Lema de Zassenhaus

Lema técnico en la teoría de grupos

Diagrama de Hasse del lema de la "mariposa" de Zassenhaus: los subgrupos más pequeños se encuentran hacia la parte superior del diagrama

En matemáticas , el lema de la mariposa o lema de Zassenhaus , llamado así en honor a Hans Zassenhaus , es un resultado técnico sobre la red de subgrupos de un grupo o la red de submódulos de un módulo , o más generalmente para cualquier red modular . ^[1]

Lema. Supóngase que es un grupo con subgrupos y . Supóngase que y son subgrupos normales . Entonces existe un isomorfismo de grupos cocientes : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\triangleleft A}$ ${\displaystyle D\triangleleft C}$

${\displaystyle {\frac {(A\cap C)B}{(A\cap D)B}}\cong {\frac {(A\cap C)D}{(B\cap C)D}}.}$

Esto se puede generalizar al caso de un grupo con operadores con subgrupos estables y , siendo la afirmación anterior el caso de actuar sobre sí mismo por conjugación . ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega =G}$

Zassenhaus demostró este lema específicamente para dar la prueba más directa del teorema de refinamiento de Schreier . La "mariposa" se hace evidente cuando se intenta dibujar el diagrama de Hasse de los diversos grupos involucrados.

El lema de Zassenhaus para grupos se puede derivar de un resultado más general conocido como el teorema de Goursat, enunciado en una variedad de Goursat (de la cual los grupos son una instancia); sin embargo, la ley modular específica del grupo también debe usarse en la derivación. ^[2]

Referencias

1. Pierce, RS (1982). Álgebras asociativas . Springer. pág. 27, ejercicio 1. ISBN. 0-387-90693-2.
2. J. Lambek (1996). "La mariposa y la serpiente". En Aldo Ursini; Paulo Agliano (eds.). Lógica y álgebra . CRC Press. págs. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

Recursos

• Goodearl, KR; Warfield, Robert B. (1989), Una introducción a los anillos noetherianos no conmutativos, Cambridge University Press , págs. 51, 62, ISBN 978-0-521-36925-1.
• Lang, Serge (21 de junio de 2005), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas (3.ª edición revisada), Springer-Verlag , págs. 20-21, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky (2009) Anillos, módulos y representaciones . p. 6. Librería AMS, ISBN 0-8218-4370-2 
• Hans Zassenhaus (1934) "Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 10:106–8.
• Hans Zassenhaus (1958) Teoría de grupos , segunda edición en inglés, Lema sobre los cuatro elementos, pág. 74, Chelsea Publishing .

Enlaces externos

• Lema de Zassenhaus y demostración en https://web.archive.org/web/20080604141650/http://www.artofproblemsolving.com:80/Wiki/index.php/Zassenhaus%27s_Lemma