La teoría de la representación modular es una rama de las matemáticas y es la parte de la teoría de la representación que estudia las representaciones lineales de grupos finitos sobre un cuerpo K de característica positiva p , necesariamente un número primo . Además de tener aplicaciones en la teoría de grupos , las representaciones modulares surgen de forma natural en otras ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , la teoría de la codificación [ cita requerida ] , la combinatoria y la teoría de números .
Dentro de la teoría de grupos finitos, los resultados de la teoría de caracteres demostrados por Richard Brauer usando la teoría de representación modular desempeñaron un papel importante en el progreso temprano hacia la clasificación de grupos simples finitos , especialmente para grupos simples cuya caracterización no era susceptible a métodos puramente teóricos de grupos porque sus subgrupos de Sylow 2 eran demasiado pequeños en un sentido apropiado. Además, un resultado general sobre la incrustación de elementos de orden 2 en grupos finitos llamado teorema Z* , demostrado por George Glauberman usando la teoría desarrollada por Brauer, fue particularmente útil en el programa de clasificación.
Si la característica p de K no divide el orden | G |, entonces las representaciones modulares son completamente reducibles, como sucede con las representaciones ordinarias (característica 0), en virtud del teorema de Maschke . En el otro caso, cuando | G | ≡ 0 mod p , el proceso de promediar sobre el grupo necesario para demostrar el teorema de Maschke deja de funcionar y las representaciones no necesitan ser completamente reducibles. Gran parte de la discusión a continuación supone implícitamente que el campo K es suficientemente grande (por ejemplo, basta con que K esté algebraicamente cerrado ); de lo contrario, algunas afirmaciones necesitan refinarse.
El primer trabajo sobre la teoría de la representación sobre cuerpos finitos es el de Dickson (1902), quien demostró que cuando p no divide el orden del grupo, la teoría de la representación es similar a la de la característica 0. También investigó los invariantes modulares de algunos grupos finitos. El estudio sistemático de las representaciones modulares, cuando la característica p divide el orden del grupo, fue iniciado por Brauer (1935) y continuado por él durante las siguientes décadas.
Encontrar una representación del grupo cíclico de dos elementos sobre F 2 es equivalente al problema de encontrar matrices cuyo cuadrado sea la matriz identidad . Sobre cada cuerpo de característica distinta de 2, siempre hay una base tal que la matriz se puede escribir como una matriz diagonal con solo 1 o −1 en la diagonal, como
Sobre F 2 , existen muchas otras matrices posibles, tales como
Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica positiva, la teoría de la representación de un grupo cíclico finito se explica plenamente mediante la teoría de la forma normal de Jordan . Las formas de Jordan no diagonales se dan cuando la característica divide el orden del grupo.
Dado un cuerpo K y un grupo finito G , el álgebra de grupo K [ G ] (que es el espacio vectorial K con base K que consiste en los elementos de G , dotado de multiplicación algebraica mediante la extensión de la multiplicación de G por linealidad) es un anillo artiniano .
Cuando el orden de G es divisible por la característica de K , el álgebra de grupo no es semisimple , por lo tanto tiene radical de Jacobson distinto de cero . En ese caso, hay módulos de dimensión finita para el álgebra de grupo que no son módulos proyectivos . Por el contrario, en el caso de característica 0, cada representación irreducible es un sumando directo de la representación regular , por lo tanto es proyectiva.
La teoría de la representación modular fue desarrollada por Richard Brauer a partir de 1940 aproximadamente para estudiar en mayor profundidad las relaciones entre la teoría de la representación característica p , la teoría del carácter ordinario y la estructura de G , especialmente en lo que se refiere a la incorporación de sus p -subgrupos y las relaciones entre ellos. Dichos resultados se pueden aplicar en la teoría de grupos a problemas que no se formulan directamente en términos de representaciones.
Brauer introdujo la noción que ahora se conoce como carácter de Brauer . Cuando K es algebraicamente cerrado de característica positiva p , existe una biyección entre raíces de la unidad en K y raíces complejas de la unidad de orden coprimo con p . Una vez que se fija la elección de dicha biyección, el carácter de Brauer de una representación asigna a cada elemento del grupo de orden coprimo con p la suma de raíces complejas de la unidad correspondientes a los valores propios (incluidas las multiplicidades) de ese elemento en la representación dada.
El carácter Brauer de una representación determina sus factores de composición pero no, en general, su tipo de equivalencia. Los caracteres Brauer irreducibles son aquellos proporcionados por los módulos simples. Estos son combinaciones enteras (aunque no necesariamente no negativas) de las restricciones a los elementos de orden coprimos con p de los caracteres irreducibles ordinarios. Por el contrario, la restricción a los elementos de orden coprimos con p de cada carácter irreducible ordinario es expresable de manera única como una combinación entera no negativa de caracteres Brauer irreducibles.
