Teoría de la representación de grupos finitos.

Representaciones de grupos finitos, particularmente en espacios vectoriales.

La teoría de la representación de grupos es una parte de las matemáticas que examina cómo actúan los grupos sobre estructuras dadas.

Aquí la atención se centra en particular en las operaciones de grupos en espacios vectoriales . No obstante, también se consideran grupos que actúan sobre otros grupos o sobre decorados . Para obtener más detalles, consulte la sección sobre representaciones de permutación.

Salvo algunas marcadas excepciones, en este artículo sólo se considerarán grupos finitos. También nos limitaremos a espacios vectoriales sobre campos de característica cero. Debido a que la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica cero es completa, una teoría válida para un campo algebraicamente cerrado especial de característica cero también es válida para cualquier otro campo algebraicamente cerrado de característica cero. Así, sin pérdida de generalidad, podemos estudiar espacios vectoriales sobre ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

La teoría de la representación se utiliza en muchas áreas de las matemáticas, así como en la química y la física cuánticas. Entre otras cosas, se utiliza en álgebra para examinar la estructura de grupos. También existen aplicaciones en análisis armónico y teoría de números . Por ejemplo, la teoría de la representación se utiliza en el enfoque moderno para obtener nuevos resultados sobre formas automórficas.

Definición

Representaciones lineales

Sea un espacio vectorial y un grupo finito. Una representación lineal de es un homomorfismo de grupo. Aquí hay notación para un grupo lineal general y para un grupo de automorfismo . Esto significa que una representación lineal es un mapa que satisface para todos. El espacio vectorial se llama espacio de representación de. A menudo el término representación de también se usa para el espacio de representación. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(V)}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho (st)=\rho (s)\rho (t)}$ ${\displaystyle s,t\in G.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

La representación de un grupo en un módulo en lugar de un espacio vectorial también se denomina representación lineal.

Escribimos para la representación de A veces usamos la notación si está claro a qué representación pertenece el espacio. ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle V}$

En este artículo nos limitaremos al estudio de espacios de representación de dimensión finita, excepto el último capítulo. Como en la mayoría de los casos sólo interesa un número finito de vectores , es suficiente estudiar la subrepresentación generada por estos vectores. El espacio de representación de esta subrepresentación es entonces de dimensión finita. ${\displaystyle V}$

El grado de una representación es la dimensión de su espacio de representación. La notación se utiliza a veces para indicar el grado de una representación. ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \dim(\rho )}$ ${\displaystyle \rho .}$

Ejemplos

La representación trivial está dada por para todos ${\displaystyle \rho (s)={\text{Id}}}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Una representación del grado de un grupo es un homomorfismo en el grupo multiplicativo. Como cada elemento de es de orden finito, los valores de son raíces de la unidad . Por ejemplo, sea una representación lineal no trivial. Dado que es un homomorfismo de grupo, tiene que satisfacer Porque genera está determinado por su valor en Y como no es trivial, Por lo tanto, logramos el resultado de que la imagen de under tiene que ser un subgrupo no trivial del grupo que consta de las raíces cuartas de unidad. En otras palabras, tiene que ser uno de los siguientes tres mapas: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ({0})=1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G,\rho }$ ${\displaystyle \rho (1).}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}}$

Sea y sea el homomorfismo de grupo definido por: ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

En este caso es una representación lineal de grado ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 2.}$

Representación de permutación

Sea un conjunto finito y sea un grupo que actúa. Denota por el grupo de todas las permutaciones con la composición como multiplicación de grupos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

A veces se considera suficiente un grupo que actúa sobre un conjunto finito para la definición de la representación de permutación. Sin embargo, como queremos construir ejemplos para representaciones lineales (donde los grupos actúan sobre espacios vectoriales en lugar de sobre conjuntos finitos arbitrarios), tenemos que proceder de una manera diferente. Para construir la representación de permutación, necesitamos un espacio vectorial con una base de que pueda indexarse ​​por los elementos de La representación de permutación es el homomorfismo de grupo dado por para todos Todos los mapas lineales están definidos de forma única por esta propiedad. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(V)=|X|.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho (s)e_{x}=e_{s.x}}$ ${\displaystyle s\in G,x\in X.}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

Ejemplo. Let y Then actúa vía La representación lineal asociada es con for ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle G={\text{Sym}}(3).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)=G.}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}}$ ${\displaystyle \sigma \in G,x\in X.}$

Representación regular izquierda y derecha

Sea un grupo y un espacio vectorial de dimensión con una base indexada por los elementos de La representación regular por la izquierda es un caso especial de la representación de permutación eligiendo Esto significa para todos Por lo tanto, la familia de imágenes de son una base de La El grado de representación regular por la izquierda es igual al orden del grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |G|}$ ${\displaystyle (e_{t})_{t\in G}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle X=G.}$ ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{st}}$ ${\displaystyle s,t\in G.}$ ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle V.}$

La representación regular por la derecha se define en el mismo espacio vectorial con un homomorfismo similar: De la misma manera que antes es una base de Al igual que en el caso de la representación regular por la izquierda, el grado de la representación regular por la derecha es igual a el orden de ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.}$ ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle G.}$

Ambas representaciones son isomorfas. Por esta razón, no siempre se distinguen y, a menudo, se las denomina "la" representación regular. ${\displaystyle e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.}$

Una mirada más cercana proporciona el siguiente resultado: una representación lineal dada es isomorfa a la representación regular por la izquierda si y sólo si existe una representación tal que sea una base de ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle (\rho (s)w)_{s\in G}}$ ${\displaystyle W.}$

Ejemplo. Sea y con la base Entonces la representación regular por la izquierda se define por for La representación regular por la derecha se define de manera análoga por for ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{5}}$ ${\displaystyle \{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.}$ ${\displaystyle L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}}$ ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}}$ ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}$

Representaciones, módulos y álgebra de convolución.

Sea un grupo finito, sea un anillo conmutativo y sea el álgebra de grupo de over. Esta álgebra es libre y una base puede indexarse ​​por los elementos de La mayoría de las veces se identifica la base con . Entonces, cada elemento puede expresarse de forma única como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\in K[G]}$

${\displaystyle f=\sum _{s\in G}a_{s}s}$con . ${\displaystyle a_{s}\in K}$

La multiplicación en extiende eso en distributivamente. ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$

Ahora sea un módulo – y sea una representación lineal de in Definimos para todos y . Por extensión lineal está dotado de la estructura de un módulo izquierdo. Viceversa obtenemos una representación lineal de partir de un –módulo . Además, los homomorfismos de representaciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos de álgebra de grupos. Por lo tanto, estos términos pueden usarse indistintamente. ^{[1] [2]} Este es un ejemplo de isomorfismo de categorías . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle sv=\rho (s)v}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle V}$

Supongamos que en este caso el módulo izquierdo dado por sí mismo corresponde a la representación regular izquierda. De la misma manera que un módulo derecho corresponde a la representación regular derecha. ${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

A continuación definiremos el álgebra de convolución : Sea un grupo, el conjunto es un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar, entonces este espacio vectorial es isomorfo a La convolución de dos elementos definida por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{|G|}.}$ ${\displaystyle f,h\in L^{1}(G)}$

${\displaystyle f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)}$

hace un álgebra . El álgebra se llama álgebra de convolución . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$

El álgebra de convolución es libre y tiene una base indexada por los elementos del grupo: donde ${\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G},}$

${\displaystyle \delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Usando las propiedades de la convolución obtenemos: ${\displaystyle \delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.}$

Definimos un mapa entre y definiéndolo sobre la base y extendiéndolo linealmente. Obviamente el mapa anterior es biyectivo . Una inspección más cercana de la convolución de dos elementos básicos como se muestra en la ecuación anterior revela que la multiplicación en corresponde a la en Por lo tanto, el álgebra de convolución y el álgebra de grupos son isomórficos como álgebras. ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G],}$ ${\displaystyle \delta _{s}\mapsto e_{s}}$ ${\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G].}$

la involucion

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}}$

se convierte en –álgebra . Tenemos ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle \delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.}$

Una representación de un grupo se extiende a un homomorfismo de –álgebra por Dado que la multiplicidad es una propiedad característica de los homomorfismos de álgebra, satisface Si es unitaria, también obtenemos Para la definición de una representación unitaria, consulte el capítulo sobre propiedades. En ese capítulo veremos que (sin pérdida de generalidad) se puede suponer que toda representación lineal es unitaria. ${\displaystyle (\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })}$ ${\displaystyle \pi (\delta _{s})=\pi (s).}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).}$

Usando el álgebra de convolución podemos implementar una transformación de Fourier sobre un grupo. En el área de análisis armónico se demuestra que la siguiente definición es consistente con la definición de la transformación de Fourier sobre ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Sea una representación y sea una función valorada en . La transformada de Fourier se define como ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).}$

Esta transformación satisface ${\displaystyle {\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).}$

