En álgebra , el núcleo de un homomorfismo (función que preserva la estructura ) es generalmente la imagen inversa de 0 (excepto para grupos cuya operación se denota multiplicativamente, donde el núcleo es la imagen inversa de 1). Un caso especial importante es el núcleo de un mapa lineal . El núcleo de una matriz , también llamado espacio nulo , es el núcleo del mapa lineal definido por la matriz.
El núcleo de un homomorfismo se reduce a 0 (o 1) si y sólo si el homomorfismo es inyectivo , es decir, si la imagen inversa de cada elemento consta de un solo elemento. Esto significa que el núcleo puede verse como una medida del grado en que el homomorfismo no logra ser inyectivo. [1]
Para algunos tipos de estructura, como los grupos abelianos y los espacios vectoriales , los núcleos posibles son exactamente las subestructuras del mismo tipo. Este no es siempre el caso y, en ocasiones, los posibles núcleos han recibido un nombre especial, como subgrupo normal para grupos e ideales bilaterales para anillos .
Los núcleos permiten definir objetos cocientes (también llamados álgebras de cocientes en álgebra universal y cokernels en teoría de categorías ). Para muchos tipos de estructura algebraica, el teorema fundamental sobre homomorfismos (o primer teorema de isomorfismo ) establece que la imagen de un homomorfismo es isomorfa al cociente por el núcleo.
El concepto de núcleo se ha extendido a estructuras tales que la imagen inversa de un solo elemento no es suficiente para decidir si un homomorfismo es inyectivo. En estos casos, el núcleo es una relación de congruencia .
Este artículo es un estudio de algunos tipos importantes de núcleos en estructuras algebraicas.
Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo ( o más generalmente, módulos sobre un anillo ) y sea T una aplicación lineal de V a W. Si 0 W es el vector cero de W , entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero { 0 W }; es decir, el subconjunto de V que consta de todos aquellos elementos de V que T asigna al elemento 0 W. El núcleo suele denominarse ker T , o alguna variación del mismo:
Dado que un mapa lineal conserva vectores cero, el vector cero 0 V de V debe pertenecer al núcleo. La transformación T es inyectiva si y sólo si su núcleo se reduce al subespacio cero.
El kernel ker T es siempre un subespacio lineal de V . Por tanto, tiene sentido hablar del espacio cociente V /(ker T ) . El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales establece que este espacio cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de T (que es un subespacio de W ). Como consecuencia, la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen.
Si V y W son de dimensiones finitas y se han elegido bases , entonces T puede describirse mediante una matriz M y el núcleo puede calcularse resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales M v = 0 . En este caso, el núcleo de T puede identificarse con el núcleo de la matriz M , también llamado "espacio nulo" de M. La dimensión del espacio nulo, llamada nulidad de M , viene dada por el número de columnas de M menos el rango de M , como consecuencia del teorema de rango-nulidad .
Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo equivale a calcular el núcleo de ciertos operadores diferenciales . Por ejemplo, para encontrar todas las funciones f dos veces diferenciables desde la recta real hacia sí misma tales que
sea V el espacio de todas las funciones dos veces diferenciables, sea W el espacio de todas las funciones y defina un operador lineal T de V a W por
para f en V y x un número real arbitrario . Entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial están en ker T .
Se pueden definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de manera análoga. Esto incluye núcleos de homomorfismos entre grupos abelianos como caso especial. Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en categorías abelianas generales ; ver Kernel (teoría de categorías) .
Sean G y H grupos y sea f un homomorfismo de grupo de G a H. Si e H es el elemento identidad de H , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e H }; es decir, el subconjunto de G que consta de todos aquellos elementos de G que f asignan al elemento e H .
El núcleo suele denominarse ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que un homomorfismo de grupo conserva elementos de identidad, el elemento de identidad e G de G debe pertenecer al núcleo.
El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si su núcleo es sólo el conjunto singleton { e G }. Si f no fuera inyectivo, entonces los elementos no inyectivos pueden formar un elemento distinto de su núcleo: existiría a , b ∈ G tal que a ≠ b y f ( a ) = f ( b ) . Por lo tanto f ( a ) f ( b ) −1 = e H . f es un homomorfismo de grupo, por lo que se conservan las inversas y las operaciones de grupo, dando f ( ab −1 ) = e H ; en otras palabras, ab −1 ∈ ker f y ker f no sería el singleton. Por el contrario, distintos elementos del núcleo violan la inyectividad directamente: si existiera un elemento g ≠ e G ∈ ker f , entonces f ( g ) = f ( e G ) = e H , por lo tanto f no sería inyectivo.
ker f es un subgrupo de G y además es un subgrupo normal . Por tanto, existe un grupo cociente correspondiente G / (ker f ) . Esto es isomorfo a f ( G ), la imagen de G bajo f (que también es un subgrupo de H ), según el primer teorema de isomorfismo para grupos.
En el caso especial de los grupos abelianos , no existe desviación respecto del apartado anterior.
Sea G el grupo cíclico de 6 elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5} con suma modular , H sea el grupo cíclico de 2 elementos {0, 1} con suma modular y f el homomorfismo que mapea cada elemento g en G al elemento g módulo 2 en H . Entonces ker f = {0, 2, 4} , ya que todos estos elementos están asignados a 0 H . El grupo cociente G /(ker f ) tiene dos elementos: {0, 2, 4} y {1, 3, 5} . De hecho, es isomorfo a H .
