Teorema de Peter-Weyl

Resultado básico en análisis armónicos en grupos topológicos compactos.

En matemáticas , el teorema de Peter-Weyl es un resultado básico en la teoría del análisis armónico , que se aplica a grupos topológicos que son compactos , pero no necesariamente abelianos . Inicialmente fue demostrado por Hermann Weyl , con su alumno Fritz Peter , en el contexto de un grupo topológico compacto G (Peter y Weyl 1927). El teorema es una colección de resultados que generalizan los hechos significativos sobre la descomposición de la representación regular de cualquier grupo finito , como lo descubrieron Ferdinand Georg Frobenius e Issai Schur .

Sea G un grupo compacto. El teorema tiene tres partes. La primera parte establece que los coeficientes matriciales de las representaciones irreducibles de G son densos en el espacio C ( G ) de funciones continuas de valores complejos en G y, por tanto, también en el espacio L ² ( G ) de funciones integrables al cuadrado . La segunda parte afirma la completa reducibilidad de las representaciones unitarias de G . La tercera parte afirma luego que la representación regular de G en L ² ( G ) se descompone como la suma directa de todas las representaciones unitarias irreducibles. Además, los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias irreducibles forman una base ortonormal de L ² ( G ). En el caso de que G sea el grupo de números complejos unitarios, este último resultado es simplemente un resultado estándar de la serie de Fourier.

Coeficientes matriciales

Un coeficiente matricial del grupo G es una función de valores complejos en G dada como la composición ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =L\circ \pi }$

donde π :  G  → GL( V ) es una representación de grupo de dimensión finita ( continua ) de G , y L es un funcional lineal en el espacio vectorial de endomorfismos de V (por ejemplo, traza), que contiene GL( V ) como un subconjunto. Los coeficientes matriciales son continuos, ya que las representaciones son, por definición, continuas y los funcionales lineales en espacios de dimensión finita también son continuos.

La primera parte del teorema de Peter-Weyl afirma (Bump 2004, §4.1; Knapp 1986, Teorema 1.12):

Teorema de Peter-Weyl (Parte I). El conjunto de coeficientes matriciales de G es denso en el espacio de funciones complejas continuas C( G ) sobre G , dotadas de la norma uniforme .

Este primer resultado se parece al teorema de Stone-Weierstrass en que indica la densidad de un conjunto de funciones en el espacio de todas las funciones continuas, sujeto únicamente a una caracterización algebraica . De hecho, los coeficientes matriciales forman un invariante de álgebra unital bajo conjugación compleja porque el producto de dos coeficientes matriciales es un coeficiente matricial de la representación del producto tensorial, y el conjugado complejo es un coeficiente matricial de la representación dual. Por tanto, el teorema se deriva directamente del teorema de Stone-Weierstrass si los coeficientes de la matriz separan puntos, lo cual es obvio si G es un grupo de matrices (Knapp 1986, p. 17). Por el contrario, es una consecuencia del teorema de que cualquier grupo de Lie compacto es isomorfo a un grupo matricial (Knapp 1986, Teorema 1.15).

Un corolario de este resultado es que los coeficientes matriciales de G son densos en L ² ( G ).

Descomposición de una representación unitaria.

La segunda parte del teorema da la existencia de una descomposición de una representación unitaria de G en representaciones de dimensión finita. Ahora bien, intuitivamente los grupos fueron concebidos como rotaciones sobre objetos geométricos, por lo que es natural estudiar representaciones que esencialmente surgen de acciones continuas en espacios de Hilbert. (Para aquellos que conocieron por primera vez los grupos duales que consisten en caracteres que son homomorfismos continuos en el grupo circular , este enfoque es similar excepto que el grupo circular se (en última instancia) generaliza al grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert dado.)

Sea G un grupo topológico y H un espacio de Hilbert complejo.

Una acción lineal continua ∗ : G × H → H , da lugar a un mapa continuo ρ _∗  : G → H ^H (funciones de H a H con la topología fuerte ) definido por: ρ _∗ ( g )( v ) = ∗( g,v) . Este mapa es claramente un homomorfismo de G a GL( H ), los operadores lineales acotados en H. Por el contrario, dado dicho mapa, podemos recuperar la acción de manera única y obvia.

