Módulo Harish-Chandra

En matemáticas , específicamente en la teoría de la representación de grupos de Lie , un módulo de Harish-Chandra , llamado así en honor al matemático y físico indio Harish-Chandra , es una representación de un grupo de Lie real , asociado a una representación general, con condiciones de regularidad y finitud. Cuando la representación asociada es un módulo, entonces su módulo Harish-Chandra es una representación con propiedades de factorización deseables. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$

Definición

Sea G un grupo de Lie y K un subgrupo compacto de G. Si es una representación de G , entonces el módulo de Harish-Chandra es el subespacio X de V que consta de los vectores suaves K-finitos en V. Esto significa que X incluye exactamente aquellos vectores v tales que el mapa vía ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varphi _{v}:G\longrightarrow V}$

${\displaystyle \varphi _{v}(g)=\pi (g)v}$

es suave y el subespacio

${\displaystyle {\text{span}}\{\pi (k)v:k\in K\}}$

es de dimensión finita.

Notas

En 1973, Lepowsky demostró que cualquier módulo X irreducible es isomorfo al módulo Harish-Chandra de una representación irreducible de G en un espacio de Hilbert . Tales representaciones son admisibles , lo que significa que se descomponen de manera análoga a la factorización prima de números enteros. (¡Por supuesto, la descomposición puede tener infinitos factores distintos!) Además, un resultado de Harish-Chandra indica que si G es un grupo de Lie reductivo con subgrupo compacto máximo K , y X es un módulo irreducible con una forma hermitiana definida positiva satisfactorio ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$

${\displaystyle \langle k\cdot v,w\rangle =\langle v,k^{-1}\cdot w\rangle }$

y

${\displaystyle \langle Y\cdot v,w\rangle =-\langle v,Y\cdot w\rangle }$

para todos y , entonces X es el módulo Harish-Chandra de una representación unitaria irreducible única de  G . ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k\in K}$

Referencias

• Vogan, Jr., David A. (1987), Representaciones unitarias de grupos de mentiras reductivos , Annals of Mathematics Studies, vol. 118, Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 978-0-691-08482-4

Ver también

• módulo (g,K)
• Representación admisible
• Representación unitaria