En matemáticas , el grupo lineal general de grado n es el conjunto de matrices invertibles n × n , junto con la operación de multiplicación de matrices ordinaria . Esto forma un grupo , porque el producto de dos matrices invertibles es nuevamente invertible, y la inversa de una matriz invertible es invertible, con la matriz identidad como elemento identidad del grupo. El grupo se llama así porque las columnas (y también las filas) de una matriz invertible son linealmente independientes , por lo tanto, los vectores/puntos que definen están en posición lineal general , y las matrices en el grupo lineal general toman puntos en posición lineal general a puntos. en posición lineal general.
Para ser más precisos, es necesario especificar qué tipo de objetos pueden aparecer en las entradas de la matriz. Por ejemplo, el grupo lineal general sobre R (el conjunto de números reales ) es el grupo de n × n matrices invertibles de números reales, y se denota por GL n ( R ) o GL( n , R ) .
De manera más general, el grupo lineal general de grado n sobre cualquier campo F (como los números complejos ), o un anillo R (como el anillo de los números enteros ), es el conjunto de n × n matrices invertibles con entradas de F (o R ), nuevamente con la multiplicación de matrices como operación grupal. [1] La notación típica es GL n ( F ) o GL( n , F ) , o simplemente GL( n ) si se entiende el campo.
De manera más general aún, el grupo lineal general de un espacio vectorial GL( V ) es el grupo de automorfismos , no necesariamente escrito como matrices.
El grupo lineal especial , escrito SL( n , F ) o SL n ( F ), es el subgrupo de GL( n , F ) que consta de matrices con un determinante de 1.
El grupo GL( n , F ) y sus subgrupos a menudo se denominan grupos lineales o grupos matriciales (el grupo de automorfismo GL( V ) es un grupo lineal pero no un grupo matricial). Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupos , y también surgen en el estudio de las simetrías espaciales y de las simetrías de espacios vectoriales en general, así como en el estudio de los polinomios . El grupo modular puede realizarse como un cociente del grupo lineal especial SL(2, Z ) .
Si n ≥ 2 , entonces el grupo GL( n , F ) no es abeliano .
Si V es un espacio vectorial sobre el campo F , el grupo lineal general de V , escrito GL( V ) o Aut( V ), es el grupo de todos los automorfismos de V , es decir, el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas V → V , junto con la composición funcional como operación grupal. Si V tiene dimensión finita n , entonces GL( V ) y GL( n , F ) son isomorfos . El isomorfismo no es canónico; depende de la elección de la base en V . Dada una base ( e 1 , ..., e n ) de V y un automorfismo T en GL( V ), tenemos entonces para cada vector de base e i que
para algunas constantes a ij en F ; la matriz correspondiente a T es entonces solo la matriz con entradas dadas por a ji .
De manera similar, para un anillo conmutativo R , el grupo GL( n , R ) puede interpretarse como el grupo de automorfismos de un módulo R libre M de rango n . También se puede definir GL( M ) para cualquier R -módulo, pero en general esto no es isomorfo a GL( n , R ) (para cualquier n ).
Sobre un campo F , una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, una definición alternativa de GL( n , F ) es como el grupo de matrices con determinante distinto de cero.
Sobre un anillo conmutativo R , se necesita más cuidado: una matriz sobre R es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en R , es decir, si su determinante es invertible en R . Por tanto, GL( n , R ) puede definirse como el grupo de matrices cuyos determinantes son unidades.
En un anillo R no conmutativo , los determinantes no se comportan del todo bien. En este caso, GL( n , R ) puede definirse como el grupo unitario del anillo de matriz M( n , R ) .
El grupo lineal general GL( n , R ) sobre el campo de números reales es un grupo de Lie real de dimensión n 2 . Para ver esto, observe que el conjunto de todas las matrices reales n × n , M n ( R ), forma un espacio vectorial real de dimensión n 2 . El subconjunto GL( n , R ) consta de aquellas matrices cuyo determinante es distinto de cero. El determinante es un mapa polinomial y, por lo tanto, GL( n , R ) es una subvariedad afín abierta de M n ( R ) (un subconjunto abierto no vacío de M n ( R ) en la topología de Zariski ), y por lo tanto [2] una variedad lisa de la misma dimensión.
El álgebra de Lie de GL( n , R ) , denotada , consta de todas las n × n matrices reales con el conmutador que sirve como soporte de Lie.
Como variedad, GL( n , R ) no es conexa sino que tiene dos componentes conexos : las matrices con determinante positivo y las que tienen determinante negativo. El componente identidad , denotado por GL + ( n , R ) , consta de matrices reales n × n con determinante positivo. Este también es un grupo de Lie de dimensión n 2 ; tiene la misma álgebra de Lie que GL( n , R ) .
