ubicación α en el espacio de fases, es decir, se obtiene dejando que el operador de desplazamiento unitario D ( α ) opere sobre el vacío,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

donde â = X + iP y â ^† = X - iP .

Esto se puede ver fácilmente, al igual que prácticamente todos los resultados que involucran estados coherentes, utilizando la representación del estado coherente en base a los estados de Fock.

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

¿Dónde están los vectores propios de energía (número) del hamiltoniano? ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

y la igualdad final deriva de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Para la distribución Poissoniana correspondiente , la probabilidad de detectar n fotones es

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

De manera similar, el número promedio de fotones en un estado coherente es

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

y la varianza es

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

Es decir, la desviación estándar del número detectado es como la raíz cuadrada del número detectado. Entonces, en el límite de α grande , estas estadísticas de detección son equivalentes a las de una onda estable clásica.

Estos resultados se aplican a los resultados de detección en un solo detector y, por lo tanto, se relacionan con la coherencia de primer orden (ver grado de coherencia ). Sin embargo, para mediciones que correlacionan detecciones en múltiples detectores, está involucrada una coherencia de orden superior (por ejemplo, correlaciones de intensidad, coherencia de segundo orden, en dos detectores). La definición de coherencia cuántica de Glauber implica funciones de correlación de orden n (coherencia de orden n) para todo n . El estado coherente perfecto tiene todos los n-órdenes de correlación iguales a 1 (coherente). Es perfectamente coherente con todos los pedidos.

El coeficiente de correlación de segundo orden proporciona una medida directa del grado de coherencia de los estados de los fotones en términos de la varianza de las estadísticas de los fotones en el haz en estudio. ^[13] ${\displaystyle g^{2}(0)}$

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

En el desarrollo de Glauber se ve que los estados coherentes se distribuyen según una distribución de Poisson . En el caso de una distribución de Poisson, la varianza es igual a la media, es decir

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$.

Un coeficiente de correlación de segundo orden de 1 significa que los fotones en estados coherentes no están correlacionados.

Hanbury Brown y Twiss estudiaron el comportamiento de correlación de fotones emitidos por una fuente térmica incoherente descrita por las estadísticas de Bose-Einstein . La varianza de la distribución de Bose-Einstein es

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$.

Esto corresponde a las mediciones de correlación de Hanbury Brown y Twiss, e ilustra que los fotones en estados incoherentes de Bose-Einstein están correlacionados o agrupados.

Los cuantos que obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac están anticorrelacionados. En este caso la varianza es

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$.

La anticorrelación se caracteriza por un coeficiente de correlación de segundo orden = 0.

El trabajo de Roy J. Glauber fue impulsado por los resultados de Hanbury-Brown y Twiss que produjeron patrones de interferencia de primer orden de largo alcance (cientos o miles de millas) mediante el uso de fluctuaciones de intensidad (falta de coherencia de segundo orden), con filtros de banda estrecha (coherencia parcial de primer orden) en cada detector. (Se puede imaginar, en duraciones muy cortas, un patrón de interferencia casi instantáneo de los dos detectores, debido a los filtros de banda estrecha, que baila aleatoriamente debido a la diferencia de fase relativa cambiante. Con un contador de coincidencias, el patrón de interferencia danzante sería ser más fuerte en momentos de mayor intensidad [común a ambos haces], y ese patrón sería más fuerte que el ruido de fondo). Casi toda la óptica se había preocupado por la coherencia de primer orden. Los resultados de Hanbury-Brown y Twiss llevaron a Glauber a analizar la coherencia de orden superior y obtuvo una descripción teórica cuántica completa de la coherencia para todos los órdenes en el campo electromagnético (y una descripción teórica cuántica de señal más ruido). . Acuñó el término estado coherente y demostró que se producen cuando una corriente eléctrica clásica interactúa con el campo electromagnético.

