Conexión Cartan

Generalization of affine connections

En el campo matemático de la geometría diferencial , una conexión de Cartan es una generalización flexible de la noción de conexión afín . También puede considerarse como una especialización del concepto general de conexión principal , en la que la geometría del fibrado principal está ligada a la geometría de la variedad base mediante una forma de soldadura . Las conexiones de Cartan describen la geometría de las variedades modeladas en espacios homogéneos .

La teoría de las conexiones de Cartan fue desarrollada por Élie Cartan , como parte de (y una forma de formular) su método de marcos móviles ( repère mobile ). ^[1] La idea principal es desarrollar una noción adecuada de las formas de conexión y la curvatura utilizando marcos móviles adaptados al problema geométrico particular en cuestión. En relatividad o geometría de Riemann, los marcos ortonormales se utilizan para obtener una descripción de la conexión de Levi-Civita como una conexión de Cartan. Para los grupos de Lie, los marcos de Maurer-Cartan se utilizan para ver la forma de Maurer-Cartan del grupo como una conexión de Cartan.

Cartan reformuló la geometría diferencial de la geometría ( pseudo ) riemanniana , así como la geometría diferencial de variedades dotadas de alguna estructura no métrica, incluidos los grupos de Lie y los espacios homogéneos . El término "conexión de Cartan" se refiere con mayor frecuencia a la formulación de Cartan de una conexión (pseudo)riemanniana, afín , proyectiva o conforme . Aunque estas son las conexiones de Cartan más utilizadas, son casos especiales de un concepto más general.

El enfoque de Cartan parece depender en un primer momento de las coordenadas debido a la elección de los marcos que implica. Sin embargo, no es así, y la noción se puede describir con precisión utilizando el lenguaje de los fibrados principales. Las conexiones de Cartan inducen derivadas covariantes y otros operadores diferenciales en ciertos fibrados asociados, de ahí la noción de transporte paralelo. Tienen muchas aplicaciones en geometría y física: véase el método de los marcos móviles , el formalismo de Cartan y la teoría de Einstein-Cartan para algunos ejemplos.

Introducción

En sus raíces, la geometría consiste en una noción de congruencia entre diferentes objetos en un espacio. A fines del siglo XIX, las nociones de congruencia generalmente eran proporcionadas por la acción de un grupo de Lie en el espacio. Los grupos de Lie generalmente actúan de manera bastante rígida, por lo que una geometría de Cartan es una generalización de esta noción de congruencia que permite la presencia de curvatura . Las geometrías planas de Cartan (aquellas con curvatura cero) son localmente equivalentes a espacios homogéneos, por lo tanto, geometrías en el sentido de Klein.

Una geometría de Klein consiste en un grupo de Lie G junto con un subgrupo de Lie H de G . Juntos, G y H determinan un espacio homogéneo G / H , sobre el cual el grupo G actúa por traslación izquierda. El objetivo de Klein era entonces estudiar objetos que viven en el espacio homogéneo que fueran congruentes por la acción de G . Una geometría de Cartan extiende la noción de una geometría de Klein al unir a cada punto de una variedad una copia de una geometría de Klein, y considerar esta copia como tangente a la variedad. Por lo tanto, la geometría de la variedad es infinitesimalmente idéntica a la de la geometría de Klein, pero globalmente puede ser bastante diferente. En particular, las geometrías de Cartan ya no tienen una acción bien definida de G sobre ellas. Sin embargo, una conexión de Cartan proporciona una forma de conectar los espacios modelo infinitesimales dentro de la variedad por medio de transporte paralelo .

Motivación

Considérese una superficie lisa S en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Cerca de cualquier punto, S puede aproximarse por su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los subespacios afines son superficies modelo : son las superficies más simples en R ³ , y son homogéneas bajo el grupo euclidiano del plano, por lo tanto, son geometrías de Klein en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein . Cada superficie lisa S tiene un plano afín único tangente a ella en cada punto. La familia de todos esos planos en R ³ , uno unido a cada punto de S , se llama congruencia de planos tangentes. Un plano tangente puede "rodarse" a lo largo de S , y al hacerlo, el punto de contacto traza una curva en S . A la inversa, dada una curva en S , el plano tangente puede rodarse a lo largo de esa curva. Esto proporciona una manera de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva mediante transformaciones afines (de hecho, euclidianas) y es un ejemplo de una conexión de Cartan llamada conexión afín .