Mapas entre representaciones

Una aplicación entre dos representaciones del mismo grupo es una aplicación lineal con la propiedad que se cumple para todos . En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta para todos : ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T:V_{\rho }\to V_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle s\in G}$

Un mapa de este tipo también se llama –lineal o mapa equivariante . El kernel , la imagen y el cokernel están definidos por defecto. La composición de mapas equivariantes es nuevamente un mapa equivariante. Existe una categoría de representaciones con mapas equivariantes como morfismos . Son nuevamente módulos. Por tanto, proporcionan representaciones de debido a la correlación descrita en la sección anterior. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones irreductibles y el lema de Schur

Sea una representación lineal de Sea un subespacio invariante de es decir, para todos y . La restricción es un isomorfismo de sobre sí mismo. Debido a que se cumple para toda esta construcción es una representación de en Se llama subrepresentación de Cualquier representación V tiene al menos dos subrepresentaciones, a saber, la que consiste sólo en 0 y la que consiste en el propio V. La representación se llama representación irreductible , si estas dos son las únicas subrepresentaciones. Algunos autores también llaman simples a estas representaciones, dado que son precisamente los módulos simples sobre el álgebra de grupos . ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \rho (s)w\in W}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho (s)|_{W}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}}$ ${\displaystyle s,t\in G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

El lema de Schur impone una fuerte restricción a los mapas entre representaciones irreductibles. Si y son ambos irreducibles, y es una aplicación lineal tal que para todos , existe la siguiente dicotomía: ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle F:V_{1}\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$

• Si y es una homotecia (es decir, para a ). De manera más general, si y son isomórficos, el espacio de G -maps lineales es unidimensional. ${\displaystyle V_{1}=V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\lambda {\text{Id}}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$
• De lo contrario, si las dos representaciones no son isomorfas, F debe ser 0. ^[3]

Propiedades

Dos representaciones se llaman equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo de espacio vectorial lineal entre los espacios de representación. En otras palabras, son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva tal que para todas las representaciones equivalentes en particular tengan el mismo grado. ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T:V_{\rho }\to V_{\pi },}$ ${\displaystyle T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Una representación se llama fiel cuando es inyectiva . En este caso induce un isomorfismo entre y la imagen. Como esta última es un subgrupo de podemos considerar a vía como un subgrupo de ${\displaystyle (\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G).}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V_{\pi }),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(V_{\pi }).}$

Podemos restringir tanto el rango como el dominio:

Sea un subgrupo de Sea una representación lineal de Denotamos por la restricción de al subgrupo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H.}$

Si no hay peligro de confusión, podríamos utilizar sólo o en breve ${\displaystyle {\text{Res}}(\rho )}$ ${\displaystyle {\text{Res}}\rho .}$

La notación o en resumen también se utiliza para denotar la restricción de la representación de sobre ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Sea una función en Escribimos o en breve para la restricción al subgrupo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(f)}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(f)}$ ${\displaystyle H.}$

Se puede demostrar que el número de representaciones irreducibles de un grupo (o correspondientemente el número de módulos simples) es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G.}$

Una representación se llama semisimple o completamente reducible si puede escribirse como una suma directa de representaciones irreducibles. Esto es análogo a la definición correspondiente de álgebra semisimple.

Para conocer la definición de suma directa de representaciones, consulte la sección sobre sumas directas de representaciones.

Una representación se llama isotípica si es una suma directa de representaciones irreducibles isomorfas por pares.

Sea una representación dada de un grupo Sea una representación irreducible de El – isotipo de se define como la suma de todas las subrepresentaciones irreducibles de isomorfo a ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau .}$

A cada espacio vectorial se le puede proporcionar un producto interno . Una representación de un grupo en un espacio vectorial dotado de un producto interno se llama unitaria si es unitaria para cada. Esto significa que, en particular, cada es diagonalizable . Para más detalles ver el artículo sobre representaciones unitarias . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

Una representación es unitaria con respecto a un producto interno dado si y solo si el producto interno es invariante con respecto a la operación inducida de es decir, si y solo si se cumple para todos ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle (v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)}$ ${\displaystyle v,u\in V_{\rho },s\in G.}$

Un producto interno dado puede ser reemplazado por un producto interno invariante intercambiando con ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle (v|u)}$

${\displaystyle \sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).}$

Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que cada representación considerada adicional es unitaria.

Ejemplo. Sea el grupo diédrico de orden generado por el cual se cumplen las propiedades y Sea una representación lineal de lo definido sobre los generadores por: ${\displaystyle G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle {\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3}$ ${\displaystyle \nu \mu \nu =\mu ^{2}.}$ ${\displaystyle \rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle D_{6}}$

${\displaystyle \rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).}$

Esta representación es fiel. El subespacio es un subespacio –invariante. Por lo tanto, existe una subrepresentación no trivial con Por lo tanto, la representación no es irreducible. La mencionada subrepresentación es de grado uno e irreductible. El subespacio complementario de es –invariante también. Por tanto, obtenemos la subrepresentación con ${\displaystyle \mathbb {C} e_{2}}$ ${\displaystyle D_{6}}$ ${\displaystyle \rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} e_{2}}$ ${\displaystyle D_{6}}$ ${\displaystyle \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}}$

${\displaystyle \nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.}$

Esta subrepresentación también es irreductible. Eso significa que la representación original es completamente reducible:

${\displaystyle \rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.}$

Ambas subrepresentaciones son isotípicas y son los dos únicos isotipos distintos de cero de ${\displaystyle \rho .}$

La representación es unitaria con respecto al producto interno estándar porque y son unitarios. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3},}$ ${\displaystyle \rho (\mu )}$ ${\displaystyle \rho (\nu )}$

Sea cualquier isomorfismo del espacio vectorial. Entonces lo que está definido por la ecuación para todos es una representación isomorfa a ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}}$ ${\displaystyle s\in D_{6},}$ ${\displaystyle \rho .}$

Restringiendo el dominio de la representación a un subgrupo, por ejemplo, obtenemos la representación. Esta representación está definida por la imagen cuya forma explícita se muestra arriba. ${\displaystyle H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho ).}$ ${\displaystyle \rho (\mu ),}$

Construcciones

La doble representación

Sea una representación dada. La representación dual o representación contragrediente es una representación de en el espacio vectorial dual de Está definida por la propiedad ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

${\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).}$

Con respecto al emparejamiento natural entre y la definición anterior proporciona la ecuación: ${\displaystyle \langle \alpha ,v\rangle :=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .}$

Para ver un ejemplo, consulte la página principal sobre este tema: Representación dual .

Suma directa de representaciones

Sea y una representación de y respectivamente. La suma directa de estas representaciones es una representación lineal y se define como ${\displaystyle (\rho _{1},V_{1})}$ ${\displaystyle (\rho _{2},V_{2})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$

${\displaystyle \forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}}$

Sean representaciones del mismo grupo. En aras de la simplicidad, la suma directa de estas representaciones se define como una representación de, es decir, se obtiene al considerar el subgrupo diagonal de ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G.}$

Ejemplo. Sean (aquí y son la unidad imaginaria y la raíz cúbica primitiva de la unidad respectivamente): ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

Como basta con considerar la imagen del elemento generador, encontramos que

${\displaystyle (\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}}$

Producto tensorial de representaciones.

Sean representaciones lineales. Definimos la representación lineal en el producto tensorial de y por en el cual Esta representación se llama producto tensorial externo de las representaciones y La existencia y unicidad es una consecuencia de las propiedades del producto tensorial . ${\displaystyle \rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),}$ ${\displaystyle s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}.}$

Ejemplo. Reexaminamos el ejemplo proporcionado para la suma directa:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

El producto tensor exterior

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

Usando la base estándar de tenemos lo siguiente para el elemento generador: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}}$

${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Observación. Tenga en cuenta que la suma directa y los productos tensoriales tienen diferentes grados y, por tanto, son representaciones diferentes.

Sean dos representaciones lineales del mismo grupo. Sea un elemento de Entonces se define por y escribimos Entonces el mapa define una representación lineal de la cual también se llama producto tensorial de las representaciones dadas. ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ ${\displaystyle \rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},}$ ${\displaystyle \rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).}$ ${\displaystyle s\mapsto \rho (s)}$ ${\displaystyle G,}$

Estos dos casos deben distinguirse estrictamente. El primer caso es una representación del producto del grupo en el producto tensorial de los espacios de representación correspondientes. El segundo caso es una representación del grupo en el producto tensorial de dos espacios de representación de este grupo. Pero este último caso puede verse como un caso especial del primero centrándose en el subgrupo diagonal. Esta definición se puede repetir un número finito de veces. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G.}$

Sean y sean representaciones del grupo. Entonces es una representación en virtud de la siguiente identidad: . Sea y sea la representación en Sea la representación en y la representación en Entonces la identidad anterior conduce al siguiente resultado: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W}$ ${\displaystyle B\in {\text{Hom}}(V,W)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W).}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle W.}$

${\displaystyle \rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v}$para todos ${\displaystyle s\in G,v\in V.}$

Teorema. Las representaciones irreductibles de hasta el isomorfismo son exactamente las representaciones en las que y son representaciones irreducibles de y respectivamente. ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$

Cuadrado simétrico y alterno.