En α ≫ 1 , de la Figura 5, la geometría simple da Δθ | α | = 1/2. De esto, parece que existe un equilibrio entre la incertidumbre numérica y la incertidumbre de fase, Δθ Δn = 1/2, que a veces se interpreta como una relación de incertidumbre número-fase; pero ésta no es una relación de incertidumbre formal estricta: no existe un operador de fase definido de forma única en la mecánica cuántica. ^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]}

La función de onda de un estado coherente.

Evolución temporal de la distribución de probabilidad con fase cuántica (color) de un estado coherente con α=3.

Para encontrar la función de onda del estado coherente, el paquete de ondas de Schrödinger de incertidumbre mínima, es más fácil comenzar con la imagen de Heisenberg del oscilador armónico cuántico para el estado coherente . Tenga en cuenta que ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

El estado coherente es un estado propio del operador de aniquilación en la imagen de Heisenberg .

Es fácil ver que, en el cuadro de Schrödinger , el mismo valor propio

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

ocurre,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$.

En las representaciones de coordenadas resultantes de operar con , esto equivale a la ecuación diferencial, ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

que se resuelve fácilmente para producir

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

donde θ(t) es una fase aún indeterminada, que se fijará exigiendo que la función de onda satisfaga la ecuación de Schrödinger.

Resulta que

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

de modo que σ es la fase inicial del valor propio.

La posición media y el impulso de este "paquete de ondas de Schrödinger mínimo" ψ ^(α) oscilan como en un sistema clásico .

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)~,}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)~.}$

La densidad de probabilidad sigue siendo gaussiana centrada en esta media oscilante,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Características matemáticas de los estados coherentes canónicos.

Los estados canónicos coherentes descritos hasta ahora tienen tres propiedades que son mutuamente equivalentes, ya que cada una de ellas especifica completamente el estado , a saber, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. Son vectores propios del operador de aniquilación :   . ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. Se obtienen del vacío mediante la aplicación de un operador de desplazamiento unitario :   . ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. Son estados de incertidumbre mínima (equilibrada):   . ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$

Cada una de estas propiedades puede dar lugar a generalizaciones, en general diferentes entre sí (consulte el artículo " Estados coherentes en física matemática " para conocer algunas de ellas). Destacamos que los estados coherentes tienen características matemáticas que son muy diferentes a las de un estado de Fock ; por ejemplo, dos estados coherentes diferentes no son ortogonales,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(vinculado al hecho de que son vectores propios del operador de aniquilación no autoadjunto â ).

Por lo tanto, si el oscilador está en el estado cuántico, también lo estará con una probabilidad distinta de cero en el otro estado cuántico (pero cuanto más separados estén los estados en el espacio de fases, menor será la probabilidad). Sin embargo, dado que obedecen a una relación de cierre, cualquier estado puede descomponerse en el conjunto de estados coherentes. Por tanto, forman una base supercompleta en la que se puede descomponer cualquier estado en diagonal. Ésta es la premisa de la representación de Glauber-Sudarshan P. ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

Esta relación de cierre puede expresarse mediante la resolución del operador de identidad I en el espacio vectorial de estados cuánticos,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Esta resolución de la identidad está íntimamente relacionada con la transformada de Segal-Bargmann .

Otra peculiaridad es que no tiene eigenket (mientras que â no tiene eigenbra). La siguiente igualdad es el sustituto formal más cercano y resulta útil para cálculos técnicos, ^[22] ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

Este último estado se conoce como "estado de Agarwal" o estado coherente con fotones añadidos y se denota como ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Los estados normalizados de Agarwal de orden n se pueden expresar como ^[23] ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

La resolución anterior de la identidad se puede derivar (restringiéndola a una dimensión espacial por simplicidad) tomando elementos de la matriz entre estados propios de posición, en ambos lados de la ecuación. En el lado derecho, esto da inmediatamente δ(xy) . En el lado izquierdo se obtiene lo mismo insertando ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

de la sección anterior (el tiempo es arbitrario), luego integrando usando la representación de Fourier de la función delta y luego realizando una integral gaussiana sobre . ${\displaystyle \Im (\alpha )}$ ${\displaystyle \Re (\alpha )}$

En particular, el estado del paquete de ondas gaussiano de Schrödinger se deriva del valor explícito

