Representación semisimple

Una representación de un grupo o álgebra que es una suma directa de representaciones simples

En matemáticas , específicamente en teoría de representaciones , una representación semisimple (también llamada representación completamente reducible ) es una representación lineal de un grupo o un álgebra que es una suma directa de representaciones simples (también llamadas representaciones irreducibles ). ^[1] Es un ejemplo de la noción matemática general de semisimplicidad .

Muchas representaciones que aparecen en aplicaciones de la teoría de la representación son semisimples o pueden aproximarse mediante representaciones semisimples. Un módulo semisimple sobre un álgebra sobre un cuerpo es un ejemplo de una representación semisimple. Por el contrario , una representación semisimple de un grupo G sobre un cuerpo k es un módulo semisimple sobre el álgebra de grupo k [ G  ].

Caracterizaciones equivalentes

Sea V una representación de un grupo G ; o, de manera más general, sea V un espacio vectorial con un conjunto de endomorfismos lineales que actúan sobre él. En general, se dice que un espacio vectorial sobre el que actúan un conjunto de endomorfismos lineales es simple (o irreducible) si los únicos subespacios invariantes para esos operadores son cero y el propio espacio vectorial; una representación semisimple es entonces una suma directa de representaciones simples en ese sentido. ^[1]

Los siguientes son equivalentes: ^[2]

1. V es semisimple como representación.
2. V es una suma de subrepresentaciones simples .
3. Cada subrepresentación W de V admite una representación complementaria : una subrepresentación W ' tal que . ${\displaystyle V=W\oplus W'}$

La equivalencia de las condiciones anteriores se puede demostrar con base en el siguiente lema , que es de interés independiente:

Lema ^[3]  —  Sea p : V → W una función sobreyectiva equivariante entre representaciones. Si V es semisimple, entonces p se desdobla ; es decir, admite una sección .

Prueba del lema : Escribe donde son representaciones simples. Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que son subrepresentaciones; es decir, podemos suponer que la suma directa es interna. Ahora, considere la familia de todas las sumas directas posibles con varios subconjuntos . Póngale el orden parcial diciendo que la suma directa sobre K es menor que la suma directa sobre J si . Por el lema de Zorn , podemos encontrar un maximal tal que . Afirmamos que . Por definición, por lo que solo necesitamos demostrar que . Si es una subrepresentación propia de entonces existe tal que . Dado que es simple (irreducible), . Esto contradice la maximalidad de , por lo que como se afirma. Por lo tanto, es una sección de p . ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle K\subset J}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k\in I-J}$ ${\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$ ${\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}$ ${\displaystyle \square }$

Nótese que no podemos tomar el conjunto de tal que . La razón es que puede suceder, y sucede frecuentemente, que sea un subespacio de y sin embargo . Por ejemplo, tomemos , y como tres líneas distintas que pasan por el origen en . Para un contraejemplo explícito, sea el álgebra de matrices de 2 por 2 y el conjunto , la representación regular de . Conjunto y y conjunto . Entonces , y son todos -módulos irreducibles y . Sea la sobreyección natural. Entonces y . En este caso, pero debido a que esta suma no es directa. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\oplus Z}$ ${\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}F}$ ${\displaystyle V=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ ${\displaystyle p:V\to V/W}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}$ ${\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$ ${\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}$ ${\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}$

Prueba de equivalencias ^[4] : Tome p como la sobreyección natural . Como V es semisimple, p se divide y, por lo tanto, a través de una sección, es isomorfa a una subrepresentación que es complementaria a W . ${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$ ${\displaystyle V\to V/W}$ ${\displaystyle V/W}$

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$: Observaremos primero que cada subrepresentación no nula W tiene una subrepresentación simple. Reduciendo W a una subrepresentación cíclica (no nula) podemos suponer que se genera finitamente. Entonces tiene una subrepresentación máxima U . Por la condición 3., para algún . Por ley modular, implica . Entonces es una subrepresentación simple de W ("simple" debido a la maximalidad). Esto establece la observación. Ahora, tome como la suma de todas las subrepresentaciones simples, que, por 3., admite una representación complementaria . Si , entonces, por la observación anterior, contiene una subrepresentación simple y, por lo tanto , un sinsentido. Por lo tanto, . ${\displaystyle V=U\oplus U'}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$ ${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'\neq 0}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$ ${\displaystyle W'=0}$