Otro ejemplo se obtiene reemplazando los planos, como superficies modelo, por esferas, que son homogéneas bajo el grupo de Möbius de transformaciones conformes. Ya no hay una única esfera tangente a una superficie lisa S en cada punto, ya que el radio de la esfera es indeterminado. Esto se puede solucionar suponiendo que la esfera tiene la misma curvatura media que S en el punto de contacto. Dichas esferas se pueden volver a hacer rodar a lo largo de curvas en S , y esto proporciona a S otro tipo de conexión de Cartan llamada conexión conforme .

Los geómetras diferenciales de finales del siglo XIX y principios del XX estaban muy interesados ​​en utilizar familias de modelos como planos o esferas para describir la geometría de superficies. Una familia de espacios modelo unidos a cada punto de una superficie S se denomina congruencia : en los ejemplos anteriores hay una elección canónica de dicha congruencia. Una conexión de Cartan proporciona una identificación entre los espacios modelo en la congruencia a lo largo de cualquier curva en S. Una característica importante de estas identificaciones es que el punto de contacto del espacio modelo con S siempre se mueve con la curva. Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan.

En el tratamiento moderno de las conexiones afines, el punto de contacto se considera como el origen en el plano tangente (que es entonces un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, por lo que no se necesitan conexiones de Cartan. Sin embargo, no existe una forma canónica de hacer esto en general: en particular para la conexión conforme de una congruencia de esferas, no es posible separar el movimiento del punto de contacto del resto del movimiento de manera natural.

En ambos ejemplos el espacio modelo es un espacio homogéneo G / H.

• En el primer caso, G / H es el plano afín, siendo G = Aff( R ² ) el grupo afín del plano, y H = GL(2) el grupo lineal general correspondiente.
• En el segundo caso, G / H es la esfera conforme (o celeste ), con G = O ⁺ (3,1) el grupo de Lorentz (ortócrono) , y H el estabilizador de una línea nula en R ^3,1 .

La geometría de Cartan de S consiste en una copia del espacio modelo G / H en cada punto de S (con un punto de contacto marcado) junto con una noción de "transporte paralelo" a lo largo de curvas que identifica estas copias utilizando elementos de G. Esta noción de transporte paralelo es genérica en el sentido intuitivo de que el punto de contacto siempre se mueve a lo largo de la curva.

En general, sea G un grupo con un subgrupo H , y M una variedad de la misma dimensión que G / H . Entonces, en términos generales, una conexión de Cartan en M es una G -conexión que es genérica con respecto a una reducción a H .

Conexiones afines

Una conexión afín en una variedad M es una conexión en el fibrado principal de M (o, equivalentemente, una conexión en el fibrado tangente (fibrado vectorial) de M ). Un aspecto clave del punto de vista de la conexión de Cartan es elaborar esta noción en el contexto de los fibrados principales (lo que podría llamarse la "teoría general o abstracta de los fibrados").

Sea H un grupo de Lie , su álgebra de Lie . Entonces, un fibrado H principal es un fibrado de fibras P sobre M con una acción suave de H sobre P que es libre y transitiva sobre las fibras. Por lo tanto, P es una variedad suave con una función suave π : P → M que se parece localmente al fibrado trivial M × H → M. El fibrado de M es un fibrado GL( n ) principal, mientras que si M es una variedad de Riemann , entonces el fibrado de M ortonormal es un fibrado O( n ) principal. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Sea R _h la acción (derecha) de h ∈ H sobre P . La derivada de esta acción define un campo vectorial vertical sobre P para cada elemento ξ de : si h ( t ) es un subgrupo de 1 parámetro con h (0)= e (el elemento identidad) y h '( 0 )= ξ , entonces el campo vectorial vertical correspondiente es ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,}$

Una conexión H principal en P es una 1-forma en P , con valores en el álgebra de Lie de H , tales que ${\displaystyle \omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. para cualquier , ω ( X _ξ ) = ξ (idénticamente en P ). ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$

La idea intuitiva es que ω ( X ) proporciona un componente vertical de X , utilizando el isomorfismo de las fibras de π con H para identificar vectores verticales con elementos de . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Los haces de trama tienen una estructura adicional llamada forma de soldadura , que puede usarse para extender una conexión principal en P a una trivialización del haz tangente de P llamada paralelismo absoluto .

