Homomorfismo de anillo

En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un homomorfismo de anillos es una función que preserva la estructura entre dos anillos . Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f : R → S tal que f es: ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^{[a ]}

además preservando:

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) para todos a y b en R ,

conservación de la multiplicación:

f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) para todos a y b en R ,

y unidad (identidad multiplicativa) preservando:

f (1 _R ) = 1 _S .

Los inversos aditivos y la identidad aditiva también son parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, porque estas condiciones son consecuencias de las tres condiciones anteriores.

Si además f es una biyección , entonces su inversa f⁻¹ también es un homomorfismo de anillo. En este caso, a f se le llama isomorfismo de anillo , y a los anillos R y S se les llama isomorfismo . Desde el punto de vista de la teoría de anillos, no se pueden distinguir anillos isomorfos.

Si R y S son rngs , entonces la noción correspondiente es la de un homomorfismo de rng , ^[b] definido como arriba excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S.Un homomorfismo de anillo entre anillos (unitales) no tiene por qué ser un homomorfismo de anillo.

La composición de dos homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo. De ello se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillo como morfismos (cf. la categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillo, isomorfismo de anillo y automorfismo de anillo.

Propiedades

Sea f : R → S un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones se puede deducir:

f (0 _R ) = 0 _S .
f (− a ) = − f ( a ) para todo a en R .
Para cualquier elemento unitario a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . En particular, f induce un homomorfismo de grupo desde el grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im( f )).
La imagen de f , denotada im( f ), es un subanillo de S .
El núcleo de f , definido como ker( f ) = { a in R | f ( a ) = 0 _S } , es un ideal en R . Todo ideal en un anillo R surge de algún homomorfismo de anillo de esta manera.
El homomorfismo f es inyectivo si y sólo si ker( f ) = {0 _R } .
La característica de S divide la característica de R. A veces, esto se puede utilizar para demostrar que entre ciertos anillos R y S , no existe ningún homomorfismo de anillo R → S.
Si R _p es el subanillo más pequeño contenido en R y Sp es el subanillo más pequeño _contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f : R → S induce un homomorfismo de anillo f _p : R _p → S _p .
Si R es un campo (o más generalmente un campo sesgado ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectivo.
Si tanto R como S son campos , entonces im( f ) es un subcampo de S , por lo que S puede verse como una extensión de campo de R.
Si I es un ideal de S entonces f⁻¹ ( I ) es un ideal de R .
Si R y S son conmutativos y P es un ideal primo de S entonces f⁻¹ ( P ) es un ideal primo de R .
Si R y S son conmutativos, M es un ideal máximo de S y f es sobreyectivo, entonces f⁻¹ ( M ) es un ideal máximo de R .
Si R y S son conmutativos y S es un dominio integral , entonces ker( f ) es un ideal primo de R.
Si R y S son conmutativos, S es un campo y f es sobreyectivo, entonces ker( f ) es un ideal máximo de R.
Si f es sobreyectiva, P es ideal primo (máximo) en R y ker( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es ideal primo (máximo) en S .

Además,

La composición de homomorfismos de anillo S → T y R → S es un homomorfismo de anillo R → T.
Para cada anillo R , el mapa de identidad R → R es un homomorfismo de anillo.
Por tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de los anillos forma una categoría, la categoría de los anillos .
El mapa cero R → S que envía cada elemento de R a 0 es un homomorfismo de anillo solo si S es el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero).
Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillo único Z → R. Esto dice que el anillo de números enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillo único desde R hasta el anillo cero. Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.
Como el objeto inicial no es isomorfo al objeto terminal, no hay ningún objeto cero en la categoría de anillos; en particular, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos.