Así , definimos las representaciones de G en un espacio de Hilbert H como aquellos homomorfismos de grupo , ρ, que surgen de acciones continuas de G sobre H. Decimos que una representación ρ es unitaria si ρ( g ) es un operador unitario para todo g  ∈  G ; es decir, para todo v , w  ∈  H . (Es decir, es unitario si ρ : G → U( H ). Observe cómo esto generaliza el caso especial del espacio de Hilbert unidimensional, donde U( C ) es simplemente el grupo circular.) ${\displaystyle \langle \rho (g)v,\rho (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$

Dadas estas definiciones, podemos enunciar la segunda parte del teorema de Peter-Weyl (Knapp 1986, Teorema 1.12):

Teorema de Peter-Weyl (Parte II). Sea ρ una representación unitaria de un grupo compacto G en un espacio de Hilbert complejo H. Entonces H se divide en una suma directa ortogonal de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita de G .

Descomposición de funciones integrables al cuadrado

Para enunciar la tercera y última parte del teorema, existe un espacio natural de Hilbert sobre G que consta de funciones integrables al cuadrado ; esto tiene sentido porque la medida de Haar existe en G . El grupo G tiene una representación unitaria ρ dada actuando por la izquierda, vía ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

El enunciado final del teorema de Peter-Weyl (Knapp 1986, Teorema 1.12) proporciona una base ortonormal explícita de . En términos generales, afirma que los coeficientes matriciales para G , adecuadamente renormalizados, son una base ortonormal de L ² ( G ). En particular, se descompone en una suma directa ortogonal de todas las representaciones unitarias irreducibles, en la que la multiplicidad de cada representación irreducible es igual a su grado (es decir, la dimensión del espacio subyacente de la representación). De este modo, ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }^{\oplus \dim E_{\pi }}}$

donde Σ denota el conjunto de (clases de isomorfismo de) representaciones unitarias irreducibles de G , y la suma denota el cierre de la suma directa de los espacios totales E _π de las representaciones π.

También podemos considerarlo como una representación del grupo de productos directos , con los dos factores actuando por traslación a la izquierda y a la derecha, respectivamente. Arreglar una representación de . El espacio de coeficientes matriciales para la representación puede identificarse con , el espacio de aplicaciones lineales de consigo mismo. La acción natural izquierda y derecha de sobre los coeficientes de la matriz corresponde a la acción dada por ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle (\pi ,E_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$ ${\displaystyle E_{\pi }}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E_{\pi })}$

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

Entonces podemos descomponerlo como una representación unitaria de en la forma ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G\times G}$

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma }{\widehat {\bigoplus }}}E_{\pi }\otimes E_{\pi }^{*}.}$

Finalmente, podemos formar una base ortonormal para lo siguiente. Supongamos que se elige un π representativo para cada clase de isomorfismo de representación unitaria irreducible, y denotamos la colección de todos esos π por Σ. Sean los coeficientes matriciales de π en base ortonormal, en otras palabras ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {u_{ij}^{(\pi )}}}$

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

para cada gramo  ∈  GRAMO . Finalmente, sea d ^(π) el grado de la representación π. El teorema ahora afirma que el conjunto de funciones

${\displaystyle \left\{{\sqrt {d^{(\pi )}}}u_{ij}^{(\pi )}\mid \,\pi \in \Sigma ,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi )}\right\}}$

es una base ortonormal de ${\displaystyle L^{2}(G).}$

Restricción de funciones de clase.

Una función en G se llama función de clase si es para todos y en G. El espacio de funciones de clase integrables al cuadrado forma un subespacio cerrado de y, por tanto, un espacio de Hilbert por derecho propio. Dentro del espacio de coeficientes matriciales para una representación fija está el carácter de , definido por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(hgh^{-1})=f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \chi _{\pi }(g)=\operatorname {trace} (\pi (g)).}$

En la notación anterior, el carácter es la suma de los coeficientes de la matriz diagonal:

${\displaystyle \chi _{\pi }=\sum _{i=1}^{d^{(\pi )}}u_{ii}^{(\pi )}.}$

Una consecuencia importante del resultado anterior es la siguiente:

Teorema : Los caracteres de las representaciones irreducibles de G forman una base de Hilbert para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en G.