En general, supongamos que M tiene dimensión n y H actúa sobre R ⁿ (este podría ser cualquier espacio vectorial real n -dimensional). Una forma de soldadura sobre un fibrado principal H P sobre M es una 1-forma de valor R ⁿ θ : T P → R ⁿ que es horizontal y equivariante de modo que induce un homomorfismo de fibrado desde T M hasta el fibrado asociado P × _H R ⁿ . Además, se requiere que esto sea un isomorfismo de fibrado. Los fibrados de marcos tienen una forma de soldadura (canónica o tautológica) que envía un vector tangente X ∈ T _p P a las coordenadas de d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} M con respecto al marco p .

El par ( ω , θ ) (una conexión principal y una forma de soldadura) define una 1-forma η en P , con valores en el álgebra de Lie del producto semidirecto G de H con R ⁿ , que proporciona un isomorfismo de cada espacio tangente T _p P con . Induce una conexión principal α en el G -fibrado principal asociado P × _H G . Esta es una conexión de Cartan. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Las conexiones de Cartan generalizan las conexiones afines de dos maneras.

• La acción de H sobre R ⁿ no necesita ser efectiva. Esto permite, por ejemplo, que la teoría incluya conexiones de espín, en las que H es el grupo de espín Spin( n ) en lugar del grupo ortogonal O( n ).
• El grupo G no necesita ser un producto semidirecto de H con R ⁿ .

Geometrías de Klein como espacios modelo

El programa Erlangen de Klein sugirió que la geometría podría ser considerada como un estudio de espacios homogéneos : en particular, es el estudio de las muchas geometrías de interés para los geómetras del siglo XIX (y anteriores). Una geometría de Klein consistía en un espacio, junto con una ley para el movimiento dentro del espacio (análoga a las transformaciones euclidianas de la geometría euclidiana clásica ) expresada como un grupo de Lie de transformaciones . Estos espacios generalizados resultan ser variedades homogéneas suaves difeomorfas al espacio cociente de un grupo de Lie por un subgrupo de Lie . La estructura diferencial adicional que poseen estos espacios homogéneos permite estudiar y generalizar su geometría utilizando el cálculo.

El enfoque general de Cartan es comenzar con una geometría de Klein suave , dada por un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H , con álgebras de Lie asociadas y , respectivamente. Sea P el espacio homogéneo principal subyacente de G . Una geometría de Klein es el espacio homogéneo dado por el cociente P / H de P por la acción derecha de H . Hay una H -acción derecha sobre las fibras de la proyección canónica ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

π : P → P / H

dado por R _h g = gh . Además, cada fibra de π es una copia de H . P tiene la estructura de un haz principal de H sobre P / H . ^[2]

Un campo vectorial X sobre P es vertical si d π ( X ) = 0. Cualquier ξ ∈ da lugar a un campo vectorial vertical canónico X _ξ tomando la derivada de la acción derecha del subgrupo uniparamétrico de H asociado a ξ. La forma η de Maurer-Cartan de P es la forma univaluada sobre P que identifica cada espacio tangente con el álgebra de Lie. Tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Ad( h ) R _h ^* η = η para todo h en H
2. η ( X _ξ ) = ξ para todo ξ en ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. para todo g ∈ P , η restringe un isomorfismo lineal de T _g P con (η es un paralelismo absoluto en P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Además de estas propiedades, η satisface la ecuación de estructura (o estructural )

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

Por el contrario, se puede demostrar que dada una variedad M y un fibrado H principal P sobre M , y una 1-forma η con estas propiedades, entonces P es localmente isomorfo como fibrado H al fibrado homogéneo principal G → G / H . La ecuación de estructura es la condición de integrabilidad para la existencia de tal isomorfismo local.