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: ^[5] La implicación es una generalización directa de un hecho básico del álgebra lineal de que una base puede extraerse de un conjunto generador de un espacio vectorial. Es decir, podemos demostrar la siguiente afirmación ligeramente más precisa:

• Cuando es una suma de subrepresentaciones simples, una descomposición semisimple , algún subconjunto , se puede extraer de la suma. ${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$ ${\displaystyle I'\subset I}$

Al igual que en la prueba del lema, podemos encontrar una suma directa máxima que consta de algunos . Ahora, para cada i en I , por simplicidad, o bien o . En el segundo caso, la suma directa es una contradicción con la maximalidad de W . Por lo tanto, . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\subset W}$ ${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$ ${\displaystyle W\oplus V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\subset W}$ ${\displaystyle \square }$

Ejemplos y no ejemplos

Representaciones unitarias

Una representación unitaria de dimensión finita (es decir, una representación que factoriza a través de un grupo unitario ) es un ejemplo básico de una representación semisimple. Dicha representación es semisimple ya que si W es una subrepresentación, entonces el complemento ortogonal a W es una representación complementaria ^[6] porque si y , entonces para cualquier w en W ya que W es G -invariante, y entonces . ${\displaystyle v\in W^{\bot }}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}$ ${\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}$

Por ejemplo, dada una representación compleja finito-dimensional continua de un grupo finito o un grupo compacto G , mediante el argumento de promediado, se puede definir un producto interno sobre V que sea G -invariante: es decir, , lo que quiere decir que es un operador unitario y, por lo tanto, es una representación unitaria. ^[6] Por lo tanto, toda representación compleja continua finito-dimensional de G es semisimple. ^[7] Para un grupo finito, este es un caso especial del teorema de Maschke , que dice que una representación finito-dimensional de un grupo finito G sobre un cuerpo k con característica que no divide el orden de G es semisimple. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \langle \,,\rangle }$ ${\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$ ${\displaystyle \pi (g)}$ ${\displaystyle \pi }$

Representaciones de álgebras de Lie semisimples

Según el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa , toda representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica cero es semisimple. ^[10]

Polinomios mínimos separables

Dado un endomorfismo lineal T de un espacio vectorial V , V es semisimple como representación de T (es decir, T es un operador semisimple ) si y solo si el polinomio mínimo de T es separable; es decir, un producto de polinomios irreducibles distintos. ^[11]

Representación semisimple asociada

Dada una representación de dimensión finita V , el teorema de Jordan-Hölder dice que hay una filtración por subrepresentaciones: tal que cada cociente sucesivo es una representación simple. Entonces el espacio vectorial asociado es una representación semisimple llamada representación semisimple asociada , que, salvo un isomorfismo, está determinada unívocamente por V . ^[12] ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}$

Grupo unipotente no-ejemplo

Una representación de un grupo unipotente no es generalmente semisimple. Consideremos que es el grupo que consiste en matrices reales ; actúa sobre de manera natural y hace que V sea una representación de G . Si W es una subrepresentación de V que tiene dimensión 1, entonces un cálculo simple muestra que debe estar abarcada por el vector . Es decir, hay exactamente tres G -subrepresentaciones de V ; en particular, V no es semisimple (ya que una única subrepresentación unidimensional no admite una representación complementaria). ^[13] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

Descomposición semisimple y multiplicidad

La descomposición de una representación semisimple en representaciones simples, llamada descomposición semisimple, no necesita ser única; por ejemplo, para una representación trivial, las representaciones simples son espacios vectoriales unidimensionales y, por lo tanto, una descomposición semisimple equivale a una elección de una base del espacio vectorial de representación. ^[14] La descomposición isotípica, por otro lado, es un ejemplo de descomposición única. ^[15]