Ejemplos

La función f : Z → Z / n Z , definida por f ( a ) = [ a ] _n = a mod n es un homomorfismo de anillo sobreyectivo con kernel n Z (ver aritmética modular ).
La conjugación compleja C → C es un homomorfismo de anillo (este es un ejemplo de automorfismo de anillo).
Para un anillo R de característica principal p , R → R , x → x ^p es un endomorfismo de anillo llamado endomorfismo de Frobenius .
Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero (de lo contrario, no se puede asignar 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero es siempre un homomorfismo circular.
Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituir la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo sobreyectivo. El núcleo de f consta de todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X² + 1 .
Si f : R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de la matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
Sea V un espacio vectorial sobre un campo k . Entonces el mapa ρ : k → End( V ) dado por ρ ( a ) v = av es un homomorfismo de anillo. De manera más general, dado un grupo abeliano M , una estructura de módulo en M sobre un anillo R es equivalente a dar un homomorfismo de anillo R → End( M ) .
Un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras asociativas unitales sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R -lineal .

No ejemplos

La función f : Z /6 Z → Z /6 Z definida por f ([ a ] ₆ ) = [4 a ] ₆ es un homomorfismo rng (y endomorfismo rng), con núcleo 3 Z /6 Z e imagen 2 Z / 6 Z (que es isomorfo a Z /3 Z ).
No existe homomorfismo de anillo Z / n Z → Z para cualquier n ≥ 1 .
Si R y S son anillos, la inclusión R → R × S que envía cada r a ( r ,0) es un homomorfismo de rng, pero no un homomorfismo de anillo (si S no es el anillo cero), ya que no mapea el identidad multiplicativa 1 de R a la identidad multiplicativa (1,1) de R × S .

categoría de anillos

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos.

Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene un inverso de dos lados que también es un homomorfismo de anillo. Se puede demostrar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y sólo si es biyectivo como función de los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se llaman isomorfos . Los anillos isomórficos se diferencian únicamente por el reetiquetado de los elementos. Ejemplo: hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos de orden 4 por pares, de modo que cada dos anillos de orden 4 es isomorfo a uno de ellos). Hasta el isomorfismo, hay once anillos de orden 4.
Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos

Los homomorfismos de anillos inyectivos son idénticos a los monomorfismos en la categoría de anillos: si f : R → S es un monomorfismo que no es inyectivo, entonces envía algunos r ₁ y r ₂ al mismo elemento de S . Considere los dos mapas g ₁ y g ₂ de Z [ x ] a R que mapean x a r ₁ y r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ y f ∘ g ₂ son idénticos, pero como f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillos sobreyectivos son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una sobreyección. Sin embargo, son exactamente iguales que los epimorfismos fuertes .

Ver también

cambio de anillos

Notas

^ Hazewinkel inicialmente define "anillo" sin el requisito de un 1, pero muy pronto afirma que a partir de ahora, todos los anillos tendrán un 1.
^ Algunos autores utilizan el término "anillo" para referirse a estructuras que no requieren una identidad multiplicativa; en lugar de "rng", "ring" y "rng homomorfismo", utilizan los términos "anillo", "anillo con identidad" y "homomorfismo de anillo", respectivamente. Debido a esto, algunos otros autores, para evitar ambigüedades, especifican explícitamente que los anillos son unitarios y que los homomorfismos preservan la identidad.

Citas

^ Artin 1991, pag. 353
^ Atiyah y Macdonald 1969, pág. 2
^ Bourbaki 1998, pag. 102
^ Eisenbud 1995, pág. 12
^ Jacobson 1985, pág. 103
^ Lang 2002, pag. 88
^ Hazewinkel 2004, pag. 3

Referencias

Artín, Michael (1991). Álgebra . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall.
Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ontario, MR 0242802
Bourbaki, N. (1998). Álgebra I, capítulos 1 a 3 . Saltador.
Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. SEÑOR 1322960.
Hazewinkel, Michiel (2004). Álgebras, anillos y módulos . Springer-Verlag . ISBN 1-4020-2690-0.
Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2ª ed.). ISBN 9780486471891.
Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor 1878556