Una geometría de Cartan es una generalización de una geometría de Klein suave, en la que no se supone la ecuación de estructura, sino que se utiliza para definir una noción de curvatura . Por lo tanto, se dice que las geometrías de Klein son los modelos planos de las geometrías de Cartan. ^[3]

Pseudogrupos

Las conexiones de Cartan están estrechamente relacionadas con las estructuras de pseudogrupos en una variedad. Cada una se considera como modelada en una geometría de Klein G / H , de manera similar a la forma en que la geometría de Riemann se modela en el espacio euclidiano . En una variedad M , uno imagina adjuntar a cada punto de M una copia del espacio modelo G / H . La simetría del espacio modelo se construye entonces en la geometría de Cartan o estructura de pseudogrupo al postular que los espacios modelo de puntos cercanos están relacionados por una transformación en G . La diferencia fundamental entre una geometría de Cartan y una geometría de pseudogrupo es que la simetría para una geometría de Cartan relaciona puntos infinitesimalmente cercanos por una transformación infinitesimal en G (es decir, un elemento del álgebra de Lie de G ) y la noción análoga de simetría para una estructura de pseudogrupo se aplica para puntos que están separados físicamente dentro de la variedad.

El proceso de unir espacios a puntos, y las simetrías asociadas, se puede realizar de manera concreta utilizando sistemas de coordenadas especiales . ^[4] A cada punto p ∈ M , se le da una vecindad U _p de p junto con una aplicación φ _p  : U _p → G / H . De esta manera, el espacio modelo se une a cada punto de M al realizar M localmente en cada punto como un subconjunto abierto de G / H . Pensamos en esto como una familia de sistemas de coordenadas en M , parametrizados por los puntos de M . Dos de estos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′ están relacionados con H si hay un elemento h _p ∈ H , parametrizado por p , tal que

φ′ _p = h _p φ _p . ^[5]

Esta libertad corresponde aproximadamente a la noción de calibre que tienen los físicos .

Los puntos cercanos se relacionan uniéndolos con una curva. Supóngase que p y p ′ son dos puntos en M unidos por una curva p _t . Entonces p _t proporciona una noción de transporte del espacio modelo a lo largo de la curva. ^[6] Sea τ _t  : G / H → G / H la función compuesta (definida localmente)

τ _t = φ _{p t} o φ _{p 0} ⁻¹ .

Intuitivamente, τ _t es el mapa de transporte. Una estructura de pseudogrupo requiere que τ _t sea una simetría del espacio modelo para cada t : τ _t ∈ G . Una conexión de Cartan requiere solamente que la derivada de τ _t sea una simetría del espacio modelo: τ′ ₀ ∈ g , el álgebra de Lie de G .

Como es típico en Cartan, una de las motivaciones para introducir la noción de conexión de Cartan fue estudiar las propiedades de los pseudogrupos desde un punto de vista infinitesimal. Una conexión de Cartan define un pseudogrupo precisamente cuando la derivada de la función de transporte τ′ puede integrarse , recuperando así una función de transporte verdadera ( con valor G ) entre los sistemas de coordenadas. Por lo tanto, existe una condición de integrabilidad en juego, y el método de Cartan para realizar las condiciones de integrabilidad fue introducir una forma diferencial .

En este caso, τ′ ₀ define una forma diferencial en el punto p de la siguiente manera. Para una curva γ( t ) = p _t en M que comienza en p , podemos asociar el vector tangente X , así como una función de transporte τ _t ^γ . Tomando la derivada se determina una función lineal

${\displaystyle X\mapsto \left.{\frac {d}{dt}}\tau _{t}^{\gamma }\right|_{t=0}=\theta (X)\in {\mathfrak {g}}.}$

Por lo tanto , θ define una 1-forma diferencial con valor g en M.

Sin embargo, esta forma depende de la elección del sistema de coordenadas parametrizado. Si h  : U → H es una relación H entre dos sistemas de coordenadas parametrizados φ y φ′, entonces los valores correspondientes de θ también están relacionados por

${\displaystyle \theta _{p}^{\prime }=Ad(h_{p}^{-1})\theta _{p}+h_{p}^{*}\omega _{H},}$

donde ω _H es la forma Maurer-Cartan de H .

Definición formal

Una geometría de Cartan modelada sobre un espacio homogéneo G / H puede ser vista como una deformación de esta geometría que permite la presencia de curvatura . Por ejemplo:

• Una variedad de Riemann puede verse como una deformación del espacio euclidiano ;
• Una variedad lorentziana puede verse como una deformación del espacio de Minkowski ;
• Una variedad conforme puede verse como una deformación de la esfera conforme ;
• Un colector dotado de una conexión afín puede verse como una deformación de un espacio afín .