Sean R y S anillos (se supone unital ) y sea f un homomorfismo de anillo de R a S. Si 0 S es el elemento cero de S , entonces el núcleo de f es su núcleo como aplicación lineal sobre los números enteros o, de manera equivalente, como grupos aditivos. Es la preimagen del ideal cero {0 S }, es decir, el subconjunto de R que consta de todos aquellos elementos de R que son asignados por f al elemento 0 S. El núcleo suele denominarse ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que un homomorfismo de anillo conserva elementos cero, el elemento cero 0 R de R debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si su núcleo es sólo el conjunto singleton {0 R }. Este es siempre el caso si R es un campo y S no es el anillo cero .
Dado que ker f contiene la identidad multiplicativa sólo cuando S es el anillo cero, resulta que el kernel generalmente no es un subanillo de R. El kernel es un sub rng y, más precisamente, un ideal bilateral de R. Por tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente R /(ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para anillos establece que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un subanillo de S ). (Tenga en cuenta que no es necesario que los anillos sean unitarios para la definición del núcleo).
Hasta cierto punto, esto puede considerarse como un caso especial de la situación de los módulos, ya que todos ellos son bimódulos sobre un anillo R :
Sin embargo, el teorema del isomorfismo da un resultado más sólido, porque los isomorfismos de anillo preservan la multiplicación mientras que los isomorfismos de módulo (incluso entre anillos) en general no lo hacen.
Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en las álgebras generales de Mal'cev .
Sean M y N monoides y sea f un homomorfismo monoide de M a N. Entonces el núcleo de f es el subconjunto del producto directo M × M que consta de todos aquellos pares ordenados de elementos de M cuyos componentes son asignados por f al mismo elemento en N. El núcleo suele denominarse ker f (o una variación del mismo). En símbolos:
Dado que f es una función , los elementos de la forma ( m , m ) deben pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto diagonal {( m , m ) : m in M } .
Resulta que ker f es una relación de equivalencia en M y, de hecho, una relación de congruencia . Por tanto, tiene sentido hablar del cociente monoide M /(ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para monoides establece que este monoide cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un submonoide de N ; para la relación de congruencia).
Esto tiene un sabor muy diferente al de los ejemplos anteriores. En particular, la preimagen del elemento identidad de N no es suficiente para determinar el núcleo de f .
Todos los casos anteriores pueden unificarse y generalizarse en álgebra universal .
Sean A y B estructuras algebraicas de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B. Entonces el núcleo de f es el subconjunto del producto directo A × A que consta de todos aquellos pares ordenados de elementos de A cuyos componentes son asignados por f al mismo elemento en B. El núcleo suele denominarse ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que f es una función , los elementos de la forma ( a , a ) deben pertenecer al núcleo.
El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si su núcleo es exactamente el conjunto diagonal {( a , a ) : a ∈ A } .
Es fácil ver que ker f es una relación de equivalencia en A y, de hecho, una relación de congruencia . Así, tiene sentido hablar del álgebra del cociente A /(ker f ) . El primer teorema de isomorfismo en álgebra universal general establece que este álgebra de cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).
Tenga en cuenta que la definición de kernel aquí (como en el ejemplo del monoide) no depende de la estructura algebraica; es un concepto puramente teórico de conjuntos . Para obtener más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, consulte núcleo de una función .
En el caso de las álgebras de Malcev, esta construcción puede simplificarse. Cada álgebra de Malcev tiene un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de espacios vectoriales , el elemento identidad en el caso de grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de anillos o módulos). El rasgo característico de un álgebra de Malcev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f a partir de la clase de equivalencia del elemento neutro.
Para ser específicos, sean A y B estructuras algebraicas de Malcev de un tipo dado y sea f un homomorfismo de ese tipo de A a B. Si e B es el elemento neutro de B , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e B }; es decir, el subconjunto de A que consta de todos aquellos elementos de A que f asignan al elemento e B . El núcleo suele denominarse ker f (o una variación). En símbolos:
Dado que un homomorfismo del álgebra de Malcev conserva elementos neutros, el elemento de identidad e A de A debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si su núcleo es sólo el conjunto singleton { e A }.
La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Malcev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales bilaterales en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos ). Resulta que ker f no es una subálgebra de A , pero es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra del cociente G /(ker f ) . El primer teorema de isomorfismo para las álgebras de Malcev establece que este álgebra de cociente es naturalmente isomorfa a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).
La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos de álgebras más generales es la siguiente. Primero, el núcleo como ideal es la clase de equivalencia del elemento neutro e A bajo el núcleo como congruencia. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es división a cada lado para grupos y resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). Usando esto, los elementos a y b de A son equivalentes bajo el núcleo como congruencia si y solo si su cociente a / b es un elemento del núcleo como ideal.
A veces, las álgebras están equipadas con una estructura no algebraica además de sus operaciones algebraicas. Por ejemplo, se pueden considerar grupos topológicos o espacios vectoriales topológicos , que están equipados con una topología . En este caso, esperaríamos que el homomorfismo f preservara esta estructura adicional; en los ejemplos topológicos, querríamos que f fuera un mapa continuo . El proceso puede encontrarse con un problema con las álgebras de cocientes, que pueden no comportarse bien. En los ejemplos topológicos, podemos evitar problemas exigiendo que las estructuras algebraicas topológicas sean Hausdorff (como se hace habitualmente); entonces el núcleo (independientemente de cómo esté construido) será un conjunto cerrado y el espacio cociente funcionará bien (y también será Hausdorff).
La noción de núcleo en la teoría de categorías es una generalización de los núcleos de las álgebras abelianas; ver Kernel (teoría de categorías) . La generalización categórica del núcleo como relación de congruencia es el par de núcleos . (También existe la noción de núcleo diferencia o ecualizador binario ).
