Módulo (g,K)

En matemáticas , más específicamente en la teoría de representación de grupos de Lie reductivos , un -módulo es un objeto algebraico, introducido por primera vez por Harish-Chandra , ^[1] utilizado para tratar con representaciones continuas de dimensión infinita utilizando técnicas algebraicas. Harish-Chandra demostró que el estudio de representaciones unitarias irreducibles de un grupo de Lie reductivo real , G , podría reducirse al estudio de -módulos irreducibles, donde es el álgebra de Lie de G y K es un subgrupo compacto maximal de G. ^[2] ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición

Sea G un grupo de Lie real. Sea su álgebra de Lie y K un subgrupo compacto maximalista con álgebra de Lie . Un módulo se define de la siguiente manera: ^[3] es un espacio vectorial V que es a la vez una representación del álgebra de Lie y una representación de grupo de K (sin tener en cuenta la topología de K ) que satisface las tres condiciones siguientes ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. para cualquier v ∈ V , k ∈ K y X ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle k\cdot (X\cdot v)=(\operatorname {Ad} (k)X)\cdot (k\cdot v)}$

2. para cualquier v ∈ V , Kv abarca un subespacio de dimensión finita de V en el que la acción de K es continua

3. para cualquier v ∈ V e Y ∈ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {d}{dt}}\exp(tY)\cdot v\right)\right|_{t=0}=Y\cdot v.}$

En lo anterior, el punto, , denota tanto la acción de sobre V como la de K . La notación Ad( k ) denota la acción adjunta de G sobre , y Kv es el conjunto de vectores a medida que k varía sobre todo K . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k\cdot v}$

La primera condición puede entenderse de la siguiente manera: si G es el grupo lineal general GL( n , R ), entonces es el álgebra de todas las matrices n por n , y la acción adjunta de k sobre X es kXk ⁻¹ ; la condición 1 puede entonces leerse como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle kXv=kXk^{-1}kv=\left(kXk^{-1}\right)kv.}$

En otras palabras, es un requisito de compatibilidad entre las acciones de K sobre V , sobre V y K sobre . La tercera condición también es una condición de compatibilidad, esta vez entre la acción de sobre V vista como un subálgebra de Lie de y su acción vista como el diferencial de la acción de K sobre V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Notas

1. Página 73 de Wallach 1988
2. Página 12 de Doran y Varadarajan 2000
3. Esta es la definición más general de James Lepowsky, tal como aparece en la sección 3.3.1 de Wallach 1988

Referencias

• Doran, Robert S.; Varadarajan, VS, eds. (2000), El legado matemático de Harish-Chandra , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 68, AMS , ISBN 978-0-8218-1197-9, Sr.  1767886
• Wallach, Nolan R. (1988), Grupos reductivos reales I , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 132, Academic Press, ISBN 978-0-12-732960-4, Sr.  0929683