Sea una representación lineal de Sea una base de Definir extendiendo linealmente. Luego sostiene que y por lo tanto se divide en donde ${\displaystyle \rho :G\to V\otimes V}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (e_{k})}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \vartheta :V\otimes V\to V\otimes V}$ ${\displaystyle \vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}}$ ${\displaystyle \vartheta ^{2}=1}$ ${\displaystyle V\otimes V}$ ${\displaystyle V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}}$

${\displaystyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.}$

Estos subespacios son invariantes y por esto definen subrepresentaciones que se denominan cuadrado simétrico y cuadrado alterno , respectivamente. Estas subrepresentaciones también se definen aunque en este caso se denotan producto de cuña y producto simétrico en caso de que el espacio vectorial en general no sea igual a la suma directa de estos dos productos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V^{\otimes m},}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{m}V}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{m}(V).}$ ${\displaystyle m>2,}$ ${\displaystyle V^{\otimes m}}$

Descomposiciones

Para comprender más fácilmente las representaciones, sería deseable una descomposición del espacio de representación en la suma directa de subrepresentaciones más simples. Esto se puede lograr para grupos finitos como veremos en los siguientes resultados. Se pueden encontrar explicaciones y pruebas más detalladas en [1] y [2].

Teorema. ( Maschke ) Sea una representación lineal donde hay un espacio vectorial sobre un campo de característica cero. Sea un subespacio invariante de Entonces el complemento de existe en y es invariante. ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle W^{0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Una subrepresentación y su complemento determinan una representación de forma única.

El siguiente teorema se presentará de forma más general, ya que proporciona un resultado muy bonito sobre representaciones de grupos compactos (y por tanto también finitos):

Teorema. Cada representación lineal de un grupo compacto sobre un campo de característica cero es una suma directa de representaciones irreducibles.

O en el lenguaje de los -módulos: Si el álgebra de grupo es semisimple, es decir, es la suma directa de álgebras simples. ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle {\text{char}}(K)=0,}$ ${\displaystyle K[G]}$

Tenga en cuenta que esta descomposición no es única. Sin embargo, el número de veces que ocurre una subrepresentación isomorfa a una representación irreducible dada en esta descomposición es independiente de la elección de la descomposición.

La descomposición canónica

Para lograr una descomposición única, hay que combinar todas las subrepresentaciones irreducibles que sean isomorfas entre sí. Es decir, el espacio de representación se descompone en una suma directa de sus isotipos. Esta descomposición está determinada de forma única. Se llama descomposición canónica .

Sea el conjunto de todas las representaciones irreductibles de un grupo hasta el isomorfismo. Sea una representación de y sea el conjunto de todos los isotipos de La proyección correspondiente a la descomposición canónica viene dada por ${\displaystyle (\tau _{j})_{j\in I}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{V(\tau _{j})|j\in I\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle p_{j}:V\to V(\tau _{j})}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),}$

donde y es el personaje perteneciente a ${\displaystyle n_{j}=\dim(\tau _{j}),}$ ${\displaystyle g={\text{ord}}(G)}$ ${\displaystyle \chi _{\tau _{j}}}$ ${\displaystyle \tau _{j}.}$

A continuación, mostramos cómo determinar el isotipo en la representación trivial:

Definición (Fórmula de proyección). Para cada representación de un grupo definimos ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.}$

En general, no es lineal. Definimos ${\displaystyle \rho (s):V\to V}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).}$

Entonces es un mapa lineal, porque ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).}$

Proposición. El mapa es una proyección de a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{G}.}$

Esta proposición nos permite determinar explícitamente el isotipo de la subrepresentación trivial de una representación dada.

La frecuencia con la que ocurre la representación trivial está dada por Este resultado es una consecuencia del hecho de que los valores propios de una proyección son solo o y que el espacio propio correspondiente al valor propio es la imagen de la proyección. Dado que la traza de la proyección es la suma de todos los valores propios, obtenemos el siguiente resultado ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(P).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),}$

en el que denota el isotipo de la representación trivial. ${\displaystyle V(1)}$

Sea una representación irreducible no trivial de Entonces el isotipo de la representación trivial de es el espacio nulo. Eso significa que la siguiente ecuación se cumple ${\displaystyle V_{\pi }}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.}$

Sea una base ortonormal de Entonces tenemos: ${\displaystyle e_{1},...,e_{n}}$ ${\displaystyle V_{\pi }.}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.}$

Por lo tanto, lo siguiente es válido para una representación irreducible no trivial : ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.}$

Ejemplo. Sean los grupos de permutación en tres elementos. Sea una representación lineal de lo definido en los elementos generadores de la siguiente manera: ${\displaystyle G={\text{Per}}(3)}$ ${\displaystyle \rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Per}}(3)}$

${\displaystyle \rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Esta representación se puede descomponer a primera vista en la representación regular a la izquierda que se indica a continuación, y la representación con ${\displaystyle {\text{Per}}(3),}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.}$

Con la ayuda del criterio de irreductibilidad tomado del siguiente capítulo, podríamos darnos cuenta de que es irreducible pero no lo es. Esto se debe a que (en términos del producto interno de "Producto interno y caracteres" a continuación) tenemos ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.}$

El subespacio de es invariante con respecto a la representación regular por la izquierda. Restringido a este subespacio obtenemos la representación trivial. ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

El complemento ortogonal de está Restringido a este subespacio, que además es –invariante como hemos visto arriba, obtenemos la representación dada por ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Nuevamente, podemos utilizar el criterio de irreductibilidad del próximo capítulo para demostrar que es irreducible. Ahora, y son isomórficos porque para todo lo que está dado por la matriz ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}}$ ${\displaystyle s\in {\text{Per}}(3),}$ ${\displaystyle B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.}$

Una descomposición de en subrepresentaciones irreducibles es: donde denota la representación trivial y ${\displaystyle (\rho ,\mathbb {C} ^{5})}$ ${\displaystyle \rho =\tau \oplus \eta \oplus 1}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})}$

es la descomposición correspondiente del espacio de representación.

Obtenemos la descomposición canónica combinando todas las subrepresentaciones isomorfas irreducibles: es el -isotipo de y en consecuencia la descomposición canónica viene dada por ${\displaystyle \rho _{1}:=\eta \oplus \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).}$

Los teoremas anteriores en general no son válidos para grupos infinitos. Esto se demostrará con el siguiente ejemplo: sea

${\displaystyle G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.}$

Junto con la multiplicación de matrices es un grupo infinito. actúa mediante multiplicación matriz-vector. Consideramos la representación para todos. El subespacio es un subespacio invariante. Sin embargo, no existe ningún complemento invariante para este subespacio. La suposición de que existe tal complemento implicaría que toda matriz es diagonalizable . Se sabe que esto es incorrecto y, por lo tanto, produce una contradicción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \rho (A)=A}$ ${\displaystyle A\in G.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

La moraleja de la historia es que si consideramos grupos infinitos, es posible que una representación -incluso una que no sea irreducible- no pueda descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles.

Teoría del personaje

Definiciones

El carácter de una representación se define como el mapa. ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$

${\displaystyle \chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),}$en el que denota la traza del mapa lineal ^[4] ${\displaystyle {\text{Tr}}(\rho (s))}$ ${\displaystyle \rho (s).}$

Aunque el carácter es un mapa entre dos grupos, en general no es un homomorfismo de grupo , como muestra el siguiente ejemplo.

Sea la representación definida por: ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

El personaje viene dado por ${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.}$

Los caracteres de las representaciones de permutación son particularmente fáciles de calcular. Si V es la representación G correspondiente a la acción izquierda de en un conjunto finito , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.}$

Por ejemplo, ^[5] el carácter de la representación regular viene dado por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},}$

donde denota el elemento neutro de ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G.}$

Propiedades

Una propiedad crucial de los caracteres es la fórmula.

${\displaystyle \chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.}$

Esta fórmula se deriva del hecho de que la traza de un producto AB de dos matrices cuadradas es la misma que la traza de BA . Las funciones que satisfacen dicha fórmula se denominan funciones de clase . Dicho de otra manera, las funciones de clase y, en particular, los caracteres son constantes en cada clase de conjugación . También se deduce de las propiedades elementales de la traza que es la suma de los valores propios de con multiplicidad. Si el grado de la representación es n , entonces la suma es n larga. Si s tiene orden m , estos valores propios son todos m -ésimas raíces de la unidad . Este hecho puede usarse para demostrar que y también implica ${\displaystyle G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.}$ ${\displaystyle \chi (s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G}$ ${\displaystyle |\chi (s)|\leqslant n.}$

Dado que la traza de la matriz identidad es el número de filas, donde es el elemento neutro de yn es la dimensión de la representación. En general, es un subgrupo normal en La siguiente tabla muestra cómo los caracteres de dos representaciones dadas dan lugar a caracteres de representaciones relacionadas. ${\displaystyle \chi (e)=n,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{s\in G|\chi (s)=n\}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$

Por construcción, hay una descomposición por suma directa de . En cuanto a los caracteres, esto corresponde a que la suma de las dos últimas expresiones de la tabla es , el carácter de . ${\displaystyle V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V}$ ${\displaystyle \chi (s)^{2}}$ ${\displaystyle V\otimes V}$

Producto interno y personajes.

