Representación del grupo

Group homomorphism into the general linear group over a vector space

Una representación de un grupo "actúa" sobre un objeto. Un ejemplo sencillo es cómo las simetrías de un polígono regular , formadas por reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.

En el campo matemático de la teoría de la representación , las representaciones de grupos describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos del espacio vectorial ); en particular, se pueden utilizar para representar elementos de grupo como matrices invertibles , de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante multiplicación de matrices .

En química, una representación de grupo puede relacionar elementos matemáticos de un grupo con rotaciones simétricas y reflexiones de moléculas.

Las representaciones de grupos son importantes porque permiten reducir muchos problemas de teoría de grupos a problemas de álgebra lineal , que se comprende bien. ^{[ dudoso ]} También son importantes en física porque, por ejemplo, describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismo de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal . Algunas personas utilizan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; consulte la última sección para generalizaciones.

Ramas de la teoría de la representación de grupos.

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo representado. Las distintas teorías son bastante diferentes en detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

• Grupos finitos : las representaciones de grupos son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También surgen en las aplicaciones de la teoría de grupos finitos a la cristalografía y la geometría. Si el campo de los escalares del espacio vectorial tiene la característica p , y si p divide el orden del grupo, entonces a esto se le llama teoría de representación modular ; este caso especial tiene propiedades muy diferentes. Véase Teoría de la representación de grupos finitos .
• Grupos compactos o grupos localmente compactos : muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se prueban promediando el grupo. Estas pruebas pueden trasladarse a infinitos grupos reemplazando el promedio por una integral, siempre que pueda definirse una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida de Haar . La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La dualidad de Pontryagin describe la teoría de grupos conmutativos, como una transformada de Fourier generalizada . Véase también: teorema de Peter-Weyl .
• Grupos de Lie : muchos grupos de Lie importantes son compactos, por lo que se les aplican los resultados de la teoría de la representación compacta. También se utilizan otras técnicas específicas de los grupos de Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representación es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. Véase Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras de Lie .
• Grupos algebraicos lineales (o más generalmente esquemas de grupos afines ): estos son análogos de los grupos de Lie, pero en campos más generales quesolo R o C. Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie y dan lugar a las mismas familias de álgebras de Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos comprendidas). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar grupos de Lie deben ser reemplazadas por técnicas de geometría algebraica , donde la topología relativamente débilcausa muchas complicaciones técnicas.
• Grupos topológicos no compactos : la clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir una teoría de representación general, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tienen una teoría profunda que se basa en el caso compacto. Los grupos de Lie complementarios solubles no se pueden clasificar de la misma manera. La teoría general para grupos de Lie trata de productos semidirectos de los dos tipos, mediante resultados generales llamados teoría de Mackey , que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner .

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, las estructuras adicionales son importantes (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.).

También hay que considerar el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos . Los otros casos importantes son el campo de números reales , los campos finitos y los campos de números p-ádicos . En general, los campos algebraicamente cerrados son más fáciles de manejar que los no algebraicamente cerrados. La característica del campo también es significativa; Muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo que no divide el orden del grupo .

Definiciones

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un campo K es un homomorfismo de grupo de G a GL( V ), el grupo lineal general en V. Es decir, una representación es un mapa.

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

tal que

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.}$

Aquí a V se le llama espacio de representación y a la dimensión de V se le llama dimensión o grado de la representación. Es una práctica común referirse a V en sí como la representación cuando el homomorfismo queda claro en el contexto.

En el caso de que V sea de dimensión finita n, es común elegir una base para V e identificar GL( V ) con GL( n , K ) , el grupo de matrices invertibles en el campo K . ${\displaystyle n\times n}$

• Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico , una representación continua de G en V es una representación ρ tal que la aplicación Φ: G × V → V definida por Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) es continua .
• El núcleo de una representación ρ de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo ρ es la transformación de identidad:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL( V ) es inyectivo ; en otras palabras, uno cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consta únicamente del elemento de identidad del grupo.

• Dados dos K ​​espacios vectoriales V y W , se dice que dos representaciones ρ  : G → GL( V ) y π  : G → GL( W ) son equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo en el espacio vectorial α  : V → W de modo que para todo g en G ,

${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).}$

Ejemplos

Considere el número complejo u = e ^{2πi / 3} que tiene la propiedad u ³ = 1. El conjunto C ₃ = {1, u , u ² } forma un grupo cíclico bajo multiplicación. Este grupo tiene una representación ρ dada por: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

Esta representación es fiel porque ρ es una aplicación uno a uno .

Otra representación de C ₃ en , isomorfa a la anterior, es σ dada por: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

El grupo C ₃ también puede estar fielmente representado por τ dado por: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Otro ejemplo:

Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre números complejos en variables ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Luego actúa por permutación de las tres variables. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$

Por ejemplo, envía a . ${\displaystyle (12)}$ ${\displaystyle x_{1}^{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{3}}$

Reducibilidad

Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación . Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible ; si tiene una subrepresentación adecuada de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible . La representación de la dimensión cero no se considera ni reducible ni irreducible, ^[1] así como el número 1 no se considera ni compuesto ni primo .

Bajo el supuesto de que la característica del campo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos pueden descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (ver teorema de Maschke ). Esto vale en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos , ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) se pueden descomponer en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

Generalizaciones

Representaciones teóricas de conjuntos

Una representación teórica de conjuntos (también conocida como acción de grupo o representación de permutación ) de un grupo G en un conjunto X está dada por una función ρ : G → X ^X , el conjunto de funciones de X a X , tal que para todo g ₁ , g ₂ en G y todo x en X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],}$

donde está el elemento identidad de G . Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ( g ) es una biyección (o permutación ) para todo g en G. Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S _X de X . ${\displaystyle 1}$

Para obtener más información sobre este tema consulte el artículo sobre acción grupal .

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G puede verse como una categoría con un solo objeto; Los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un functor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut( X ), el grupo de automorfismo de X .

En el caso de que C sea Vect _K , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K , esta definición equivale a una representación lineal. Asimismo, una representación teórica de conjuntos es solo una representación de G en la categoría de conjuntos .

Cuando C es Ab , la categoría de los grupos abelianos , los objetos obtenidos se denominan módulos G.

Para otro ejemplo, considere la categoría de espacios topológicos , Top . Las representaciones en Top son homomorfismos de G al grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X.

Dos tipos de representaciones muy relacionadas con las representaciones lineales son:

• Representaciones proyectivas : en la categoría de espacios proyectivos . Estas pueden describirse como "representaciones lineales hasta transformaciones escalares".
• representaciones afines : en la categoría de espacios afines . Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa de forma afín sobre el espacio euclidiano .

Ver también

• Representaciones irreductibles
• tabla de caracteres
• Teoría del personaje
• simetría molecular
• Lista de temas de análisis armónicos.
• Lista de temas de teoría de la representación.
• Teoría de la representación de grupos finitos.
• Representación semisimple

Notas

1. "1.4: Representaciones". LibreTexts de Química . 2019-09-04 . Consultado el 23 de junio de 2021 .

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.. Introducción a la teoría de la representación con énfasis en los grupos de Lie .
• Yuri I. Lyubich. Introducción a la Teoría de las Representaciones de Grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Járkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.