Teoremas de isomorfismo

Grupo de teoremas matemáticos.

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , los teoremas de isomorfismo (también conocidos como teoremas de isomorfismo de Noether ) son teoremas que describen la relación entre cocientes , homomorfismos y subobjetos . Existen versiones de los teoremas para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , álgebras de Lie y varias otras estructuras algebraicas . En álgebra universal , los teoremas de isomorfismo se pueden generalizar al contexto de álgebras y congruencias .

Historia

Los teoremas de isomorfismo fueron formulados con cierta generalidad para homomorfismos de módulos por Emmy Noether en su artículo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , que se publicó en 1927 en Mathematische Annalen . Se pueden encontrar versiones menos generales de estos teoremas en el trabajo de Richard Dedekind y en artículos anteriores de Noether.

Tres años más tarde, BL van der Waerden publicó su influyente Moderne Algebra , el primer libro de texto de álgebra abstracta que adoptó el enfoque de grupos , anillos y campos del tema. Van der Waerden atribuyó como principales referentes las conferencias de Noether sobre teoría de grupos y de Emil Artin sobre álgebra, así como un seminario dirigido por Artin, Wilhelm Blaschke , Otto Schreier y el propio van der Waerden sobre ideales . Los tres teoremas del isomorfismo, llamados teorema del homomorfismo , y dos leyes del isomorfismo cuando se aplican a grupos, aparecen explícitamente.

Grupos

Primero presentamos los teoremas de isomorfismo de los grupos .

Teorema A (grupos)

Diagrama del teorema fundamental sobre homomorfismos.

Sean G y H grupos, y sea f  :  G  →  H un homomorfismo . Entonces:

1. El núcleo de f es un subgrupo normal de G ,
2. La imagen de f es un subgrupo de H , y
3. La imagen de f es isomorfa al grupo cociente G  / ker( f ).

En particular, si f es sobreyectiva , entonces H es isomorfo a G  / ker( f ).

Este teorema suele denominarse primer teorema del isomorfismo .

Teorema B (grupos)

Diagrama del teorema B4. Los dos grupos de cocientes (punteados) son isomorfos.

Seamos un grupo. Sea un subgrupo de y sea un subgrupo normal de . Entonces se mantiene lo siguiente: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. El producto es un subgrupo de , ${\displaystyle SN}$ ${\displaystyle G}$
2. El subgrupo es un subgrupo normal de , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$
3. La intersección es un subgrupo normal de , y ${\displaystyle S\cap N}$ ${\displaystyle S}$
4. Los grupos cocientes y son isomorfos. ${\displaystyle (SN)/N}$ ${\displaystyle S/(S\cap N)}$

Técnicamente, no es necesario que sea un subgrupo normal, siempre que sea un subgrupo del normalizador de in . En este caso, no es un subgrupo normal de , pero sigue siendo un subgrupo normal del producto . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle SN}$

Este teorema a veces se denomina segundo teorema del isomorfismo , ^[1] teorema del diamante ^[2] o teorema del paralelogramo . ^[3]

Una aplicación del segundo teorema de isomorfismo identifica grupos lineales proyectivos : por ejemplo, el grupo de la línea proyectiva compleja comienza con el ajuste , el grupo de matrices complejas invertibles 2 × 2 , el subgrupo de matrices del determinante 1 y el subgrupo normal de matrices escalares. matrices , tenemos , donde está la matriz identidad , y . Entonces el segundo teorema del isomorfismo establece que: ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$ ${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Teorema C (grupos)

Sea un grupo y un subgrupo normal de . Entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

1. Si es un subgrupo de tal que , entonces tiene un subgrupo isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
2. Cada subgrupo de tiene la forma de algún subgrupo de tal que . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. Si es un subgrupo normal de tal que , entonces tiene un subgrupo normal isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$
4. Todo subgrupo normal de tiene la forma de algún subgrupo normal de tal que . ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle K/N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. Si es un subgrupo normal de tal que , entonces el grupo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$ ${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$ ${\displaystyle G/K}$

El último enunciado a veces se denomina tercer teorema del isomorfismo . Las primeras cuatro afirmaciones a menudo se incluyen en el teorema D a continuación y se denominan teorema de red , teorema de correspondencia o teorema del cuarto isomorfismo .