Para mostrar algunos resultados particularmente interesantes sobre los personajes, resulta gratificante considerar un tipo más general de funciones en grupos:

Definición (Funciones de clase). Una función se llama función de clase si es constante en las clases de conjugación de , es decir ${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).}$

Tenga en cuenta que cada carácter es una función de clase, ya que la traza de una matriz se conserva bajo la conjugación.

El conjunto de todas las funciones de clase es un –álgebra y se denota por . Su dimensión es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle G.}$

Pruebas de los siguientes resultados de este capítulo se pueden encontrar en [1], [2] y [3].

Se puede definir un producto interno en el conjunto de todas las funciones de clase en un grupo finito:

${\displaystyle (f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}$

Propiedad ortonormal. Si son los distintos caracteres irreducibles de , forman una base ortonormal para el espacio vectorial de todas las funciones de clase con respecto al producto interno definido anteriormente, es decir ${\displaystyle \chi _{1},\ldots ,\chi _{k}}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle (\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.}$
• Cada función de clase puede expresarse como una combinación lineal única de caracteres irreducibles . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1},\ldots ,\chi _{k}}$

Se podría verificar que los caracteres irreducibles se generan mostrando que no existe ninguna función de clase distinta de cero que sea ortogonal a todos los caracteres irreducibles. Para una representación y una función de clase, denotamos Entonces para irreducible, tenemos del lema de Schur . Supongamos que es una función de clase que es ortogonal a todos los caracteres. Entonces por lo anterior tenemos siempre que es irreducible. Pero luego se deduce que para todos , por descomponibilidad. Considere ser la representación habitual. Aplicando a algún elemento base particular , obtenemos . Como esto es cierto para todos , tenemos ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{f}=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=0.}$

De la propiedad ortonormal se deduce que el número de representaciones irreducibles no isomorfas de un grupo es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Además, una función de clase on es un carácter de si y sólo si puede escribirse como una combinación lineal de los distintos caracteres irreducibles con coeficientes enteros no negativos: if es una función de clase on tal que donde son enteros no negativos, entonces es el carácter de la suma directa de las representaciones correspondientes a Por el contrario, siempre es posible escribir cualquier carácter como suma de caracteres irreducibles. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{j}.}$

El producto interno definido anteriormente se puede extender al conjunto de funciones con todos los valores en un grupo finito: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$

${\displaystyle (f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}$

Una forma bilineal simétrica también se puede definir en ${\displaystyle L^{1}(G):}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})}$

Estas dos formas coinciden en el conjunto de personajes. Si no hay peligro de confusión se omitirá el índice de ambas formas. ${\displaystyle (\cdot |\cdot )_{G}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{G}}$

Sean dos módulos. Tenga en cuenta que –los módulos son simplemente representaciones de . Dado que la propiedad ortonormal produce que el número de representaciones irreducibles de es exactamente el número de sus clases de conjugación, entonces hay exactamente tantos módulos simples (hasta el isomorfismo) como clases de conjugación de ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G.}$

Definimos cuál es el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales. Esta forma es bilineal con respecto a la suma directa. ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})}$ ${\displaystyle G}$

A continuación, estas formas bilineales nos permitirán obtener algunos resultados importantes con respecto a la descomposición e irreductibilidad de las representaciones.

Por ejemplo, dejemos que y sean los personajes de y respectivamente. Entonces ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2},}$ ${\displaystyle \langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.}$

Es posible derivar el siguiente teorema a partir de los resultados anteriores, junto con el lema de Schur y la completa reducibilidad de las representaciones.

Teorema. Sea una representación lineal de con carácter Sea donde sean irreducibles. Sea una representación irreducible de con carácter. Entonces el número de subrepresentaciones que son isomorfas es independiente de la descomposición dada y es igual al producto interno , es decir, el isotipo de es independiente de la elección de la descomposición. También obtenemos: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle (\tau ,W)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi .}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (\xi |\chi ),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V(\tau )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle }$

y por lo tanto

${\displaystyle \dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).}$

Corolario. Dos representaciones con el mismo carácter son isomorfas. Esto significa que toda representación está determinada por su carácter.

Con esto obtenemos un resultado muy útil para analizar representaciones:

Criterio de irreductibilidad. Sea el carácter de la representación entonces tenemos El caso se cumple si y sólo si es irreductible. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )=1}$ ${\displaystyle V}$

Por lo tanto, utilizando el primer teorema, los caracteres de las representaciones irreductibles de forman un conjunto ortonormal con respecto a este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$

Corolario. Sea un espacio vectorial con una representación irreducible dada de –veces contenida en la representación regular. En otras palabras, si denota la representación regular de entonces tenemos: en el cual está el conjunto de todas las representaciones irreducibles de que son por pares no isomorfas entre sí. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(V)=n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},}$ ${\displaystyle \{W_{j}|j\in I\}}$ ${\displaystyle G}$

En términos de álgebra de grupo, esto significa que como álgebras. ${\displaystyle \mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})}$

Como resultado numérico obtenemos:

${\displaystyle |G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},}$

en la cual es la representación regular y y son caracteres correspondientes a y respectivamente. Recordemos que denota el elemento neutral del grupo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \chi _{W_{j}}}$ ${\displaystyle \chi _{R}}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle e}$

Esta fórmula es una condición "necesaria y suficiente" para el problema de clasificar las representaciones irreductibles de un grupo hasta el isomorfismo. Nos proporciona los medios para comprobar si encontramos todas las clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de un grupo.

De manera similar, usando el carácter de la representación regular evaluada en obtenemos la ecuación: ${\displaystyle s\neq e,}$

${\displaystyle 0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).}$

Utilizando la descripción de representaciones mediante el álgebra de convolución logramos una formulación equivalente de estas ecuaciones:

La fórmula de inversión de Fourier :

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).}$

Además, la fórmula de Plancherel cumple:

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).}$

En ambas fórmulas hay una representación lineal de un grupo y ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G,s\in G}$ ${\displaystyle f,h\in L^{1}(G).}$

El corolario anterior tiene una consecuencia adicional:

Lema. Seamos un grupo. Entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G}$es abeliano .
• Cada función es una función de clase. ${\displaystyle G}$
• Todas las representaciones irreductibles de tienen grado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1.}$

La representación inducida

Como se mostró en la sección sobre propiedades de las representaciones lineales, podemos, por restricción, obtener una representación de un subgrupo a partir de una representación de un grupo. Naturalmente nos interesa el proceso inverso: ¿Es posible obtener la representación de un grupo a partir de la representación de un subgrupo? Veremos que la representación inducida definida a continuación nos proporciona el concepto necesario. Es cierto que esta construcción no es inversa sino adjunta a la restricción.

Definiciones

Sea una representación lineal de Sea un subgrupo y la restricción. Sea una subrepresentación de Escribimos para denotar esta representación. Sea el espacio vectorial depende sólo de la clase lateral izquierda de Sea un sistema representativo de entonces ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho |_{H}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho _{H}.}$ ${\displaystyle \theta :H\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle \rho (s)(W)}$ ${\displaystyle sH}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H,}$

${\displaystyle \sum _{r\in R}\rho (r)(W)}$

es una subrepresentación de ${\displaystyle V_{\rho }.}$

Una representación de in se llama inducida por la representación de in si ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W,}$

${\displaystyle V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.}$

Aquí denota un sistema representativo de y para todos y para todos. En otras palabras: la representación es inducida por si cada puede escribirse únicamente como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle W_{r}=\rho (s)(W)}$ ${\displaystyle s\in rH}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle (\theta ,W),}$ ${\displaystyle v\in V_{\rho }}$

${\displaystyle \sum _{r\in R}w_{r},}$

donde para cada ${\displaystyle w_{r}\in W_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$

Denotamos la representación de que es inducida por la representación de como o en resumen si no hay peligro de confusión. El espacio de representación en sí se utiliza frecuentemente en lugar del mapa de representación, es decir, o si la representación es inducida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),}$ ${\displaystyle \rho ={\text{Ind}}(\theta ),}$ ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),}$ ${\displaystyle V={\text{Ind}}(W),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W.}$

Descripción alternativa de la representación inducida.

Usando el álgebra de grupos obtenemos una descripción alternativa de la representación inducida:

Sea un grupo, un –módulo y un –submódulo de correspondiente al subgrupo de Decimos que es inducido por si en el que actúa sobre el primer factor: para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [H]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w}$ ${\displaystyle s,t\in G,w\in W.}$

Propiedades

Los resultados presentados en esta sección se presentarán sin prueba. Estos se pueden encontrar en [1] y [2].

