En matemáticas, un módulo de Specht es una de las representaciones de los grupos simétricos estudiadas por Wilhelm Specht (1935). Están indexados por particiones y, en la característica 0, los módulos de Specht de particiones de n forman un conjunto completo de representaciones irreducibles del grupo simétrico en n puntos.
Fijemos una partición λ de n y un anillo conmutativo k . La partición determina un diagrama de Young con n casillas. Una tabla de Young de forma λ es una forma de etiquetar las casillas de este diagrama de Young con números distintos .
Un tabloide es una clase de equivalencia de tablas de Young donde dos etiquetas son equivalentes si una se obtiene de la otra permutando las entradas de cada fila. Para cada tabla de Young T de forma λ sea el tabloide correspondiente. El grupo simétrico en n puntos actúa sobre el conjunto de tablas de Young de forma λ. En consecuencia, actúa sobre los tabloides y sobre el k -módulo libre V con los tabloides como base.
Dada una tabla de Young T de forma λ, sea
donde Q T es el subgrupo de permutaciones que conserva (como conjuntos) todas las columnas de T y es el signo de la permutación σ. El módulo de Specht de la partición λ es el módulo generado por los elementos E T cuando T recorre todas las tablas de forma λ.
El módulo Specht tiene una base de elementos E T para T una tabla de Young estándar .
Una introducción sencilla a la construcción del módulo Specht se puede encontrar en la Sección 1 de "Politopos y matroides Specht". [1]
La dimensión del módulo de Specht es el número de cuadros de Young estándar de forma . Se obtiene mediante la fórmula de longitud del gancho .
Sobre campos de característica 0 los módulos de Specht son irreducibles y forman un conjunto completo de representaciones irreducibles del grupo simétrico.
Una partición se denomina p -regular (para un número primo p ) si no tiene p partes del mismo tamaño (positivo). Sobre cuerpos de característica p > 0 los módulos de Specht pueden ser reducibles. Para particiones p -regulares tienen un único cociente irreducible, y estos cocientes irreducibles forman un conjunto completo de representaciones irreducibles.