La descomposición polar , que es única para matrices invertibles, muestra que existe un homeomorfismo entre GL( n , R ) y el producto cartesiano de O( n ) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. De manera similar, muestra que existe un homeomorfismo entre GL + ( n , R ) y el producto cartesiano de SO( n ) con el conjunto de matrices simétricas definidas positivas. Debido a que este último es contráctil, el grupo fundamental de GL + ( n , R ) es isomorfo al de SO( n ).
El homeomorfismo también muestra que el grupo GL( n , R ) no es compacto . “El” [3] subgrupo compacto máximo de GL( n , R ) es el grupo ortogonal O( n ), mientras que "el" subgrupo compacto máximo de GL + ( n , R ) es el grupo ortogonal especial SO( n ). En cuanto a SO( n ), el grupo GL + ( n , R ) no es simplemente conexo (excepto cuando n = 1) , sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z para n = 2 o Z 2 para n > 2 .
El grupo lineal general sobre el campo de números complejos , GL( n , C ) , es un grupo de Lie complejo de dimensión compleja n 2 . Como grupo de Lie real (mediante realización) tiene dimensión 2 n 2 . El conjunto de todas las matrices reales forma un subgrupo de Lie real. Estos corresponden a las inclusiones
que tienen dimensiones reales n 2 , 2 n 2 y 4 n 2 = (2 n ) 2 . Las matrices complejas de n dimensiones se pueden caracterizar como matrices reales de 2 n dimensiones que conservan una estructura lineal compleja , concretamente, que conmutan con una matriz J tal que J 2 = − I , donde J corresponde a multiplicar por la unidad imaginaria i .
El álgebra de Lie correspondiente a GL( n , C ) consta de todas las n × n matrices complejas con el conmutador que actúa como soporte de Lie.
A diferencia del caso real, GL( n , C ) es conexo . Esto se debe, en parte, a que el grupo multiplicativo de números complejos C ∗ es conexo. La variedad de grupo GL( n , C ) no es compacta; más bien, su subgrupo compacto máximo es el grupo unitario U ( n ). En cuanto a U( n ) , la variedad de grupo GL( n , C ) no está simplemente conexa sino que tiene un grupo fundamental isomorfo a Z.
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Si F es un campo finito con q elementos, a veces escribimos GL( n , q ) en lugar de GL( n , F ) . Cuando p es primo, GL( n , p ) es el grupo de automorfismo externo del grupo Z p n , y también el grupo de automorfismo , porque Z p n es abeliano, por lo que el grupo de automorfismo interno es trivial.
El orden de GL( n , q ) es:
Esto se puede demostrar contando las posibles columnas de la matriz: la primera columna puede ser cualquier cosa menos el vector cero; la segunda columna puede ser cualquier cosa menos los múltiplos de la primera columna; y en general, la k ésima columna puede ser cualquier vector que no esté en el intervalo lineal de las primeras k − 1 columnas. En notación q -analógica , esto es .
Por ejemplo, GL(3, 2) tiene orden (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168 . Es el grupo de automorfismos del plano de Fano y del grupo Z 2 3 , y también se conoce como PSL(2, 7) .
De manera más general, se pueden contar puntos de Grassmann sobre F : en otras palabras, el número de subespacios de una dimensión dada k . Esto solo requiere encontrar el orden del subgrupo estabilizador de uno de esos subespacios y dividirlo por la fórmula que se acaba de dar, por el teorema del estabilizador de órbita .
Estas fórmulas están relacionadas con la descomposición de Schubert del Grassmanniano y son q -análogas de los números de Betti de los Grassmannianos complejos. Ésta fue una de las pistas que llevaron a las conjeturas de Weil .
Tenga en cuenta que en el límite q ↦ 1 el orden de GL( n , q ) llega a 0. – pero bajo el procedimiento correcto (dividiendo por ( q − 1) n ) vemos que es el orden del grupo simétrico (Ver artículo de Lorscheid) – en la filosofía del campo con un elemento , se interpreta así el grupo simétrico como el grupo lineal general sobre el campo con un elemento: S n ≅ GL( n , 1) .
El grupo lineal general sobre un campo primo, GL( ν , p ) , fue construido y su orden calculado por Évariste Galois en 1832, en su última carta (a Chevalier) y el segundo (de tres) manuscritos adjuntos, que utilizó en el contexto del estudio del grupo de Galois de la ecuación general de orden p ν . [4]
El grupo lineal especial, SL( n , F ) , es el grupo de todas las matrices con determinante 1. Son especiales porque se encuentran en una subvariedad : satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es un polinomio en las entradas). Las matrices de este tipo forman un grupo ya que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes de cada matriz. SL( n , F ) es un subgrupo normal de GL( n , F ) .