Unicidad y existencia de la representación inducida. Sea una representación lineal de un subgrupo de Entonces existe una representación lineal del cual es inducida por Tenga en cuenta que esta representación es única hasta el isomorfismo. ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta }).}$

Transitividad de la inducción. Sea una representación de y una serie ascendente de grupos. Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\leq G\leq K}$

${\displaystyle {\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).}$

Lema. Sea inducido por y sea una representación lineal de Ahora sea una aplicación lineal que satisface la propiedad de que para todos Entonces existe una aplicación lineal determinada de forma única que se extiende y para la cual es válida para todos ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle \rho ':G\to {\text{GL}}(V')}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle F:W_{\theta }\to V'}$ ${\displaystyle F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F}$ ${\displaystyle t\in G.}$ ${\displaystyle F':V_{\rho }\to V',}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Esto significa que si interpretamos como un módulo, tenemos dónde está el espacio vectorial de todos los homomorfismos de to . Lo mismo es válido para ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$ ${\displaystyle V'.}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').}$

Inducción sobre funciones de clase. De la misma manera que se hizo con las representaciones, podemos, por inducción , obtener una función de clase en el grupo a partir de una función de clase en un subgrupo. Sea una función de clase en Definimos una función en por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).}$

Decimos es inducido por y escribimos o ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.}$

Proposición. La función es una función de clase en Si es el carácter de una representación de entonces es el carácter de la representación inducida de ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(W)}$ ${\displaystyle G.}$

Lema. Si es una función de clase activada y es una función de clase activada, entonces tenemos: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .}$

Teorema. Sea la representación de inducida por la representación del subgrupo. Sean y los caracteres correspondientes. Sea un sistema representativo de El carácter inducido viene dado por ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle \chi _{\theta }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H.}$

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).}$

Reciprocidad de Frobenius

Como resumen preventivo, la lección que se puede extraer de la reciprocidad de Frobenius es que los mapas y son contiguos entre sí. ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$

Sea una representación irreducible de y sea una representación irreducible de entonces la reciprocidad de Frobenius nos dice que está contenida en tantas veces como está contenida en ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(W)}$ ${\displaystyle V.}$

Reciprocidad de Frobenius. si y tenemos ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)}$ ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.}$

Esta afirmación también es válida para el producto interno.

Criterio de irreductibilidad de Mackey

George Mackey estableció un criterio para verificar la irreductibilidad de las representaciones inducidas. Para ello necesitaremos primero algunas definiciones y algunas especificaciones con respecto a la notación.

Dos representaciones y de un grupo se llaman disjuntas , si no tienen ningún componente irreductible en común, es decir, si ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.}$

Sea un grupo y sea un subgrupo. Definimos for Sea una representación del subgrupo Esto define por restricción una representación de Escribimos for También definimos otra representación de by Estas dos representaciones no deben confundirse. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{s}=sHs^{-1}\cap H}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle (\rho ,W)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )}$ ${\displaystyle H_{s}.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle \rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).}$

Criterio de irreductibilidad de Mackey. La representación inducida es irreducible si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)}$

• ${\displaystyle W}$es irreductible
• Para cada uno , las dos representaciones y de son disjuntas. ^[6] ${\displaystyle s\in G\setminus H}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ ${\displaystyle H_{s}}$

Para el caso de normal, tenemos y . Así obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{s}=H}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho }$

Corolario. Sea un subgrupo normal de Entonces es irreducible si y solo si es irreducible y no isomorfo a los conjugados para ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle s\notin H.}$

Solicitudes a grupos especiales

En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la teoría presentada hasta ahora a subgrupos normales y a un grupo especial, el producto semidirecto de un subgrupo con un subgrupo normal abeliano.

Proposición. Sea un subgrupo normal del grupo y sea una representación irreducible de Entonces una de las siguientes afirmaciones tiene que ser válida: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G.}$

• o existe un subgrupo adecuado de que contiene , y una representación irreducible de la cual induce , ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$
• o es un módulo isotípico. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} A}$

Prueba. Considérelo como un módulo y descompóngalo en isotipos como . Si esta descomposición es trivial, estamos en el segundo caso. De lo contrario, la acción más grande permuta estos módulos isotípicos; debido a que es irreducible como módulo, la acción de permutación es transitiva (de hecho, primitiva ). Arreglar cualquiera ; Se ve elementalmente que el estabilizador presenta las propiedades reivindicadas.      ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} A}$ ${\displaystyle V=\bigoplus _{j}{V_{j}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle \Box }$

Tenga en cuenta que si es abeliano, entonces los módulos isotípicos de son irreducibles, de grado uno y todas las homotecias. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Obtenemos también lo siguiente

Corolario. Sea un subgrupo normal abeliano de y sea cualquier representación irreducible de Denotamos con el índice de en Entonces [1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (G:A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \deg(\tau )|(G:A).}$

Si es un subgrupo abeliano de (no necesariamente normal), generalmente no se satisface, pero aun así sigue siendo válido. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \deg(\tau )|(G:A)}$ ${\displaystyle \deg(\tau )\leq (G:A)}$

Clasificación de representaciones de un producto semidirecto.

En lo sucesivo, sea un producto semidirecto tal que el factor semidirecto normal, , sea abeliano. Las representaciones irreducibles de tal grupo se pueden clasificar mostrando que todas las representaciones irreducibles de pueden construirse a partir de ciertos subgrupos de . Este es el llamado método de los “pequeños grupos” de Wigner y Mackey. ${\displaystyle G=A\rtimes H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Como es abeliano , los caracteres irreductibles de tienen grado uno y forman el grupo El grupo actúa por por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle (s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)}$ ${\displaystyle s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.}$

Sea un sistema representativo de la órbita de in Para cada let Este es un subgrupo de Sea el subgrupo correspondiente de Ahora extendemos la función a by for Por lo tanto, es una función de clase on Además, dado que para todos se puede demostrar que es un homomorfismo de grupo de a Por lo tanto, tenemos una representación de de grado uno que es igual a su propio carácter. ${\displaystyle (\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {X} .}$ ${\displaystyle j\in \mathrm {X} /H}$ ${\displaystyle H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle G_{j}=A\cdot H_{j}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}}$ ${\displaystyle \chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)}$ ${\displaystyle a\in A,t\in H_{j}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}.}$ ${\displaystyle t\chi _{j}=\chi _{j}}$ ${\displaystyle t\in H_{j},}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }.}$ ${\displaystyle G_{j}}$

Sea ahora una representación irreducible de Luego obtenemos una representación irreducible de combinando con la proyección canónica Finalmente, construimos el producto tensorial de y Por lo tanto, obtenemos una representación irreducible de ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{j}.}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle G_{j},}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{j}\to H_{j}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle G_{j}.}$

Para finalmente obtener la clasificación de las representaciones irreducibles de utilizamos cuya representación es inducida por el producto tensorial . Así conseguimos el siguiente resultado: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.}$

Proposición.

• ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$es irreductible.
• Si y son isomorfos, entonces y además es isomorfo a ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ ${\displaystyle \theta _{j',\rho '}}$ ${\displaystyle j=j'}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '.}$
• Toda representación irreductible de es isomorfa a uno de los ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{j,\rho }.}$

Para demostrar la proposición se necesitan, entre otros, el criterio de Mackey y una conclusión basada en la reciprocidad de Frobenius. Se pueden encontrar más detalles en [1].

En otras palabras, clasificamos todas las representaciones irreductibles de ${\displaystyle G=A\rtimes H.}$

Anillo de representación

El anillo de representación de se define como el grupo abeliano. ${\displaystyle G}$

${\displaystyle R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Con la multiplicación proporcionada por el producto tensor, se convierte en un anillo. Los elementos de se llaman representaciones virtuales . ${\displaystyle R(G)}$ ${\displaystyle R(G)}$

El personaje define un homomorfismo de anillo en el conjunto de todas las funciones de clase con valores complejos ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}}$

en el que son los caracteres irreducibles correspondientes al ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}.}$

Debido a que una representación está determinada por su carácter, es inyectiva . Las imágenes de se llaman personajes virtuales . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

Como los caracteres irreducibles forman una base ortonormal , induce un isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}},\chi }$

${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).}$

Este isomorfismo se define sobre la base de tensores elementales respectivamente y se extiende bilinealmente . ${\displaystyle (\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},}$

Escribimos para el conjunto de todos los caracteres de y para denotar el grupo generado por , es decir, el conjunto de todas las diferencias de dos caracteres. Entonces se sostiene que y Por lo tanto, tenemos y los caracteres virtuales corresponden a las representaciones virtuales de manera óptima. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G),}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).}$ ${\displaystyle R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)}$