Sin embargo, para una representación semisimple de dimensión finita V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los números de representaciones simples hasta el isomorfismo que aparecen en la descomposición de V (1) son únicos y (2) determinan completamente la representación hasta el isomorfismo; ^[16] esto es una consecuencia del lema de Schur de la siguiente manera. Supóngase que se da una representación semisimple de dimensión finita V sobre un cuerpo algebraicamente cerrado: por definición, es una suma directa de representaciones simples. Al agrupar representaciones simples en la descomposición que son isomorfas entre sí, hasta un isomorfismo, se encuentra una descomposición (no necesariamente única): ^[16]

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

donde son representaciones simples, mutuamente no isomorfas entre sí, y son números enteros positivos . Por el lema de Schur, ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$,

donde se refiere a las aplicaciones lineales equivariantes . Además, cada una no cambia si se reemplaza por otra representación simple isomorfa a . Por lo tanto, los números enteros son independientes de las descomposiciones elegidas; son las multiplicidades de las representaciones simples , hasta el isomorfismo, en V . ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

En general, dada una representación de dimensión finita de un grupo G sobre un cuerpo k , la composición se denomina carácter de . ^[18] Cuando es semisimple con la descomposición como la anterior, la traza es la suma de las trazas de con multiplicidades y, por lo tanto, como funciones en G , ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \chi _{V}:G\,{\overset {\pi }{\to }}\,GL(V)\,{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\,k}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$ ${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

donde son los caracteres de . Cuando G es un grupo finito o más generalmente un grupo compacto y es una representación unitaria con el producto interno dado por el argumento de promediación, las relaciones de ortogonalidad de Schur dicen: ^[19] los caracteres irreducibles (caracteres de representaciones simples) de G son un subconjunto ortonormal del espacio de funciones de valor complejo en G y por lo tanto . ${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$

Descomposición isotípica

Existe una descomposición de una representación semisimple que es única, llamada descomposición isotípica de la representación. Por definición, dada una representación simple S , el componente isotípico de tipo S de una representación V es la suma de todas las subrepresentaciones de V que son isomorfas a S ; ^[15] nótese que el componente también es isomorfo a la suma directa de alguna elección de subrepresentaciones isomorfas a S (por lo que el componente es único, mientras que los sumandos no lo son necesariamente).

Entonces la descomposición isotípica de una representación semisimple V es la descomposición por suma directa (única): ^{[15] [20]}

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

donde es el conjunto de clases de isomorfismo de representaciones simples de G y es el componente isotípico de V de tipo S para algún . ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle S\in \lambda }$

Ejemplo

Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado tres sobre los números complejos en las variables . Entonces actúa sobre por permutación de las tres variables. Esta es una representación compleja de dimensión finita de un grupo finito, y por lo tanto es semisimple. Por lo tanto, esta representación de 10 dimensiones se puede dividir en tres componentes isotípicos, cada uno correspondiente a una de las tres representaciones irreducibles de . En particular, contiene tres copias de la representación trivial, una copia de la representación de signos y tres copias de la representación irreducible bidimensional de . Por ejemplo, el espacio de y es isomorfo a . Esto se puede ver más fácilmente escribiendo este subespacio bidimensional como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}}$.

Otra copia se puede escribir de forma similar: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}}$.

Así también puede el tercero:

${\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}$.

Entonces el componente isotípico es de tipo . ${\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Terminación

En el análisis de Fourier , se descompone una función (buena) como el límite de la serie de Fourier de la función. De la misma manera, una representación en sí misma puede no ser semisimple pero puede ser la compleción (en un sentido adecuado) de una representación semisimple. El caso más básico de esto es el teorema de Peter-Weyl , que descompone la representación regular izquierda (o derecha) de un grupo compacto en la compleción del espacio de Hilbert de la suma directa de todas las representaciones unitarias simples. Como corolario , ^[21] hay una descomposición natural para = el espacio de Hilbert de (clases de) funciones integrables al cuadrado en un grupo compacto G : ${\displaystyle W=L^{2}(G)}$

