Semi-simplicidad

En matemáticas, la semisimplicidad es un concepto muy extendido en disciplinas como el álgebra lineal , el álgebra abstracta , la teoría de la representación , la teoría de categorías y la geometría algebraica . Un objeto semisimple es aquel que se puede descomponer en una suma de objetos simples , y los objetos simples son aquellos que no contienen subobjetos propios no triviales. Las definiciones precisas de estas palabras dependen del contexto.

Por ejemplo, si G es un grupo finito , entonces se dice que una representación no trivial de dimensión finita V sobre un campo es simple si las únicas subrepresentaciones que contiene son {0} o V (también se denominan representaciones irreducibles ). Ahora bien, el teorema de Maschke dice que cualquier representación de dimensión finita de un grupo finito es una suma directa de representaciones simples (siempre que la característica del campo base no divida el orden del grupo). Entonces, en el caso de grupos finitos con esta condición, toda representación de dimensión finita es semisimple. Especialmente en álgebra y teoría de la representación, la "semi-simplicidad" también se denomina reducibilidad completa . Por ejemplo, el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa dice que una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto semisimple es semisimple.

Se dice que una matriz cuadrada (en otras palabras, un operador lineal con V como espacio vectorial de dimensión finita) es simple si sus únicos subespacios lineales invariantes bajo T son {0} y V. Si el cuerpo es algebraicamente cerrado (como los números complejos ), entonces las únicas matrices simples son de tamaño 1 por 1. Una matriz semisimple es aquella que es similar a una suma directa de matrices simples ; si el campo es algebraicamente cerrado, esto es lo mismo que ser diagonalizable . ${\displaystyle T:V\to V}$

Estas nociones de semisimplicidad pueden unificarse utilizando el lenguaje de módulos semisimples y generalizarse a categorías semisimples .

Ejemplo introductorio de espacios vectoriales.

Si se consideran todos los espacios vectoriales (sobre un campo , como los números reales ), los espacios vectoriales simples son aquellos que no contienen subespacios no triviales adecuados. Por tanto, los espacios vectoriales unidimensionales son los simples. Por tanto, un resultado básico del álgebra lineal es que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es la suma directa de espacios vectoriales simples; en otras palabras, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son semisimples.

Matrices semisimples

Una matriz cuadrada o, equivalentemente, un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V se llama semisimple si cada T - subespacio invariante tiene un T -subespacio invariante complementario . ^{[1] [2]} Esto es equivalente a que el polinomio mínimo de T no tenga cuadrados.

Para espacios vectoriales sobre un campo algebraicamente cerrado F , la semisimplicidad de una matriz es equivalente a la diagonalizabilidad . ^[1] Esto se debe a que dicho operador siempre tiene un vector propio; si es, además, semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio y, por tanto, por inducción es diagonalizable. Por el contrario, es fácil considerar que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base propia para este subespacio puede extenderse a una base propia del espacio completo.

Módulos y anillos semisimples.

Para un anillo fijo R , un módulo R no trivial M es simple , si no tiene submódulos distintos de 0 y M. Un R -módulo M es semisimple si cada R -submódulo de M es un R -módulo sumando directo de M (el módulo trivial 0 es semisimple, pero no simple). Para un R -módulo M , M es semisimple si y sólo si es la suma directa de módulos simples (el módulo trivial es la suma directa vacía). Finalmente, R se llama anillo semisimple si es semisimple como un módulo R. Resulta que esto equivale a exigir que cualquier R -módulo M generado finitamente sea semisimple. ^[3]

Ejemplos de anillos semisimples incluyen campos y, más generalmente, productos directos finitos de campos. Para un grupo finito G, el teorema de Maschke afirma que el anillo del grupo R [ G ] sobre algún anillo R es semisimple si y sólo si R es semisimple y | GRAMO | es invertible en R . Dado que la teoría de módulos de R [ G ] es la misma que la teoría de representación de G en R -módulos, este hecho es una dicotomía importante, que causa la teoría de representación modular , es decir, el caso en el que | GRAMO | divide la característica de R para que sea más difícil que el caso en el que | GRAMO | no divide la característica, en particular si R es un campo de característica cero. Según el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo artiniano unital R es semisimple si y sólo si es (isomorfo a) , donde cada uno es un anillo de división y es el anillo de n por n matrices con entradas en D. ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle M_{n}(D)}$

Un operador T es semisimple en el sentido anterior si y sólo si la subálgebra generada por las potencias (es decir, iteraciones) de T dentro del anillo de endomorfismos de V es semisimple. ${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$

Como se indicó anteriormente, la teoría de los anillos semisimples es mucho más sencilla que la de los anillos generales. Por ejemplo, cualquier secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

de módulos sobre un anillo semisimple deben dividirse, es decir, . Desde el punto de vista del álgebra homológica , esto significa que no existen extensiones no triviales . El anillo Z de los números enteros no es semisimple: Z no es la suma directa de n Z y Z / n . ${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$

Categorías semisimples

Muchas de las nociones de semisimplicidad anteriores se recuperan mediante el concepto de categoría C semisimple . Brevemente, una categoría es una colección de objetos y mapas entre dichos objetos, la idea es que los mapas entre los objetos conserven alguna estructura inherente a estos objetos. Por ejemplo, los módulos R y los mapas lineales R entre ellos forman una categoría, para cualquier anillo R.