Como se sostiene, es el conjunto de todos los personajes virtuales. Como el producto de dos caracteres proporciona otro carácter, es un subanillo del anillo de todas las funciones de clase. Porque la forma es una base de la que obtenemos, al igual que en el caso de un isomorfismo. ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle R(G),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).}$

Sea un subgrupo de La restricción define así un homomorfismo de anillo que se denotará por o Del mismo modo, la inducción sobre funciones de clase define un homomorfismo de grupos abelianos que se escribirá como o en resumen ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}.}$

Según la reciprocidad de Frobenius, estos dos homomorfismos son adjuntos con respecto a las formas bilineales y Además, la fórmula muestra que la imagen de es un ideal del anillo. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G).}$

Por la restricción de representaciones, el mapa se puede definir de manera análoga para y por la inducción obtenemos el mapa para. Debido a la reciprocidad de Frobenius, obtenemos el resultado de que estos mapas son adjuntos entre sí y que la imagen es un ideal del anillo. ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle R(G),}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle R(G).}$ ${\displaystyle {\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))}$ ${\displaystyle R(G).}$

Si es un anillo conmutativo, los homomorfismos y pueden extenderse a aplicaciones –lineales: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}}$

en el que están todas las representaciones irreductibles hasta el isomorfismo. ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle H}$

Con obtenemos en particular eso y proporcionamos homomorfismos entre y ${\displaystyle A=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(H).}$

Sean y dos grupos con respectivas representaciones y Entonces, es la representación del producto directo como se mostró en un apartado anterior. Otro resultado de esa sección fue que todas las representaciones irreducibles de son exactamente las representaciones donde y son representaciones irreducibles de y respectivamente. Esto pasa al anillo de representación como identidad, en la que está el producto tensorial de los anillos de representación como –módulos. ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle (\rho _{1},V_{1})}$ ${\displaystyle (\rho _{2},V_{2}).}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle \eta _{1}\otimes \eta _{2},}$ ${\displaystyle \eta _{1}}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$ ${\displaystyle R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),}$ ${\displaystyle R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Teoremas de inducción

Los teoremas de inducción relacionan el anillo de representación de un grupo finito dado G con los anillos de representación de una familia X que consta de algunos subconjuntos H de G. Más precisamente, para tal colección de subgrupos, el funtor de inducción produce un mapa

${\displaystyle \varphi :{\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$; Los teoremas de inducción dan criterios para la sobreyectividad de este mapa o de otros estrechamente relacionados.

El teorema de inducción de Artin es el teorema más elemental de este grupo de resultados. Afirma que los siguientes son equivalentes:

• El núcleo de es finito. ${\displaystyle \varphi }$
• ${\displaystyle G}$es la unión de los conjugados de los subgrupos pertenecientes a ie ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.}$

Dado que se genera de forma finita como un grupo, el primer punto se puede reformular de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$

• Para cada carácter de existen caracteres virtuales y un número entero tal que ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X}$ ${\displaystyle d\geq 1,}$ ${\displaystyle d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).}$

Serre (1977) ofrece dos demostraciones de este teorema. Por ejemplo, dado que G es la unión de sus subgrupos cíclicos, cada carácter de es una combinación lineal con coeficientes racionales de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos cíclicos de Dado que las representaciones de los grupos cíclicos se entienden bien, en particular las representaciones irreducibles son una -dimensional, esto da un cierto control sobre las representaciones de G . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

En las circunstancias anteriores, en general no es cierto que sea sobreyectivo. El teorema de inducción de Brauer afirma que es sobreyectivo, siempre que X sea la familia de todos los subgrupos elementales . Aquí un grupo H es elemental si hay algún primo p tal que H sea el producto directo de un grupo cíclico de orden primo to y un –grupo . En otras palabras, cada carácter de es una combinación lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos elementales. Los subgrupos elementales H que surgen del teorema de Brauer tienen una teoría de representación más rica que los grupos cíclicos; al menos tienen la propiedad de que cualquier representación irreducible de tal H es inducida por una representación unidimensional de un subgrupo (necesariamente también elemental) . (Se puede demostrar que esta última propiedad es válida para cualquier grupo supersoluble , que incluye grupos nilpotentes y, en particular, grupos elementales). Esta capacidad de inducir representaciones a partir de representaciones de grado 1 tiene algunas consecuencias adicionales en la teoría de la representación de grupos finitos. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\subset H}$

Representaciones reales

Para pruebas y más información sobre representaciones sobre subcampos generales de, consulte [2]. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si un grupo actúa sobre un espacio vectorial real, la representación correspondiente en el espacio vectorial complejo se llama real ( se llama complejización de ). La representación correspondiente mencionada anteriormente está dada por para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{0},}$ ${\displaystyle V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z}$ ${\displaystyle s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .}$

Sea una representación real. El mapa lineal tiene un valor real para todos . Por lo tanto, podemos concluir que el carácter de una representación real siempre tiene un valor real. Pero no toda representación con un carácter de valor real es real. Para dejar esto claro, sea un subgrupo finito y no abeliano del grupo ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\ :\ |a|^{2}+|b|^{2}=1\right\}.}$

Luego actúa sobre Dado que la traza de cualquier matriz es real, el carácter de la representación tiene valor real. Supongamos que es una representación real, entonces consistiría únicamente en matrices de valores reales. Por lo tanto, sin embargo, el grupo circular es abeliano pero fue elegido para ser un grupo no abeliano. Ahora sólo falta demostrar la existencia de un subgrupo finito y no abeliano de Para encontrar tal grupo, observe que se puede identificar con las unidades de los cuaterniones . Ahora, la siguiente representación bidimensional de no tiene un valor real, pero tiene un carácter de valor real: ${\displaystyle G\subset {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2).}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Entonces la imagen de no tiene valor real, pero sin embargo es un subconjunto de Por tanto, el carácter de la representación es real. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2).}$

Lema. Una representación irreductible de es real si y sólo si existe una forma bilineal simétrica no degenerada preservada por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$

Una representación irreducible de en un espacio vectorial real puede volverse reducible cuando se extiende el campo a. Por ejemplo, la siguiente representación real del grupo cíclico es reducible cuando se considera sobre ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, al clasificar todas las representaciones irreductibles que son reales todavía no hemos clasificado todas las representaciones reales irreductibles. Pero logramos lo siguiente: ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Sea un espacio vectorial real. Actúe irreduciblemente y si no es irreducible, hay exactamente dos factores irreducibles que son representaciones conjugadas complejas de ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$

Definición. Una representación cuaterniónica es una representación (compleja) que posee un homomorfismo antilineal invariante que satisface . Por lo tanto, una forma bilineal invariante , no degenerada y simétrica sesgada define una estructura cuaterniónica en ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J:V\to V}$ ${\displaystyle J^{2}=-{\text{Id}}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

Teorema. Una representación irreductible es una y sólo una de las siguientes: ${\displaystyle V}$

(i) complejo: no tiene valor real y no existe una forma bilineal no degenerada –invariante en ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

(ii) real: una representación real; tiene una forma bilineal simétrica no degenerada –invariante . ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

(iii) cuaterniónico: es real, pero no es real; tiene una forma bilineal no degenerada, invariante, simétrica y sesgada. ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones de grupos particulares

Grupos simétricos

La representación de los grupos simétricos ha sido intensamente estudiada. Las clases de conjugación en (y por lo tanto, según lo anterior, representaciones irreducibles) corresponden a particiones de n . Por ejemplo, tiene tres representaciones irreductibles, correspondientes a las particiones ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

3; 2+1; 1+1+1

de 3. Para dicha partición, un cuadro de Young es un dispositivo gráfico que representa una partición. La representación irreducible correspondiente a dicha partición (o cuadro de Young) se denomina módulo Specht .

Las representaciones de diferentes grupos simétricos están relacionadas: cualquier representación de produce una representación de por inducción y viceversa por restricción. La suma directa de todos estos anillos de representación. ${\displaystyle S_{n}\times S_{m}}$ ${\displaystyle S_{n+m}}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})}$

hereda de estas construcciones la estructura de un álgebra de Hopf que, resulta, está estrechamente relacionada con funciones simétricas .

Grupos finitos de tipo Lie

Hasta cierto punto, las representaciones de , a medida que n varía, tienen un sabor similar a las de ; El proceso de inducción mencionado anteriormente se reemplaza por la llamada inducción parabólica . Sin embargo, a diferencia de donde todas las representaciones pueden obtenerse por inducción de representaciones triviales, esto no es cierto para . En lugar de ello, se necesitan nuevos componentes básicos, conocidos como representaciones cúspides . ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$

Se han estudiado a fondo las representaciones y, más en general, las representaciones de grupos finitos de tipo Lie . Bonnafé (2010) describe las representaciones de . La teoría de Deligne-Lusztig obtiene una descripción geométrica de las representaciones irreductibles de tales grupos, incluidas las representaciones cúspides antes mencionadas, que construye dicha representación en la cohomología l-ádica de las variedades de Deligne-Lusztig . ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbf {F} _{q})}$

La similitud de la teoría de la representación de y va más allá de los grupos finitos. La filosofía de las formas cúspides resalta el parentesco de los aspectos teóricos de la representación de este tipo de grupos con grupos lineales generales de campos locales como Q p y del anillo de adeles , ver Bump (2004). ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$

Outlook: representaciones de grupos compactos

La teoría de las representaciones de grupos compactos puede extenderse, hasta cierto punto, a grupos localmente compactos . La teoría de la representación adquiere en este contexto gran importancia para el análisis armónico y el estudio de las formas automórficas. Para pruebas, más información y una visión más detallada que está más allá del alcance de este capítulo, consulte [4] y [5].