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

La resolución de la identidad también se puede expresar en términos de posición y momento de las partículas. Para cada dimensión de coordenadas (usando una notación adaptada con un nuevo significado para ), ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

la relación de cierre de estados coherentes dice

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Esto puede insertarse en cualquier valor esperado de la mecánica cuántica, relacionándolo con alguna integral de espacio de fases cuasi clásica y explicando, en particular, el origen de los factores de normalización para funciones de partición clásicas , consistentes con la mecánica cuántica. ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

Además de ser un estado propio exacto de los operadores de aniquilación, un estado coherente es un estado propio común aproximado de la posición y el momento de las partículas. Restringiéndonos nuevamente a una dimensión,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

El error en estas aproximaciones se mide por las incertidumbres de posición y momento,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

Estado térmico coherente

Un estado térmico coherente de modo único ^[24] se produce desplazando un estado térmico mixto en el espacio de fases , en analogía directa con el desplazamiento del estado de vacío con el fin de generar un estado coherente. La matriz de densidad de un estado térmico coherente en la representación del operador lee

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

donde está el operador de desplazamiento , que genera el estado coherente con amplitud compleja , y . La función de partición es igual a ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

Utilizando la expansión del operador de identidad en los estados de Fock , la definición del operador de densidad se puede expresar de la siguiente forma ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

donde representa el estado desplazado de Fock . Observamos que si la temperatura llega a cero tenemos ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

que es la matriz de densidad para un estado coherente. El número promedio de fotones en ese estado se puede calcular de la siguiente manera

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

donde para el último término podemos escribir

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

Como resultado, encontramos

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

donde es el promedio del número de fotones calculado con respecto al estado térmico. Aquí hemos definido, para facilitar la notación, ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

y escribimos explícitamente

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

En el límite obtenemos , que es consistente con la expresión del operador de matriz de densidad a temperatura cero. Asimismo, la varianza del número de fotones se puede evaluar como ${\displaystyle \beta \to \infty }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

con . Deducimos que el segundo momento no puede desacoplarse de los momentos térmico y de distribución cuántica, a diferencia del valor medio (primer momento). En ese sentido, la estadística de fotones del estado térmico desplazado no se describe mediante la suma de las estadísticas de Poisson y las estadísticas de Boltzmann . La distribución del estado térmico inicial en el espacio de fases se amplía como resultado del desplazamiento coherente. ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

Estados coherentes de los condensados ​​de Bose-Einstein.

• Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es una colección de átomos de bosones que se encuentran todos en el mismo estado cuántico. En un sistema termodinámico, el estado fundamental se ocupa macroscópicamente por debajo de una temperatura crítica, aproximadamente cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es más larga que el espacio interatómico. Se cree que la superfluidez en el helio-4 líquido está asociada con la condensación de Bose-Einstein en un gas ideal. Pero ⁴ He tiene interacciones fuertes y el factor de estructura líquida (una estadística de segundo orden) juega un papel importante. El uso de un estado coherente para representar el componente superfluido de ⁴ He proporcionó una buena estimación de las fracciones condensado/no condensado en superfluidez, consistente con los resultados de la dispersión lenta de neutrones. ^{[25] [26] [27]} La ​​mayoría de las propiedades especiales de los superfluidos se derivan directamente del uso de un estado coherente para representar el componente superfluido, que actúa como un estado de un solo cuerpo macroscópicamente ocupado con amplitud y fase bien definidas en todo el espectro. volumen. (El componente superfluido del ⁴ He pasa de cero a la temperatura de transición al 100% en el cero absoluto. Pero la fracción de condensado es aproximadamente del 6% ^[28] a la temperatura del cero absoluto, T=0K.)
• Al principio del estudio de la superfluidez, Penrose y Onsager propusieron una métrica ("parámetro de orden") para la superfluidez. ^[29] Estaba representado por un componente macroscópico factorizado (un valor propio macroscópico) en la matriz de densidad reducida de primer orden. Más tarde, CN Yang ^[30] propuso una medida más generalizada de coherencia cuántica macroscópica, llamada "Orden fuera de la diagonal de largo alcance" (ODLRO), ^[30] que incluía sistemas de fermiones y bosones. ODLRO existe siempre que hay un componente factorizado macroscópicamente grande (valor propio) en una matriz de densidad reducida de cualquier orden. La superfluidez corresponde a un componente factorizado grande en la matriz de densidad reducida de primer orden. (Y todas las matrices de densidad reducida de orden superior se comportan de manera similar). La superconductividad implica un gran componente factorizado en la matriz de densidad reducida de segundo orden (" par de electrones de Cooper ").
• Las matrices de densidad reducida utilizadas para describir la coherencia cuántica macroscópica en superfluidos son formalmente las mismas que las funciones de correlación utilizadas para describir órdenes de coherencia en la radiación. Ambos son ejemplos de coherencia cuántica macroscópica. El componente coherente macroscópicamente grande, más el ruido, en el campo electromagnético, como lo da la descripción de Glauber de señal más ruido, es formalmente el mismo que el componente superfluido macroscópicamente grande más el componente fluido normal en el modelo de superfluidez de dos fluidos.
• La radiación electromagnética cotidiana, como las ondas de radio y televisión, también es un ejemplo de estados casi coherentes (coherencia cuántica macroscópica). Esto debería "hacernos reflexionar" respecto de la demarcación convencional entre lo cuántico y lo clásico.
• La coherencia en la superfluidez no debe atribuirse a ningún subconjunto de átomos de helio; se trata de una especie de fenómeno colectivo en el que participan todos los átomos (similar al emparejamiento de Cooper en la superconductividad, como se indica en la siguiente sección).

Estados coherentes de electrones en superconductividad.

• Los electrones son fermiones, pero cuando se emparejan formando pares de Cooper actúan como bosones y, por lo tanto, pueden formar colectivamente un estado coherente a bajas temperaturas. En realidad, este emparejamiento no se produce entre electrones, sino en los estados disponibles para los electrones que entran y salen de esos estados. ^[31] El emparejamiento de Cooper se refiere al primer modelo de superconductividad. ^[32]
• Estos estados coherentes son parte de la explicación de efectos como el efecto Hall cuántico en semiconductores superconductores de baja temperatura .

Generalizaciones

• Según Gilmore y Perelomov, quienes lo demostraron de forma independiente, la construcción de estados coherentes puede verse como un problema en la teoría de grupos y, por lo tanto, los estados coherentes pueden asociarse a grupos diferentes del grupo de Heisenberg , lo que conduce a los estados coherentes canónicos discutidos anteriormente. . ^{[33] [34] [35] [36]} Además, estos estados coherentes pueden generalizarse a grupos cuánticos . Estos temas, con referencias a trabajos originales, se analizan en detalle en Estados coherentes en física matemática .

• En teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas , una generalización de estados coherentes al caso en el que se utilizan infinitos grados de libertad para definir un estado de vacío con un valor esperado de vacío diferente al vacío original.
• En sistemas cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos con grados de libertad fermiónicos, los estados excitados de baja energía pueden aproximarse como estados coherentes de un operador de campo bosónico que crea excitaciones de agujeros de partículas. Este enfoque se llama bosonización .
• Los estados coherentes gaussianos de la mecánica cuántica no relativista pueden generalizarse a estados coherentes relativistas de partículas de Klein-Gordon y Dirac. ^{[37] [38] [39]}
• Los estados coherentes también han aparecido en trabajos sobre la gravedad cuántica de bucles o para la construcción de la relatividad general cuántica canónica (semi) clásica. ^{[40] [41]}

Ver también

• Estados coherentes en física matemática.
• Teoría cuántica de campos
• Óptica cuántica
• amplificador cuántico
• Campo electromagnetico
• Grado de coherencia

enlaces externos

• Estados cuánticos del campo luminoso.
• Estados de Glauber: estados coherentes del oscilador armónico cuántico
• Mida un estado coherente con estadísticas de fotones interactivas

Referencias

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