Hay dos enfoques principales para la definición. En ambos enfoques, M es una variedad suave de dimensión n , H es un grupo de Lie de dimensión m , con álgebra de Lie , y G es un grupo de Lie de dimensión n + m , con álgebra de Lie , que contiene a H como subgrupo. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición a través de transiciones de calibre

Una conexión de Cartan consiste ^{[7] [8]} en un atlas de coordenadas de conjuntos abiertos U en M , junto con una forma 1-valuada θ _U definida en cada gráfico de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. θU  : TU → ._​ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. θ _U mod  : T _u U → es un isomorfismo lineal para cada u ∈ U . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$
3. Para cualquier par de cartas U y V en el atlas, existe una aplicación suave h  : U ∩ V → H tal que

${\displaystyle \theta _{V}=Ad(h^{-1})\theta _{U}+h^{*}\omega _{H},\,}$

donde ω _H es la forma Maurer-Cartan de H .

Por analogía con el caso cuando θ _U proviene de sistemas de coordenadas, la condición 3 significa que φ _U está relacionado con φ _V por h .

La curvatura de una conexión de Cartan consiste en un sistema de 2 formas definidas en los gráficos, dadas por

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

Ω _U satisface la condición de compatibilidad:

Si las formas θ _U y θ _V están relacionadas por una función h  : U ∩ V → H , como arriba, entonces Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ω _U

La definición puede hacerse independiente de los sistemas de coordenadas formando el espacio cociente

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

de la unión disjunta sobre todo U en el atlas. La relación de equivalencia ~ se define en pares ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H y ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H , por

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) si y sólo si x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U 1} está relacionado con θ _{U 2} por h , y h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

Entonces P es un fibrado H principal en M , y la condición de compatibilidad en las formas de conexión θ _U implica que se elevan a una forma 1-valuada η definida en P (ver más abajo). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición por paralelismo absoluto

Sea P un fibrado principal H sobre M . Entonces una conexión de Cartan ^[9] es una 1-forma η de valor - en P tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. para todo h en H , Ad( h ) R _h ^* η = η
2. para todo ξ en , η ( X _ξ ) = ξ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. para todo p en P , la restricción de η define un isomorfismo lineal desde el espacio tangente T _p P hasta . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La última condición a veces se denomina condición de Cartan : significa que η define un paralelismo absoluto en P. La segunda condición implica que η ya es inyectiva en vectores verticales y que la 1-forma η mod , con valores en , es horizontal. El espacio vectorial es una representación de H que utiliza la representación adjunta de H en , y la primera condición implica que η mod es equivariante. Por lo tanto, define un homomorfismo de fibrado desde T M hasta el fibrado asociado . La condición de Cartan es equivalente a que este homomorfismo de fibrado sea un isomorfismo, de modo que η mod es una forma de soldadura . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La curvatura de una conexión de Cartan es la forma 2-valorada Ω definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].}$

Nótese que esta definición de una conexión de Cartan se parece mucho a la de una conexión principal . Sin embargo, hay varias diferencias importantes. Primero, la 1-forma η toma valores en , pero solo es equivariante bajo la acción de H . De hecho, no puede ser equivariante bajo el grupo completo G porque no hay fibrado G ni acción G . En segundo lugar, la 1-forma es un paralelismo absoluto, lo que intuitivamente significa que η proporciona información sobre el comportamiento de direcciones adicionales en el fibrado principal (en lugar de ser simplemente un operador de proyección sobre el espacio vertical). Concretamente, la existencia de una forma de soldadura vincula (o suelda) la conexión de Cartan a la topología diferencial subyacente de la variedad. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una interpretación intuitiva de la conexión de Cartan en esta forma es que determina una fractura del fibrado principal tautológico asociado a una geometría de Klein. Por lo tanto, las geometrías de Cartan son análogas deformadas de las geometrías de Klein. Esta deformación es, en líneas generales, una prescripción para adjuntar una copia del espacio modelo G / H a cada punto de M y pensar en ese espacio modelo como tangente a (e infinitesimalmente idéntico a) la variedad en un punto de contacto. La fibra del fibrado tautológico G → G / H de la geometría de Klein en el punto de contacto se identifica entonces con la fibra del fibrado P. Cada una de esas fibras (en G ) lleva una forma de Maurer-Cartan para G , y la conexión de Cartan es una forma de ensamblar estas formas de Maurer-Cartan reunidas a partir de los puntos de contacto en una 1-forma coherente η definida en todo el fibrado. El hecho de que sólo los elementos de H contribuyan a la ecuación de Maurer-Cartan Ad( h ) R _h ^* η = η tiene la interpretación intuitiva de que cualquier otro elemento de G alejaría el espacio modelo del punto de contacto y, por lo tanto, ya no sería tangente a la variedad.