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

donde significa la completitud de la suma directa y la suma directa recorre todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias de dimensión finita simples de G. ^{[nota 1]} Nótese aquí que cada representación unitaria simple (hasta un isomorfismo) aparece en la suma con la multiplicidad de la dimensión de la representación. ${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$

Cuando el grupo G es un grupo finito, el espacio vectorial es simplemente el álgebra de grupo de G y además la completitud es nula. Por lo tanto, el teorema simplemente dice que ${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

Es decir, cada representación simple de G aparece en la representación regular con multiplicidad la dimensión de la representación. ^[22] Este es uno de los hechos estándar en la teoría de la representación de un grupo finito (y es mucho más fácil de demostrar).

Cuando el grupo G es el grupo circular , el teorema equivale exactamente al análisis de Fourier clásico. ^[23] ${\displaystyle S^{1}}$

Aplicaciones a la física

En mecánica cuántica y física de partículas , el momento angular de un objeto puede describirse mediante representaciones complejas del grupo de rotación SO(3) , todas las cuales son semisimples. ^[24] Debido a la conexión entre SO(3) y SU(2) , el espín no relativista de una partícula elemental se describe mediante representaciones complejas de SU(2) y el espín relativista se describe mediante representaciones complejas de SL ₂ ( C ) , todas las cuales son semisimples. ^[24] En el acoplamiento del momento angular , los coeficientes de Clebsch-Gordan surgen de las multiplicidades de representaciones irreducibles que ocurren en la descomposición semisimple de un producto tensorial de representaciones irreducibles. ^[25]

Notas

1. Para ser precisos, el teorema se refiere a la representación regular de y la afirmación anterior es un corolario. ${\displaystyle G\times G}$

Referencias

Citas

1. Procesi 2007, cap. 6, § 1.1, Definición 1 (ii).
2. Proceso 2007, cap. 6, § 2.1.
3. Anderson y Fuller 1992, Proposición 9.4.
4. Anderson y Fuller 1992, Teorema 9.6.
5. Anderson y Fuller 1992, Lema 9.2.
6. Fulton & Harris 1991, § 9.3. A
7. Hall 2015, Teorema 4.28
8. Fulton y Harris 1991, Corolario 1.6.
9. Serre 1977, Teorema 2.
10. Hall 2015 Teorema 10.9
11. Jacobson 1989, § 3.5. Ejercicio 4.
12. Artin 1999, Cap. V, § 14.
13. Fulton y Harris 1991, justo después del Corolario 1.6.
14. Serre 1977, § 1.4. observación
15. Procesi 2007, Cap. 6, § 2.3.
16. Fulton & Harris 1991, Proposición 1.8.
17. Fulton y Harris 1991, § 2.3.
18. Fulton & Harris 1991, § 2.1. Definición
19. Serre 1977, § 2.3. Teorema 3 y § 4.3.
20. Serre 1977, § 2.6. Teorema 8 (i)
21. Proceso 2007, cap. 8, Teorema 3.2.
22. Serre 1977, § 2.4. Corolario 1 de la Proposición 5
23. Proceso 2007, cap. 8, § 3.3.
24. Hall, Brian C. (2013). "Momento angular y espín". Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 267. Springer . págs. 367–392. ISBN 978-1461471158.
25. Klimyk, AU; Gavrilik, AM (1979). "Elementos de la matriz de representación y coeficientes de Clebsch-Gordan de los grupos de Lie semisimples". Journal of Mathematical Physics . 20 (1624): 1624–1642. Bibcode :1979JMP....20.1624K. doi :10.1063/1.524268.

Fuentes

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Graduate Texts in Mathematics , vol. 13 (2.ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, Sr.  1245487; NB: esta referencia, nominalmente, considera un módulo semisimple sobre un anillo, no sobre un grupo, pero esta no es una diferencia material (la parte abstracta de la discusión se aplica también a los grupos).
• Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 222 (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2.ª ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Procesi, Claudio (2007). Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representación . Springer. ISBN 9780387260402..
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de posgrado en matemáticas , 42. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90190-9.MR  0450380.Zbl 0355.20006  .​