Teorema D (grupos)

Sea un grupo y un subgrupo normal de . El homomorfismo de proyección canónica define una correspondencia biyectiva entre el conjunto de subgrupos de contener y el conjunto de (todos) los subgrupos de . Según esta correspondencia, los subgrupos normales corresponden a subgrupos normales. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Este teorema a veces se denomina teorema de correspondencia , teorema de red y cuarto teorema de isomorfismo .

El lema de Zassenhaus (también conocido como lema de la mariposa) a veces se denomina cuarto teorema del isomorfismo. ^[4]

Discusión

El primer teorema del isomorfismo se puede expresar en lenguaje teórico de categorías diciendo que la categoría de grupos es (epi normal, mono)-factorizable; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorización para la categoría . Esto se refleja en el diagrama conmutativo del margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia se puede deducir del morfismo . El diagrama muestra que cada morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido teórico de la categoría; el morfismo arbitrario f se factoriza en , donde ι es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría conormal , todos los epimorfismos son normales). Esto se representa en el diagrama mediante un objeto y un monomorfismo (los núcleos son siempre monomorfismos), que completan la breve secuencia exacta que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos evita tener que dibujar los morfismos cero de a y . ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \iota \circ \pi }$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/\ker f}$

Si la secuencia está dividida por la derecha (es decir, hay un morfismo σ que se asigna a una π -preimagen de sí misma), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal y el subgrupo . Si está dividido por la izquierda (es decir, existe algo tal que ), entonces también debe estar dividido por la derecha y es una descomposición directa del producto de G . En general, la existencia de una división por la derecha no implica la existencia de una división por la izquierda; pero en una categoría abeliana (como la de los grupos abelianos ), las divisiones por izquierda y por derecha son equivalentes según el lema de división , y una división por derecha es suficiente para producir una descomposición de suma directa . En una categoría abeliana, todos los monomorfismos también son normales y el diagrama puede ampliarse con una segunda secuencia exacta corta . ${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$ ${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$ ${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

En el segundo teorema del isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en la red de subgrupos de G , mientras que la intersección S  ∩  N es la unión .

El tercer teorema del isomorfismo se generaliza mediante los nueve lemas a categorías abelianas y mapas más generales entre objetos.

Nota sobre números y nombres

A continuación presentamos cuatro teoremas, denominados A, B, C y D. A menudo se numeran como "Primer teorema de isomorfismo", "Segundo..." y así sucesivamente; sin embargo, no existe un acuerdo universal sobre la numeración. Aquí damos algunos ejemplos de los teoremas de isomorfismo de grupo en la literatura. Observe que estos teoremas tienen análogos para anillos y módulos.

Es menos común incluir el Teorema D, generalmente conocido como teorema de la red o teorema de correspondencia , como uno de los teoremas de isomorfismo, pero cuando se incluye, es el último.

Anillos

Los enunciados de los teoremas de los anillos son similares, con la noción de subgrupo normal reemplazada por la noción de ideal .

Teorema A (anillos)

Sean y anillos, y sea un homomorfismo de anillo . Entonces: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$

1. El núcleo de es un ideal de , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R}$
2. La imagen de es un subanillo de , y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$
3. La imagen de es isomorfa al anillo cociente . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

En particular, si es sobreyectivo entonces es isomorfo a . ^[15] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R/\ker \varphi }$

Teorema B (anillos)

Sea R un anillo. Sea S un subanillo de R y sea I un ideal de R. Entonces:

1. La suma S  +  I  = { s  +  i  | s  ∈  S ,  i  ∈  I  } es un subanillo de R ,
2. La intersección S  ∩  I es un ideal de S , y
3. Los anillos cocientes ( S  +  I ) /  I y S  / ( S  ∩  I ) son isomorfos.