A partir de la conexión de Cartan, definida en estos términos, se puede recuperar una conexión de Cartan como un sistema de 1-formas en la variedad (como en la definición de calibre) tomando una colección de trivializaciones locales de P dadas como secciones s _U  : U → P y dejando que θ _U = s ^* η sean los retrocesos de la conexión de Cartan a lo largo de las secciones.

Como conexiones principales

Otra forma de definir una conexión de Cartan es como una conexión principal en un determinado fibrado principal G. Desde esta perspectiva, una conexión de Cartan consiste en

• un haz principal G - Q sobre M
• una conexión G principal α en Q (la conexión de Cartan)
• un subhaz principal H - P de Q (es decir, una reducción del grupo de estructura)

de modo que el retroceso η de α a P satisface la condición de Cartan.

La conexión principal α en Q se puede recuperar a partir de la forma η tomando Q como el fibrado asociado P × _H G . A la inversa, la forma η se puede recuperar a partir de α tirando hacia atrás a lo largo de la inclusión P ⊂ Q .

Como α es una conexión principal, induce una conexión en cualquier fibrado asociado a Q . En particular, el fibrado Q × _G G / H de espacios homogéneos sobre M , cuyas fibras son copias del espacio modelo G / H , tiene una conexión. La reducción del grupo de estructura a H está dada de manera equivalente por una sección s de E = Q × _G G / H . La fibra de sobre x en M puede verse como el espacio tangente en s ( x ) a la fibra de Q × _G G / H sobre x . Por lo tanto, la condición de Cartan tiene la interpretación intuitiva de que los espacios modelo son tangentes a M a lo largo de la sección s . Como esta identificación de espacios tangentes está inducida por la conexión, los puntos marcados dados por s siempre se mueven bajo transporte paralelo. ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

Definición mediante una conexión de Ehresmann

Otra forma de definir una conexión de Cartan es con una conexión de Ehresmann en el fibrado E = Q × _G G / H de la sección anterior. ^[10] Una conexión de Cartan entonces consiste en

• Un haz de fibras π : E → M con fibra G / H y espacio vertical V E ⊂ T E .
• Una sección s  : M → E .
• Una conexión G θ : T E → V E tal que

s ^* θ _x  : T _x M → V _{s ( x )} E es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales para todo x ∈ M .

Esta definición hace rigurosas las ideas intuitivas presentadas en la introducción. En primer lugar, la sección preferida s puede considerarse como la que identifica un punto de contacto entre la variedad y el espacio tangente. La última condición, en particular, significa que el espacio tangente de M en x es isomorfo al espacio tangente del espacio modelo en el punto de contacto. Por lo tanto, los espacios modelo son, de esta manera, tangentes a la variedad.

Desarrollo de una curva en el espacio modelo en x ₀

Esta definición también pone de relieve la idea de desarrollo . Si x _t es una curva en M , entonces la conexión de Ehresmann en E proporciona una función de transporte paralela asociada τ _t  : E _{x t} → E _{x 0} desde la fibra sobre el punto final de la curva hasta la fibra sobre el punto inicial. En particular, dado que E está equipado con una sección preferida s , los puntos s ( x _t ) se transportan de vuelta a la fibra sobre x ₀ y trazan una curva en E _{x 0} . Esta curva se denomina entonces desarrollo de la curva x _t .

Para demostrar que esta definición es equivalente a las anteriores, se debe introducir una noción adecuada de un marco móvil para el haz E . En general, esto es posible para cualquier conexión G en un haz de fibras con grupo de estructura G . Consulte Conexión de Ehresmann#Haces asociados para obtener más detalles.