Si escribimos F × para el grupo multiplicativo de F (excluyendo 0), entonces el determinante es un homomorfismo de grupo
eso es sobreyectivo y su núcleo es el grupo lineal especial. Por lo tanto, según el primer teorema del isomorfismo , GL( n , F )/SL( n , F ) es isomorfo a F × . De hecho, GL( n , F ) se puede escribir como un producto semidirecto :
El grupo lineal especial es también el grupo derivado (también conocido como subgrupo conmutador) del GL( n , F ) (para un campo o un anillo de división F ) siempre que o k no sea el campo con dos elementos . [5]
Cuando F es R o C , SL( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL( n , F ) de dimensión n 2 − 1 . El álgebra de Lie de SL( n , F ) consta de todas las matrices n × n sobre F con traza evanescente . El soporte de Lie lo da el conmutador .
El grupo lineal especial SL( n , R ) se puede caracterizar como el grupo de transformaciones lineales de R n que preservan el volumen y la orientación .
El grupo SL( n , C ) es simplemente conexo, mientras que SL( n , R ) no lo es. SL( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que GL + ( n , R ) , es decir, Z para n = 2 y Z 2 para n > 2 .
El conjunto de todas las matrices diagonales invertibles forma un subgrupo de GL( n , F ) isomorfo a ( F × ) n . En campos como R y C , estos corresponden a reescalar el espacio; las llamadas dilataciones y contracciones.
Una matriz escalar es una matriz diagonal que es una constante multiplicada por la matriz identidad . El conjunto de todas las matrices escalares distintas de cero forma un subgrupo de GL( n , F ) isomorfo a F × . Este grupo es el centro de GL( n , F ) . En particular, es un subgrupo abeliano normal.
El centro de SL( n , F ) es simplemente el conjunto de todas las matrices escalares con determinante unitario, y es isomorfo al grupo de n- ésimas raíces de la unidad en el campo F.
Los llamados grupos clásicos son subgrupos de GL( V ) que conservan algún tipo de forma bilineal en un espacio vectorial V. Estos incluyen el
Estos grupos proporcionan ejemplos importantes de grupos de Lie.
El grupo lineal proyectivo PGL( n , F ) y el grupo lineal proyectivo especial PSL( n , F ) son los cocientes de GL( n , F ) y SL( n , F ) por sus centros (que constan de los múltiplos de los matriz de identidad en el mismo); son la acción inducida sobre el espacio proyectivo asociado .
El grupo afín Aff( n , F ) es una extensión de GL( n , F ) por el grupo de traducciones en F n . Se puede escribir como un producto semidirecto :
donde GL( n , F ) actúa sobre F n de forma natural. El grupo afín puede verse como el grupo de todas las transformaciones afines del espacio afín subyacente al espacio vectorial F n .
Se tienen construcciones análogas para otros subgrupos del grupo lineal general: por ejemplo, el grupo afín especial es el subgrupo definido por el producto semidirecto, SL( n , F ) ⋉ F n , y el grupo de Poincaré es el grupo afín asociado al Grupo de Lorentz , O(1, 3, F ) ⋉ F norte .
El grupo semilineal general ΓL( n , F ) es el grupo de todas las transformaciones semilineales invertibles y contiene GL. Una transformación semilineal es una transformación lineal "hasta un giro", es decir, "hasta un automorfismo de campo bajo multiplicación escalar". Puede escribirse como un producto semidirecto:
donde Gal( F ) es el grupo de Galois de F (sobre su campo primo ), que actúa sobre GL( n , F ) por la acción de Galois sobre las entradas.
El principal interés de ΓL( n , F ) es que el grupo semilineal proyectivo asociado PΓL( n , F ) (que contiene PGL( n , F )) es el grupo de colineación del espacio proyectivo , para n > 2 , y por lo tanto mapas semilineales son de interés en geometría proyectiva .
Si se elimina la restricción de que el determinante sea distinto de cero, la estructura algebraica resultante es un monoide , generalmente llamado monoide lineal completo , [6] [7] [8] pero ocasionalmente también semigrupo lineal completo , [9] monoide lineal general [10] [11] etc. En realidad, es un semigrupo regular . [7]
El grupo lineal general infinito o grupo lineal general estable es el límite directo de las inclusiones GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) como matriz de bloque superior izquierda . Se denota por GL( F ) o GL(∞, F ) y también puede interpretarse como matrices infinitas invertibles que difieren de la matriz identidad sólo en un número finito de lugares. [12]
Se utiliza en la teoría K algebraica para definir K 1 , y sobre los reales tiene una topología bien entendida, gracias a la periodicidad de Bott .
No debe confundirse con el espacio de operadores invertibles (acotados) en un espacio de Hilbert , que es un grupo más grande y topológicamente mucho más simple, es decir, contráctil; consulte el teorema de Kuiper .
![{\displaystyle [n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d410356b7a8dbdf1d9ddf6ced60f2a4d4a9d980e)
{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)