Definición y propiedades

Un grupo topológico es un grupo junto con una topología respecto del cual la composición del grupo y la inversión son continuas . Un grupo de este tipo se llama compacto si alguna de sus coberturas está abierta en la topología y tiene una subcobertura finita. Los subgrupos cerrados de un grupo compacto vuelven a ser compactos. ${\displaystyle G,}$

Sea un grupo compacto y sea un espacio vectorial de dimensión finita . Una representación lineal de to es un homomorfismo de grupo continuo , es decir, es una función continua en las dos variables y ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V),}$ ${\displaystyle \rho (s)v}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle v\in V.}$

Una representación lineal de en un espacio de Banach se define como un homomorfismo de grupo continuo de en el conjunto de todos los operadores lineales acotados biyectivos con un inverso continuo. Ya que podemos prescindir del último requisito. A continuación, consideraremos en particular representaciones de grupos compactos en espacios de Hilbert . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),}$

Al igual que con los grupos finitos, podemos definir el álgebra de grupos y el álgebra de convolución. Sin embargo, el álgebra de grupos no proporciona información útil en el caso de grupos infinitos, porque la condición de continuidad se pierde durante la construcción. En lugar de ello, el álgebra de convolución ocupa su lugar. ${\displaystyle L^{1}(G)}$

La mayoría de las propiedades de las representaciones de grupos finitos se pueden transferir con los cambios apropiados a grupos compactos. Para ello necesitamos una contraparte de la suma sobre un grupo finito:

Existencia y unicidad de la medida de Haar.

En un grupo compacto existe exactamente una medida tal que: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dt,}$

• Es una medida invariante de traducción a la izquierda.

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.}$

• Todo el grupo tiene unidad de medida:

${\displaystyle \int _{G}dt=1,}$

Esta medida normada, invariante en la traslación a la izquierda, se llama medida de Haar del grupo ${\displaystyle G.}$

Dado que es compacto, es posible demostrar que esta medida también es invariante en la traducción a la derecha, es decir, también se aplica ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.}$

Por la escala anterior, la medida de Haar en un grupo finito está dada por para todos ${\displaystyle dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Todas las definiciones de representaciones de grupos finitos que se mencionan en la sección "Propiedades", también se aplican a representaciones de grupos compactos. Pero se necesitan algunas modificaciones:

Para definir una subrepresentación ahora necesitamos un subespacio cerrado. Esto no era necesario para espacios de representación de dimensión finita, porque en este caso cada subespacio ya está cerrado. Además, dos representaciones de un grupo compacto se llaman equivalentes si existe un operador lineal, continuo y biyectivo entre los espacios de representación cuya inversa también es continua y que satisface para todos ${\displaystyle \rho ,\pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Si es unitario, las dos representaciones se llaman equivalente unitario . ${\displaystyle T}$

Para obtener un producto interno invariante a partir de un no invariante, ahora tenemos que usar la integral en lugar de la suma. Si es un producto interno en un espacio de Hilbert que no es invariante con respecto a la representación de entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle (v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt}$

es un producto interno invariante debido a las propiedades de la medida de Haar. Por lo tanto, podemos asumir que cada representación en un espacio de Hilbert es unitaria. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dt.}$

Sea un grupo compacto y sea el espacio de Hilbert de las funciones cuadradas integrables en Definimos el operador en este espacio por donde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle L_{s}}$ ${\displaystyle L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),}$ ${\displaystyle \Phi \in L^{2}(G),t\in G.}$

El mapa es una representación unitaria de Se llama representación regular por izquierda . La representación regular derecha se define de manera similar. Como la medida de Haar de también es invariante de traducción a la derecha, el operador on está dado por La representación regular a la derecha es entonces la representación unitaria dada por Las dos representaciones y son duales entre sí. ${\displaystyle s\mapsto L_{s}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{s}}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).}$ ${\displaystyle s\mapsto R_{s}.}$ ${\displaystyle s\mapsto L_{s}}$ ${\displaystyle s\mapsto R_{s}}$

Si es infinito, estas representaciones no tienen grado finito. Las representaciones regulares izquierda y derecha definidas al principio son isomorfas a las representaciones regulares izquierda y derecha definidas anteriormente, si el grupo es finito. Esto se debe a que en este caso ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].}$

Construcciones y descomposiciones

Las diferentes formas de construir nuevas representaciones a partir de las dadas también se pueden utilizar para grupos compactos, excepto para la representación dual de la que nos ocuparemos más adelante. La suma directa y el producto tensorial con un número finito de sumandos/factores se definen exactamente de la misma manera que para los grupos finitos. Este es también el caso del cuadrado simétrico y alterno. Sin embargo, necesitamos una medida de Haar sobre el producto directo de grupos compactos para extender el teorema diciendo que las representaciones irreducibles del producto de dos grupos son (hasta el isomorfismo) exactamente el producto tensorial de las representaciones irreducibles de los grupos de factores. Primero, observamos que el producto directo de dos grupos compactos vuelve a ser un grupo compacto cuando se le proporciona la topología del producto . La medida de Haar sobre el producto directo viene dada por el producto de las medidas de Haar sobre los grupos de factores. ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$

Para la representación dual en grupos compactos requerimos el dual topológico del espacio vectorial. Este es el espacio vectorial de todos los funcionales lineales continuos desde el espacio vectorial hasta el campo base. Sea una representación de un grupo compacto en ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

La representación dual está definida por la propiedad ${\displaystyle \pi ':G\to {\text{GL}}(V')}$

${\displaystyle \forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v).}$

Por tanto, podemos concluir que la representación dual está dada por para todos. El mapa es nuevamente un homomorfismo de grupo continuo y, por tanto, una representación. ${\displaystyle \pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})}$ ${\displaystyle v'\in V',s\in G.}$ ${\displaystyle \pi '}$

En espacios de Hilbert: es irreducible si y sólo si es irreducible. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi '}$

Transfiriendo los resultados de las descomposiciones de secciones a grupos compactos, obtenemos los siguientes teoremas:

Teorema. Cada representación irreductible de un grupo compacto en un espacio de Hilbert es de dimensión finita y existe un producto interno que es unitario. Dado que la medida de Haar está normalizada, este producto interno es único. ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ ${\displaystyle V_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

Toda representación de un grupo compacto es isomorfa a una suma directa de Hilbert de representaciones irreducibles.

Sea una representación unitaria del grupo compacto. Así como para los grupos finitos definimos para una representación irreducible el isotipo o componente isotípico como el subespacio. ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.}$

Esta es la suma de todos los subespacios cerrados invariantes que son –isomorfos a ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\tau }.}$

Tenga en cuenta que los isotipos de representaciones irreducibles no equivalentes son ortogonales por pares.

Teorema.

(i) es un subespacio cerrado invariante de ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ ${\displaystyle V_{\rho }.}$

(ii) es –isomorfo a la suma directa de copias de ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\tau }.}$

(iii) Descomposición canónica: es la suma directa de Hilbert de los isotipos en la que pasa por todas las clases de isomorfismos de las representaciones irreductibles. ${\displaystyle V_{\rho }}$ ${\displaystyle V_{\rho }(\tau ),}$ ${\displaystyle \tau }$

La proyección correspondiente a la descomposición canónica en la que es un isotipo de es para grupos compactos dado por ${\displaystyle p_{\tau }:V\to V(\tau ),}$ ${\displaystyle V(\tau )}$ ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,}$

donde y es el carácter correspondiente a la representación irreducible ${\displaystyle n_{\tau }=\dim(V(\tau ))}$ ${\displaystyle \chi _{\tau }}$ ${\displaystyle \tau .}$

Fórmula de proyección

Para cada representación de un grupo compacto definimos ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.}$

En general no es lineal. Dejar ${\displaystyle \rho (s):V\to V}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.}$

El mapa se define como endomorfismo al tener la propiedad ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,}$

que es válido para el producto interno del espacio de Hilbert ${\displaystyle V.}$

Entonces es –lineal, debido a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}}$

donde utilizamos la invariancia de la medida de Haar.

Proposición. El mapa es una proyección de a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{G}.}$

Si la representación es de dimensión finita, es posible determinar la suma directa de la subrepresentación trivial como en el caso de grupos finitos.

Personajes, lema de Schur y producto interno.