Una categoría abeliana ^[4] C se llama semisimple si hay una colección de objetos simples , es decir, aquellos que no tienen ningún subobjeto distinto del objeto cero 0 y él mismo, de modo que cualquier objeto X sea la suma directa (es decir, coproducto o , equivalentemente, producto) de un número finito de objetos simples. Del lema de Schur se deduce que el anillo de endomorfismo ${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

en una categoría semisimple es un producto de anillos de matriz sobre anillos de división, es decir, semisimple.

Además, un anillo R es semisimple si y sólo si la categoría de R -módulos finitamente generados es semisimple.

Un ejemplo de la teoría de Hodge es la categoría de estructuras de Hodge puras polarizables , es decir, estructuras de Hodge puras equipadas con una forma bilineal definida positiva adecuada . La presencia de esta denominada polarización hace que la categoría de estructuras de Hodge polarizables sea semisimple. ^[5] Otro ejemplo de geometría algebraica es la categoría de motivos puros de variedades proyectivas suaves sobre un campo k módulo una relación de equivalencia adecuada . Como conjeturó Grothendieck y demostró Jannsen , esta categoría es semisimple si y sólo si la relación de equivalencia es equivalencia numérica . ^[6] Este hecho es una piedra angular conceptual en la teoría de los motivos. ${\displaystyle \operatorname {Mot} (k)_{\sim }}$ ${\displaystyle \sim }$

Las categorías abelianas semisimples también surgen de una combinación de una estructura t y una estructura de peso (adecuadamente relacionada) en una categoría triangulada . ^[7]

Semisimplicidad en la teoría de la representación.

Cabe preguntarse si la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo o un álgebra de Lie es semisimple, es decir, si toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. La respuesta, en general, es no. Por ejemplo, la representación de dada por ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

no es una suma directa de irreducibles. ^[8] (Existe precisamente un subespacio invariante no trivial, el intervalo del primer elemento base, .) Por otro lado, si es compacto , entonces toda representación de dimensión finita de admite un producto interno con respecto al cual es unitario, lo que muestra que se descompone como una suma de irreductibles. ^[9] De manera similar, si es un álgebra de Lie semisimple compleja, cada representación de dimensión finita es una suma de irreducibles. ^[10] La prueba original de Weyl de esto utilizó el truco unitario : cada uno de ellos es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo . Dado que es simplemente conexo, existe una correspondencia uno a uno entre las representaciones de dimensión finita de y de . ^[11] Por lo tanto, se aplica el resultado recién mencionado sobre representaciones de grupos compactos. También es posible demostrar la semisimplicidad de las representaciones de directamente por medios algebraicos, como en la Sección 10.3 del libro de Hall. ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ver también: Categoría Fusión (que son semisimples).

Ver también

• Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie que es una suma directa de álgebras de Lie simples.
• Un grupo algebraico semisimple es un grupo algebraico lineal cuyo radical del componente identidad es trivial.
• Álgebra semisimple
• Representación semisimple

Referencias

1. Lam (2001), pág. 39
2. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semisimples". Álgebra lineal (2ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. ISBN 9780135367971. SEÑOR  0276251.
3. Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso de anillos no conmutativos. Textos de posgrado en matemáticas. vol. 131 (2 ed.). Saltador. pag. 27.ISBN​ 0-387-95183-0."(2.5) Teorema y definición"
4. De manera más general, la misma definición de semisimplicidad funciona para categorías de aditivos pseudoabelianos . Véase, por ejemplo, Yves André, Bruno Kahn: Nilpotence, radicaux etstructures monoïdales. Con un apéndice de Peter O'Sullivan . Desgarrar. Sem. Estera. Univ. Padua 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273.
5. Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM Estructuras mixtas de Hodge . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], 52. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xiv+470 págs. ISBN 978-3-540-77015-2 ; ver Corolario 2.12 
6. Uwe Jannsen: motivos, equivalencia numérica y semisimplicidad , Invent. matemáticas. 107, 447 ~ 452 (1992)
7. Bondarko, Mikhail V. (2012), "Estructuras de peso y 'pesos' en los corazones de las estructuras t ", Homology Homotopy Appl. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl  1251.18006
8. Salón 2015 Ejemplo 4.25
9. Teorema 4.28 de Hall 2015
10. Teorema 10.9 de Hall 2015
11. Teorema 5.6 de Hall 2015

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer

enlaces externos

• MathOverflow : ¿Las categorías tensoriales abelianas no degeneradas son semisimples?
• Categoría semisimple en el n Lab