Este resultado juega un papel importante en la clasificación de Weyl de las representaciones de un grupo de Lie compacto conectado . ^[1]

Un ejemplo: U(1)

Un ejemplo simple pero útil es el caso del grupo de números complejos de magnitud 1 ,. En este caso, las representaciones irreducibles son unidimensionales y están dadas por ${\displaystyle G=S^{1}}$

${\displaystyle \pi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

Existe entonces un único coeficiente matricial para cada representación, la función

${\displaystyle u_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

La última parte del teorema de Peter-Weyl afirma en este caso que estas funciones forman una base ortonormal para . En este caso, el teorema es simplemente un resultado estándar de la teoría de series de Fourier. ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$

Para cualquier grupo compacto G , podemos considerar la descomposición en términos de coeficientes matriciales como una generalización de la teoría de las series de Fourier. De hecho, esta descomposición a menudo se denomina serie de Fourier. ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Un ejemplo: SU(2)

Usamos la representación estándar del grupo SU(2) como

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

Por lo tanto, SU(2) se representa como las 3 esferas que se encuentran dentro . Mientras tanto, las representaciones irreducibles de SU(2) están etiquetadas por un número entero no negativo y pueden realizarse como la acción natural de SU(2) sobre el espacio de polinomios de grado homogéneos en dos variables complejas. ^[2] Los coeficientes matriciales de la representación enésima son armónicos hiperesféricos de grado , es decir, las restricciones a de polinomios armónicos homogéneos de grado en y . La clave para verificar esta afirmación es calcular que para dos números complejos cualesquiera y , la función ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto (z_{1}\alpha +z_{2}\beta )^{m}}$

es armónico en función de . ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}}$

En este caso, encontrar una base ortonormal que consta de coeficientes matriciales equivale a encontrar una base ortonormal que consta de armónicos hiperesféricos, que es una construcción estándar en el análisis de esferas. ${\displaystyle L^{2}(\operatorname {SU} (2))=L^{2}(S^{3})}$

Consecuencias

Teoría de la representación de grupos de Lie compactos conectados.

El teorema de Peter-Weyl, específicamente la afirmación de que los caracteres forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado, juega un papel clave en la clasificación de las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto conectado. ^[3] El argumento también depende de la fórmula integral de Weyl (para funciones de clase) y de la fórmula de caracteres de Weyl .

Un resumen del argumento se puede encontrar aquí .

Linealidad de grupos de Lie compactos.

Una consecuencia importante del teorema de Peter-Weyl es la siguiente: ^[4]

Teorema : Todo grupo compacto de Lie tiene una representación fiel de dimensión finita y, por lo tanto, es isomorfo a un subgrupo cerrado de para algunos . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

Estructura de grupos topológicos compactos.

Del teorema de Peter-Weyl se puede deducir un teorema de estructura general significativo. Sea G un grupo topológico compacto, que asumimos Hausdorff . Para cualquier subespacio G -invariante de dimensión finita V en L ² ( G ), donde G actúa a la izquierda, consideramos la imagen de G en GL( V ). Es cerrado, ya que G es compacto y un subgrupo del grupo de Lie GL( V ). De un teorema de Élie Cartan se deduce que la imagen de G también es un grupo de Lie.

Si ahora tomamos el límite (en el sentido de la teoría de categorías ) sobre todos esos espacios V , obtenemos un resultado sobre G : Debido a que G actúa fielmente sobre L ² ( G ), G es un límite inverso de grupos de Lie . Por supuesto, puede que no sea en sí mismo un grupo de Lie: puede ser, por ejemplo, un grupo de lucro .

Ver también

• Dualidad de Pontryagin

Referencias

• Pedro, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit derprimitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
• Bump, Daniel (2004), Grupos de mentiras , Springer, ISBN 0-387-21154-3.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• "Teorema de Peter-Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Knapp, Anthony (1986), Teoría de la representación de grupos semisimples , Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
• Mostow, George D. (1961), "Cohomología de grupos topológicos y variedades de solv", Annals of Mathematics , 73 (1), Princeton University Press: 20–48, doi :10.2307/1970281, JSTOR  1970281
• Palais, Richard S .; Stewart, TE (1961), "La cohomología de grupos de transformación diferenciables", American Journal of Mathematics , 83 (4), The Johns Hopkins University Press: 623–644, doi :10.2307/2372901, JSTOR  2372901.

Específico

1. Salón 2015 Capítulo 12
2. Salón 2015 Ejemplo 4.10
3. Salón 2015 Sección 12.5
4. Knapp 2002, Corolario IV.4.22