Teorema C (anillos)

Sea R un anillo y I un ideal de R. Entonces

1. Si es un subanillo de tal que , entonces es un subanillo de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$
2. Cada subanillo de tiene la forma de algún subanillo de tal que . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. Si es un ideal de tal que , entonces es un ideal de . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle R/I}$
4. Todo ideal de tiene la forma de algún ideal de tal que . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle J/I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. Si es un ideal de tal que , entonces el anillo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$ ${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$ ${\displaystyle R/J}$

Teorema D (anillos)

Sea un ideal de . La correspondencia es una biyección que preserva la inclusión entre el conjunto de subanillos de ese contenido y el conjunto de subanillos de . Además, (un subanillo que contiene a ) es un ideal de si y sólo si es un ideal de . ^[dieciséis] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A/I}$ ${\displaystyle R/I}$

Módulos

Los enunciados de los teoremas de isomorfismo para módulos son particularmente simples, ya que es posible formar un módulo cociente a partir de cualquier submódulo . Los teoremas de isomorfismo para espacios vectoriales (módulos sobre un campo ) y grupos abelianos (módulos sobre ) son casos especiales de estos. Para espacios vectoriales de dimensión finita , todos estos teoremas se derivan del teorema de rango-nulidad . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En lo sucesivo , "módulo" significará " R -módulo" para algún anillo fijo R.

Teorema A (módulos)

Sean M y N módulos, y sea φ  :  M  →  N un homomorfismo de módulo . Entonces:

1. El núcleo de φ es un submódulo de M ,
2. La imagen de φ es un submódulo de N , y
3. La imagen de φ es isomorfa al módulo cociente M  / ker( φ ).

En particular, si φ es sobreyectiva, entonces N es isomorfo a M  / ker( φ ).

Teorema B (módulos)

Sea M un módulo y sean S y T submódulos de M. Entonces:

1. La suma S  +  T  = { s  +  t  | s  ∈  S ,  t  ∈  T } es un submódulo de M ,
2. La intersección S  ∩  T es un submódulo de M , y
3. Los módulos cocientes ( S  +  T ) /  T y S  / ( S  ∩  T ) son isomorfos.

Teorema C (módulos)

Sea M un módulo y T un submódulo de M.

1. Si es un submódulo de tal que , entonces es un submódulo de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle M/T}$
2. Cada submódulo de tiene la forma de algún submódulo de tal que . ${\displaystyle M/T}$ ${\displaystyle S/T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. Si es un submódulo de tal que , entonces el módulo cociente es isomorfo a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$ ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ ${\displaystyle M/S}$

Teorema D (módulos)

Sea un módulo, un submódulo de . Existe una biyección entre los submódulos de ese contenido y los submódulos de . La correspondencia está dada por para todos . Esta correspondencia conmuta con los procesos de tomar sumas e intersecciones (es decir, es un isomorfismo reticular entre el retículo de submódulos de y el retículo de submódulos de que contienen ). ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$ ${\displaystyle A\supseteq N}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

álgebra universal

Para generalizar esto al álgebra universal , los subgrupos normales deben ser reemplazados por relaciones de congruencia .

Una congruencia en un álgebra es una relación de equivalencia que forma una subálgebra considerada como un álgebra con operaciones de componentes. Se puede convertir el conjunto de clases de equivalencia en un álgebra del mismo tipo definiendo las operaciones a través de representantes; esto estará bien definido ya que es una subálgebra de . La estructura resultante es el álgebra del cociente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A\times A}$

Teorema A (álgebra universal)

Sea un homomorfismo de álgebra . Entonces la imagen de es una subálgebra de , la relación dada por (es decir, el núcleo de ) es una congruencia de , y las álgebras y son isomorfas . (Tenga en cuenta que en el caso de un grupo, iff , por lo que en este caso se recupera la noción de núcleo utilizada en la teoría de grupos). ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$