En la teoría inicialmente desarrollada por Brauer, el vínculo entre la teoría de la representación ordinaria y la teoría de la representación modular se ejemplifica mejor al considerar el álgebra de grupo del grupo G sobre un anillo de valoración discreto completo R con cuerpo de residuos K de característica positiva p y cuerpo de fracciones F de característica 0, como los enteros p -ádicos . La estructura de R [ G ] está estrechamente relacionada tanto con la estructura del álgebra de grupo K [ G ] como con la estructura del álgebra de grupo semisimple F [ G ], y hay mucha interacción entre la teoría de módulos de las tres álgebras.
Cada módulo R [ G ] da lugar naturalmente a un módulo F [ G ] y, mediante un proceso conocido informalmente como reducción (mod p ) , a un módulo K [ G ]. Por otra parte, dado que R es un dominio ideal principal , cada módulo F [ G ] de dimensión finita surge por extensión de escalares a partir de un módulo R [ G ]. [ cita requerida ] En general, sin embargo, no todos los módulos K [ G ] surgen como reducciones (mod p ) de módulos R [ G ]. Aquellos que sí lo hacen son elevables .
En la teoría de representación ordinaria, el número de módulos simples k ( G ) es igual al número de clases de conjugación de G . En el caso modular, el número l ( G ) de módulos simples es igual al número de clases de conjugación cuyos elementos tienen orden coprimo con el primo relevante p , las llamadas clases p -regulares.
En la teoría de la representación modular, si bien el teorema de Maschke no se cumple cuando la característica divide el orden del grupo, el álgebra de grupo puede descomponerse como la suma directa de una colección máxima de ideales bilaterales conocidos como bloques . Cuando el cuerpo F tiene característica 0, o característica coprimo con el orden del grupo, todavía existe dicha descomposición del álgebra de grupo F [ G ] como una suma de bloques (uno para cada tipo de isomorfismo de módulo simple), pero la situación es relativamente transparente cuando F es suficientemente grande: cada bloque es un álgebra matricial completa sobre F , el anillo de endomorfismo del espacio vectorial subyacente al módulo simple asociado.
Para obtener los bloques, el elemento identidad del grupo G se descompone como una suma de idempotentes primitivos en Z ( R [G]), el centro del álgebra de grupos sobre el orden máximo R de F . El bloque correspondiente al idempotente primitivo e es el ideal bilateral e R [ G ]. Para cada R [ G ]-módulo indecomponible, solo hay un idempotente primitivo que no lo aniquila, y se dice que el módulo pertenece a (o está en) el bloque correspondiente (en cuyo caso, todos sus factores de composición también pertenecen a ese bloque). En particular, cada módulo simple pertenece a un bloque único. Cada carácter irreducible ordinario también puede asignarse a un bloque único según su descomposición como una suma de caracteres irreducibles de Brauer. El bloque que contiene el módulo trivial se conoce como bloque principal .
En la teoría de representación ordinaria, todo módulo indescomponible es irreducible, y por lo tanto todo módulo es proyectivo. Sin embargo, los módulos simples con característica que divide el orden de grupo rara vez son proyectivos. De hecho, si un módulo simple es proyectivo, entonces es el único módulo simple en su bloque, que es entonces isomorfo al álgebra de endomorfismos del espacio vectorial subyacente, un álgebra matricial completa. En ese caso, se dice que el bloque tiene 'defecto 0'. Generalmente, la estructura de los módulos proyectivos es difícil de determinar.
Para el álgebra de grupos de un grupo finito, los módulos indecomponibles proyectivos (tipos de isomorfismo de) están en una correspondencia biunívoca con los módulos simples (tipos de isomorfismo de): el zócalo de cada indecomponible proyectivo es simple (e isomorfo a la parte superior), y esto proporciona la biyección, ya que los indecomponibles proyectivos no isomorfos tienen zócalos no isomorfos. La multiplicidad de un módulo indecomponible proyectivo como sumando del álgebra de grupos (vista como el módulo regular) es la dimensión de su zócalo (para cuerpos suficientemente grandes de característica cero, esto recupera el hecho de que cada módulo simple ocurre con multiplicidad igual a su dimensión como sumando directo del módulo regular).
Cada módulo indecomponible proyectivo (y por lo tanto cada módulo proyectivo) en característica positiva p puede ser elevado a un módulo en característica 0. Usando el anillo R como arriba, con cuerpo de residuos K , el elemento identidad de G puede ser descompuesto como una suma de idempotentes primitivos mutuamente ortogonales (no necesariamente centrales) de K [ G ]. Cada módulo indecomponible proyectivo K [ G ] es isomorfo a e . K [ G ] para un idempotente primitivo e que ocurre en esta descomposición. El idempotente e se eleva a un idempotente primitivo, digamos E , de R [ G ], y el módulo izquierdo E . R [ G ] tiene reducción (mod p ) isomorfa a e . K [ G ].