Generalmente, las representaciones de grupos compactos se investigan en los espacios de Hilbert y Banach . En la mayoría de los casos no son de dimensiones finitas. Por tanto, no resulta útil hacer referencia a caracteres cuando se habla de representaciones de grupos compactos. Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible restringir el estudio al caso de dimensiones finitas:

Dado que las representaciones irreducibles de grupos compactos son de dimensión finita y unitarias (ver resultados de la primera subsección), podemos definir caracteres irreducibles de la misma manera que se hizo para los grupos finitos.

Mientras las representaciones construidas sigan siendo de dimensión finita, los caracteres de las representaciones recién construidas pueden obtenerse de la misma manera que para los grupos finitos.

El lema de Schur también es válido para grupos compactos:

Sea una representación unitaria irreducible de un grupo compacto. Entonces todo operador acotado que satisface la propiedad para todos es un múltiplo escalar de la identidad, es decir, existe tal que ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle T:V\to V}$ ${\displaystyle T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T}$ ${\displaystyle s\in G,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T=\lambda {\text{Id}}.}$

Definición. La formula

${\displaystyle (\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.}$

define un producto interno en el conjunto de todas las funciones cuadradas integrables de un grupo compacto . Asimismo ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G.}$

${\displaystyle \langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.}$

define una forma bilineal de un grupo compacto ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G.}$

La forma bilineal en los espacios de representación se define exactamente como lo fue para grupos finitos y, de manera análoga a los grupos finitos, los siguientes resultados son válidos:

Teorema. Sean y los personajes de dos representaciones irreducibles no isomorfas y respectivamente. Entonces lo siguiente es válido ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V',}$

• ${\displaystyle (\chi |\chi ')=0.}$
• ${\displaystyle (\chi |\chi )=1,}$es decir, tiene "norma" ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 1.}$

Teorema. Sea una representación de con carácter Supongamos que es una representación irreducible de con carácter El número de subrepresentaciones de equivalente a es independiente de cualquier descomposición dada y es igual al producto interno ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi _{V}.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi _{W}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\chi _{V}|\chi _{W}).}$

Criterio de irreductibilidad. Sea el carácter de la representación, entonces es un número entero positivo. Además si y sólo si es irreducible. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )=1}$ ${\displaystyle V}$

Por lo tanto, utilizando el primer teorema, los caracteres de las representaciones irreductibles de forman un conjunto ortonormal con respecto a este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Corolario. Cada representación irreductible de está contenida –veces en la representación regular de izquierda. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \dim(V)}$

Lema. Sea un grupo compacto. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G}$es abeliano.
• Todas las representaciones irreductibles de tienen grado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1.}$

Propiedad ortonormal. Seamos un grupo. Las representaciones irreducibles no isomorfas de forman una base ortonormal con respecto a este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Como ya sabemos que las representaciones irreducibles no isomorfas son ortonormales, solo necesitamos verificar que generan. Esto se puede hacer demostrando que no existe ninguna función cuadrada integrable distinta de cero en ortogonal a todos los caracteres irreducibles. ${\displaystyle L^{2}(G).}$ ${\displaystyle G}$

Al igual que en el caso de grupos finitos, el número de representaciones irreducibles hasta el isomorfismo de un grupo es igual al número de clases de conjugación de Sin embargo, debido a que un grupo compacto tiene en general infinitas clases de conjugación, esto no proporciona ninguna información útil. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

La representación inducida

Si es un subgrupo cerrado de índice finito en un grupo compacto, se puede adoptar la definición de representación inducida para grupos finitos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,}$

Sin embargo, la representación inducida se puede definir de manera más general, de modo que la definición sea válida independientemente del índice del subgrupo. ${\displaystyle H.}$

Para ello, sea una representación unitaria del subgrupo cerrado. La representación inducida continua se define de la siguiente manera: ${\displaystyle (\eta ,V_{\eta })}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})}$

Denotemos el espacio de Hilbert de todas las funciones cuadradas integrables y medibles con la propiedad para todos. La norma viene dada por ${\displaystyle V_{I}}$ ${\displaystyle \Phi :G\to V_{\eta }}$ ${\displaystyle \Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)}$ ${\displaystyle l\in H,s\in G.}$

${\displaystyle \|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|}$

y la representación se da como la traducción correcta: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).}$

La representación inducida vuelve a ser una representación unitaria.

Como es compacta, la representación inducida se puede descomponer en la suma directa de representaciones irreducibles de. Tenga en cuenta que todas las representaciones irreducibles que pertenecen al mismo isotipo aparecen con una multiplicidad igual a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.}$

Sea una representación de entonces existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).}$

La reciprocidad de Frobenius se traslada, junto con las definiciones modificadas del producto interno y de la forma bilineal, a grupos compactos. El teorema ahora es válido para funciones cuadradas integrables en lugar de funciones de clase, pero el subgrupo debe estar cerrado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

El teorema de Peter-Weyl

Otro resultado importante en la teoría de la representación de grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl. Suele presentarse y comprobarse en el análisis armónico , pues representa uno de sus enunciados centrales y fundamentales.

El teorema de Peter-Weyl. Sea un grupo compacto. Para cada representación irreducible de sea una base ortonormal de Definimos los coeficientes matriciales para Entonces tenemos la siguiente base ortonormal de : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}}$ ${\displaystyle V_{\tau }.}$ ${\displaystyle \tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle }$ ${\displaystyle k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}}$

Podemos reformular este teorema para obtener una generalización de la serie de Fourier para funciones sobre grupos compactos:

El teorema de Peter-Weyl (Segunda versión). ^[7] Existe un isomorfismo natural ${\displaystyle G\times G}$

${\displaystyle L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}}$

en el cual es el conjunto de todas las representaciones irreductibles de hasta el isomorfismo y es el espacio de representación correspondiente a Más concretamente: ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau .}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}}$

Historia

Las características generales de la teoría de la representación de un grupo finito G , sobre los números complejos , fueron descubiertas por Ferdinand Georg Frobenius en los años anteriores a 1900. Posteriormente se desarrolló la teoría de la representación modular de Richard Brauer .

Ver también

• Teoría del personaje
• Representación real
• Relaciones de ortogonalidad de Schur
• conjetura de McKay
• Anillo de quemado

Literatura

• Bonnafé, Cedric (2010). Representaciones de SL2(Fq). Álgebra y Aplicaciones. vol. 13. Saltador. ISBN 9780857291578.
• Bump, Daniel (2004), Grupos de mentiras , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 225, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
• [1] Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6
• [2] Fulton, William; Harris, Joe: Teoría de la representación, un primer curso. Springer-Verlag, Nueva York 1991, ISBN 0-387-97527-6 . 
• [3] Alperín, JL; Bell, Rowen B.: Grupos y representaciones Springer-Verlag, Nueva York 1995, ISBN 0-387-94525-3 . 
• [4] Deitmar, Anton: Automorphe Formen Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-12389-4 , p. 89-93,185-189 
• [5] Echterhoff, Sigfrido; Deitmar, Anton: Principios del análisis armónico Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7 , p. 127-150 
• [6] Lang, Serge: Algebra Springer-Verlag, Nueva York 2002, ISBN 0-387-95385-X , p. 663-729 
• [7] Sengupta, Ámbar (2012). Representar grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. ISBN 9781461412311. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Referencias

1. (Serre 1977, pag.47)
2. (Sengupta 2012, pag.62)
3. Prueba. Supongamos que es distinto de cero. Entonces es válido para todos Por lo tanto, obtenemos para todos y Y ahora sabemos, es decir –invariante. Puesto que es irreducible y concluimos Ahora sea Esto significa que existe tal que y tenemos Por lo tanto, deducimos que es un subespacio –invariante. Como es distinto de cero y es irreducible, tenemos Por lo tanto, es un isomorfismo y el primer enunciado está probado. Supongamos ahora que Dado que nuestro campo base es sabemos que tiene al menos un valor propio Sea entonces y tenemos para todos De acuerdo con las consideraciones anteriores esto sólo es posible, si es decir ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0}$ ${\displaystyle u\in \ker(F).}$ ${\displaystyle \rho _{1}(s)u\in \ker(F)}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle u\in \ker(F).}$ ${\displaystyle \ker(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle F\neq 0,}$ ${\displaystyle \ker(F)=0.}$ ${\displaystyle y\in {\text{Im}}(F).}$ ${\displaystyle v\in V_{1},}$ ${\displaystyle Fv=y,}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(F)=V_{2}.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle F'=F-\lambda ,}$ ${\displaystyle \ker(F')\neq 0}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle F'=0,}$ ${\displaystyle F=\lambda .}$
4. Algunos autores definen el personaje como , pero esta definición no se utiliza en este artículo. ${\displaystyle \chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),}$
5. usando la acción de G sobre sí mismo dada por ${\displaystyle G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G}$
6. Se puede encontrar una prueba de este teorema en [1].
7. En [5] se puede encontrar una prueba de este teorema y más información sobre la teoría de representación de grupos compactos.