Teorema B (álgebra universal)

Dada un álgebra , una subálgebra de y una congruencia en , sean la traza de en y la colección de clases de equivalencia que se cruzan . Entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$es una congruencia en , ${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$es una subálgebra de , y ${\displaystyle A/\Phi }$
3. el álgebra es isomorfa al álgebra . ${\displaystyle [B]^{\Phi }}$ ${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

Teorema C (álgebra universal)

Sean un álgebra y dos relaciones de congruencia tales que . Entonces es una congruencia en y es isomorfa a ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$ ${\displaystyle A/\Psi }$ ${\displaystyle A/\Phi }$ ${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Teorema D (álgebra universal)

Sea un álgebra y denotemos el conjunto de todas las congruencias en . El conjunto es un entramado completo ordenado por inclusión. ^[18] Si es una congruencia y la denotamos por el conjunto de todas las congruencias que la contienen (es decir, es un filtro principal en , además es una subred), entonces el mapa es un isomorfismo reticular. ^{[19] [20]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$ ${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

Notas

1. Milne (2013), cap. 1 segundo. Teoremas sobre homomorfismos
2. I. Martín Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 33.ISBN​ 978-0-8218-4799-2.
3. Paul Moritz Cohn (2000). Álgebra clásica . Wiley. pag. 245.ISBN​ 978-0-471-87731-8.
4. Wilson, Robert A. (2009). Los grupos finitos simples . Textos de Posgrado en Matemáticas 251. Vol. 1, núm. 251. Springer-Verlag Londres. pag. 7.doi : 10.1007 /978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-4471-2527-3.
5. Jacobson (2009), sección 1.10
6. van der Waerden, Álgebra (1994).
7. Durbin (2009), sec. 54
8. [los nombres son] esencialmente los mismos que [van der Waerden 1994] ^[7]
9. Knapp (2016), sección IV 2
10. Grillet (2007), sec. yo 5
11. Rotman (2003), sec. 2.6
12. Fraleigh (2003), cap. 14, 34
13. Tonto, David Steven (2004). Álgebra abstracta. Richard M. Foote (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey. págs. 97–98. ISBN 0-471-43334-9. OCLC  52559229.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Scott (1964), secciones 2.2 y 2.3
15. Moy, Samuel (2022). "Introducción a la teoría de las extensiones de campo" (PDF) . Departamento de Matemáticas de UChicago . Consultado el 20 de diciembre de 2022 .
16. Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 246.ISBN​ 978-0-471-43334-7.
17. Dummit y Foote (2004), pág. 349
18. Burris y Sankappanavar (2012), pág. 37
19. Burris y Sankappanavar (2012), pág. 49
20. Sol, William. "¿Existe una forma general del teorema de correspondencia?". StackExchange de matemáticas . Consultado el 20 de julio de 2019 .

Referencias

• Noether, Emmy , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) págs.
• McLarty, Colin, "Topología 'teórica de conjuntos' de Emmy Noether: de Dedekind al surgimiento de los functores". La arquitectura de las matemáticas modernas: ensayos de historia y filosofía (editado por Jeremy Gray y José Ferreirós), Oxford University Press (2006) págs.
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 1 (2ª ed.), Dover, ISBN 9780486471891
• Cohn, Paul M., Álgebra universal , Capítulo II.3 p. 57
• Milne, James S. (2013), Teoría de grupos, 3.13
• van der Waerden, BI (1994), Álgebra , vol. 1 (9 ed.), Springer-Verlag
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta . Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, HP (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Scott, WR (1964), Teoría de grupos , Prentice Hall
• Durbin, John R. (2009). Álgebra moderna: una introducción (6 ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Knapp, Anthony W. (2016), Álgebra básica (segunda edición digital)
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta (2 ed.), Springer
• Rotman, Joseph J. (2003), Álgebra moderna avanzada (2 ed.), Prentice Hall, ISBN 0130878685
• Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra (Textos de posgrado en matemáticas, 73) , Springer, ISBN 0387905189