Cuando se levanta un módulo proyectivo, el carácter asociado se desvanece en todos los elementos de orden divisible por p , y (con una elección consistente de raíces de la unidad), concuerda con el carácter Brauer del módulo característico original p en elementos p -regulares. El producto interno (anillo de caracteres usual) del carácter Brauer de un indecomponible proyectivo con cualquier otro carácter Brauer puede así definirse: este es 0 si el segundo carácter Brauer es el del zócalo de un indecomponible proyectivo no isomorfo, y 1 si el segundo carácter Brauer es el de su propio zócalo. La multiplicidad de un carácter irreducible ordinario en el carácter de la elevación de un indecomponible proyectivo es igual al número de ocurrencias del carácter Brauer del zócalo del indecomponible proyectivo cuando la restricción del carácter ordinario a elementos p -regulares se expresa como una suma de caracteres Brauer irreducibles.
Los factores de composición de los módulos indecomponibles proyectivos se pueden calcular de la siguiente manera: Dados los caracteres Brauer irreducibles e irreducibles ordinarios de un grupo finito particular, los caracteres ordinarios irreducibles se pueden descomponer como combinaciones enteras no negativas de los caracteres Brauer irreducibles. Los enteros involucrados se pueden colocar en una matriz, con los caracteres irreducibles ordinarios asignados filas y los caracteres Brauer irreducibles asignados columnas. Esto se conoce como la matriz de descomposición , y frecuentemente se etiqueta D. Es habitual colocar los caracteres ordinarios y Brauer triviales en la primera fila y columna respectivamente. El producto de la transpuesta de D con D mismo da como resultado la matriz de Cartan , generalmente denotada C ; esta es una matriz simétrica tal que las entradas en su j -ésima fila son las multiplicidades de los respectivos módulos simples como factores de composición del j -ésimo módulo indecomponible proyectivo. La matriz de Cartan no es singular ; de hecho, su determinante es una potencia de la característica de K.
Como un módulo indescomponible proyectivo en un bloque dado tiene todos sus factores de composición en ese mismo bloque, cada bloque tiene su propia matriz de Cartan.
A cada bloque B del álgebra de grupos K [ G ], Brauer asoció un cierto p -subgrupo, conocido como su grupo de defectos (donde p es la característica de K ). Formalmente, es el p -subgrupo D más grande de G para el cual existe un correspondiente Brauer de B para el subgrupo , donde es el centralizador de D en G .
El grupo de defectos de un bloque es único hasta la conjugación y tiene una fuerte influencia en la estructura del bloque. Por ejemplo, si el grupo de defectos es trivial, entonces el bloque contiene sólo un módulo simple, sólo un carácter ordinario, los caracteres ordinarios e irreducibles de Brauer coinciden en elementos de orden primo a la característica relevante p , y el módulo simple es proyectivo. En el otro extremo, cuando K tiene característica p , el p -subgrupo de Sylow del grupo finito G es un grupo de defectos para el bloque principal de K [ G ].
El orden del grupo de defectos de un bloque tiene muchas caracterizaciones aritméticas relacionadas con la teoría de la representación. Es el factor invariante más grande de la matriz de Cartan del bloque y se presenta con multiplicidad uno. Además, la potencia de p que divide el índice del grupo de defectos de un bloque es el máximo común divisor de las potencias de p que dividen las dimensiones de los módulos simples en ese bloque, y esto coincide con el máximo común divisor de las potencias de p que dividen los grados de los caracteres irreducibles ordinarios en ese bloque.
Otras relaciones entre el grupo de defectos de un bloque y la teoría de caracteres incluyen el resultado de Brauer de que si ningún conjugado de la parte p de un elemento de grupo g está en el grupo de defectos de un bloque dado, entonces cada carácter irreducible en ese bloque se anula en g . Esta es una de las muchas consecuencias del segundo teorema principal de Brauer.
El grupo de defectos de un bloque también tiene varias caracterizaciones en el enfoque más modular de la teoría de bloques, basándose en el trabajo de JA Green , que asocia un p -subgrupo conocido como vértice a un módulo indecomponible, definido en términos de proyectividad relativa del módulo. Por ejemplo, el vértice de cada módulo indecomponible en un bloque está contenido (hasta la conjugación) en el grupo de defectos del bloque, y ningún subgrupo propio del grupo de defectos tiene esa propiedad.
El primer teorema principal de Brauer establece que el número de bloques de un grupo finito que tienen un p -subgrupo dado como grupo de defectos es el mismo que el número correspondiente al normalizador en el grupo de ese p -subgrupo.
La estructura de bloques más fácil de analizar con un grupo de defectos no trivial es cuando este último es cíclico. En ese caso, solo hay un número finito de tipos de isomorfismo de módulos indecomponibles en el bloque, y la estructura del bloque ya se entiende bien, en virtud del trabajo de Brauer, EC Dade, JA Green y JG Thompson , entre otros. En todos los demás casos, hay un número infinito de tipos de isomorfismo de módulos indecomponibles en el bloque.
Los bloques cuyos grupos de defectos no son cíclicos se pueden dividir en dos tipos: domesticados y salvajes. Los bloques domesticados (que solo se dan para el primo 2) tienen como grupo de defectos un grupo diedro , un grupo semidiédrico o un grupo cuaternionario (generalizado) , y su estructura ha sido ampliamente determinada en una serie de artículos de Karin Erdmann . Los módulos indecomponibles en los bloques salvajes son extremadamente difíciles de clasificar, incluso en principio.