Conexiones especiales de Cartan

Conexiones reductivas de Cartan

Sea P un fibrado H principal en M , equipado con una conexión de Cartan η : T P → . Si es un módulo reductivo para H , lo que significa que admite una división Ad ( H )-invariante de espacios vectoriales , entonces el componente de η generaliza la forma de soldadura para una conexión afín . ^[11] En detalle, η se divide en componentes y : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

η = η + η . _{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

Nótese que la 1-forma η es una conexión H principal en el fibrado de Cartan original P . Además, la 1-forma η satisface: _{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

η ( X ) = 0 para cada vector vertical X ∈ T P . (η es horizontal .) _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

R _h ^* η = Ad ( h ⁻¹ )η para cada h ∈ H . (η es equivariante bajo la H -acción correcta ). _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}

En otras palabras, η es una forma de soldadura para el paquete P.

Por lo tanto, P equipado con la forma η define una H -estructura (de primer orden) en M. La forma η define una conexión en la H -estructura. _{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}

Conexiones parabólicas de Cartan

Si es un álgebra de Lie semisimple con subálgebra parabólica (es decir, contiene un subálgebra resoluble máxima de ) y G y P son grupos de Lie asociados, entonces una conexión de Cartan modelada sobre ( G , P , , ) se llama geometría de Cartan parabólica , o simplemente geometría parabólica . Una característica distintiva de las geometrías parabólicas es una estructura de álgebra de Lie en sus espacios cotangentes : esto surge porque el subespacio perpendicular ^⊥ de en con respecto a la forma de Killing de es un subálgebra de , y la forma de Killing induce una dualidad natural entre ^⊥ y . Por lo tanto, el fibrado asociado a ^⊥ es isomorfo al fibrado cotangente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Las geometrías parabólicas incluyen muchas de aquellas de interés en la investigación y aplicaciones de las conexiones de Cartan, como los siguientes ejemplos:

• Conexiones conformes : Aquí G = SO ( p +1, q +1), y P es el estabilizador de un rayo nulo en R ⁿ⁺² .
• Conexiones proyectivas : Aquí G = PGL (n+1) y P es el estabilizador de un punto en RP ⁿ .
• Estructuras CR y conexiones de Cartan-Chern-Tanaka: G = PSU ( p +1, q +1), P = estabilizador de un punto en la hipercuadrícula nula proyectiva .
• Conexiones proyectivas de contacto: ^[12] Aquí G = SP (2n+2) y P es el estabilizador del rayo generado por el primer vector base estándar en R ⁿ⁺² .
• Distribuciones genéricas de rango 2 en 5-variedades: Aquí G = Aut ( O _s ) es el grupo de automorfismos del álgebra O _s de octoniones divididos, un subgrupo cerrado de SO (3,4), y P es la intersección de G con el estabilizador de la línea isótropa abarcada por el primer vector base estándar en R ⁷ visto como los octoniones divididos puramente imaginarios (complemento ortogonal del elemento unitario en O _s ). ^[13]

Operadores diferenciales asociados

Diferenciación covariante

Supóngase que M es una geometría de Cartan modelada sobre G / H , y sea ( Q , α ) el fibrado principal de G con conexión, y ( P , η ) la reducción correspondiente a H con η igual al pullback de α . Sea V una representación de G , y formemos el fibrado vectorial V = Q × _G V sobre M. Entonces la conexión principal de G α sobre Q induce una derivada covariante sobre V , que es un operador diferencial lineal de primer orden.

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

donde denota el espacio de k -formas en M con valores en V de modo que es el espacio de secciones de V y es el espacio de secciones de Hom(T M , V ). Para cualquier sección v de V , la contracción de la derivada covariante ∇ v con un campo vectorial X en M se denota ∇ _X v y satisface la siguiente regla de Leibniz: ${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

para cualquier función suave f en M .

La derivada covariante también puede construirse a partir de la conexión de Cartan η en P . De hecho, construirla de esta manera es ligeramente más general en el sentido de que V no necesita ser una representación completa de G . ^[14] Supongamos en cambio que V es un ( , H )-módulo: una representación del grupo H con una representación compatible del álgebra de Lie . Recordemos que una sección v del fibrado vectorial inducido V sobre M puede considerarse como una función H -equivariante P → V . Este es el punto de vista que adoptaremos. Sea X un campo vectorial en M . Elijamos cualquier elevación invariante por la derecha al fibrado tangente de P . Definamos ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$.

Para demostrar que ∇ v está bien definido, se debe:

1. ser independiente del ascensor elegido ${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. sea ​​equivariante, de modo que descienda a una sección del haz V .

Para (1), la ambigüedad en la selección de una sustentación invariante a la derecha de X es una transformación de la forma donde es el campo vectorial vertical invariante a la derecha inducido a partir de . Por lo tanto, al calcular la derivada covariante en términos de la nueva sustentación , se tiene ${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$ ${\displaystyle X_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

ya que al tomar la diferencial de la propiedad de equivariancia en h igual al elemento identidad. ${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$ ${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$

Para (2), observe que, dado que v es equivariante e invariante por la derecha, es equivariante. Por otro lado, dado que η también es equivariante, se deduce que también es equivariante. ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle dv({\bar {X}})}$ ${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$

La derivada fundamental o universal

Supóngase que V es sólo una representación del subgrupo H y no necesariamente del grupo mayor G . Sea el espacio de k -formas diferenciales con valores V en P . En presencia de una conexión de Cartan, existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

dado por donde y . ${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$ ${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$ ${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$

Para cada k , la derivada exterior es un operador diferencial de primer orden.

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

y entonces, para k = 0, define un operador diferencial

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

Como η es equivariante, si v es equivariante, entonces Dv  := φ (d v ). De ello se deduce que este compuesto desciende a un operador diferencial de primer orden D desde secciones de V = P × _H V hasta secciones del fibrado . Esto se denomina derivada fundamental o universal, u operador D fundamental. ${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$

Notas

1. Aunque Cartan recién comenzó a formalizar esta teoría en casos particulares en la década de 1920 (Cartan 1926), hizo mucho uso de la idea general mucho antes. El punto culminante de su notable artículo de 1910 sobre sistemas pfaffianos en cinco variables es la construcción de una conexión de Cartan modelada sobre un espacio homogéneo de cinco dimensiones para el excepcional grupo de Lie G 2 , que él y Engels habían descubierto independientemente en 1894.
2. Chevalley 1946, pág. 110.
3. Véase R. Hermann (1983), Apéndice 1–3 de Cartan (1951).
4. Esta parece ser la manera en que Cartan ve la conexión. Cf. Cartan 1923, p. 362; Cartan 1924, p. 208 especialmente ..un repère définissant un système de coordonnées projectives... ; Cartan 1951, p. 34. Los lectores modernos pueden llegar a varias interpretaciones de estas afirmaciones, cf. las notas de Hermann de 1983 en Cartan 1951, pp. 384–385, 477.
5. Más precisamente, se requiere que h _p esté en el grupo de isotropía de φ _p ( p ), que es un grupo en G isomorfo a H .
6. En general, este no es el mapa rodante descrito en la motivación, aunque está relacionado.
7. Sharp 1997.
8. Lumiste 2001a.
9. Esta es la definición estándar. Cf. Hermann (1983), Apéndice 2 de Cartan 1951; Kobayashi 1970, p. 127; Sharpe 1997; Slovák 1997.
10. Ehresmann 1950, Kobayashi 1957, Lumiste 2001b.
11. Para un tratamiento de las conexiones afines desde este punto de vista, véase Kobayashi y Nomizu (1996, Volumen 1).
12. Véase, por ejemplo, Fox (2005).
13. Sagerschnig 2006; Čap y Sagerschnig 2009.
14. Véase, por ejemplo, Čap & Gover (2002, Definición 2.4).

Referencias

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• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France , 52 : 205–241, doi : 10.24033/bsmf.1053.
• Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755.
• Cartan, Élie (1951), con apéndices de Robert Hermann (ed.), Geometry of Riemannian Spaces (traducción de James Glazebrook de Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2.ª ed.), Math Sci Press, Massachusetts (publicado en 1983) , ISBN 978-0-915692-34-7.
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• Slovák, Jan (1997), Geometrías parabólicas (PDF) , Apuntes de investigación, Parte de la disertación de doctorado, Universidad Masaryk, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2022.

Libros

• Kobayashi, Shoshichi (1972), Grupos de transformaciones en geometría diferencial (Classics in Mathematics 1995 ed.), Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-58659-3.

La sección 3. Conexiones de Cartan [páginas 127–130] trata las conexiones conformes y proyectivas de manera unificada.

Enlaces externos

• Ü. Lumiste (2001) [1994], "Conexión afín", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press