Teoría de la representación de grupos finitos

Representations of finite groups, particularly on vector spaces

La teoría de la representación de grupos es una parte de las matemáticas que examina cómo actúan los grupos en estructuras dadas.

En este artículo, nos centramos en particular en las operaciones de grupos sobre espacios vectoriales . No obstante, también se consideran los grupos que actúan sobre otros grupos o sobre conjuntos . Para más detalles, consulte la sección sobre representaciones de permutaciones.

Salvo algunas excepciones, en este artículo sólo se considerarán grupos finitos. También nos limitaremos a espacios vectoriales sobre cuerpos de característica cero. Puesto que la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero es completa, una teoría válida para un cuerpo algebraicamente cerrado especial de característica cero también es válida para cualquier otro cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos estudiar espacios vectoriales sobre cuerpos de característica cero. ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

La teoría de la representación se utiliza en muchas áreas de las matemáticas, así como en la química y la física cuánticas. Entre otras cosas, se utiliza en álgebra para examinar la estructura de los grupos. También existen aplicaciones en el análisis armónico y la teoría de números . Por ejemplo, la teoría de la representación se utiliza en el enfoque moderno para obtener nuevos resultados sobre las formas automórficas.

Definición

Representaciones lineales

Sea un espacio vectorial y un grupo finito. Una representación lineal de es un homomorfismo de grupo Aquí se encuentra la notación para un grupo lineal general y para un grupo de automorfismos . Esto significa que una representación lineal es una función que satisface para todos El espacio vectorial se denomina espacio de representación de A menudo, el término representación de también se utiliza para el espacio de representación ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(V)}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho (st)=\rho (s)\rho (t)}$ ${\displaystyle s,t\in G.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

La representación de un grupo en un módulo en lugar de un espacio vectorial también se denomina representación lineal.

Escribimos para la representación de A veces usamos la notación si está claro a qué representación pertenece el espacio. ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle V}$

En este artículo nos limitaremos al estudio de espacios de representación de dimensión finita, a excepción del último capítulo. Como en la mayoría de los casos sólo interesa un número finito de vectores, es suficiente estudiar la subrepresentación generada por estos vectores. El espacio de representación de esta subrepresentación es entonces de dimensión finita. ${\displaystyle V}$

El grado de una representación es la dimensión de su espacio de representación. La notación se utiliza a veces para denotar el grado de una representación. ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \dim(\rho )}$ ${\displaystyle \rho .}$

Ejemplos

La representación trivial está dada por para todos ${\displaystyle \rho (s)={\text{Id}}}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Una representación del grado de un grupo es un homomorfismo en el grupo multiplicativo Como cada elemento de es de orden finito, los valores de son raíces de la unidad . Por ejemplo, sea una representación lineal no trivial. Como es un homomorfismo de grupo, tiene que satisfacer Porque genera está determinado por su valor en Y como es no trivial, Por lo tanto, obtenemos el resultado de que la imagen de bajo tiene que ser un subgrupo no trivial del grupo que consta de las cuartas raíces de la unidad. En otras palabras, tiene que ser una de las siguientes tres aplicaciones: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ({0})=1.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G,\rho }$ ${\displaystyle \rho (1).}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}}$

Sea y sea el homomorfismo de grupo definido por: ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

En este caso es una representación lineal del grado ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 2.}$

Representación de permutación

Sea un conjunto finito y sea un grupo que actúa sobre Denotar por el grupo de todas las permutaciones en con la composición como multiplicación de grupos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

A veces se considera que un grupo que actúa sobre un conjunto finito es suficiente para la definición de la representación de permutación. Sin embargo, dado que queremos construir ejemplos para representaciones lineales (donde los grupos actúan sobre espacios vectoriales en lugar de sobre conjuntos finitos arbitrarios), tenemos que proceder de una manera diferente. Para construir la representación de permutación, necesitamos un espacio vectorial con Una base de que pueda ser indexada por los elementos de La representación de permutación es el homomorfismo de grupo dado por para todos Todos los mapas lineales están definidos de forma única por esta propiedad. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(V)=|X|.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho (s)e_{x}=e_{s.x}}$ ${\displaystyle s\in G,x\in X.}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

Ejemplo. Sea y Entonces actúa sobre vía La representación lineal asociada es con para ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle G={\text{Sym}}(3).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)=G.}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}}$ ${\displaystyle \sigma \in G,x\in X.}$

Representación regular izquierda y derecha

Sea un grupo y un espacio vectorial de dimensión con una base indexada por los elementos de La representación regular por la izquierda es un caso especial de la representación de permutación al elegir Esto significa para todos Por lo tanto, la familia de imágenes de son una base de El grado de la representación regular por la izquierda es igual al orden del grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |G|}$ ${\displaystyle (e_{t})_{t\in G}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle X=G.}$ ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{st}}$ ${\displaystyle s,t\in G.}$ ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle V.}$

La representación regular por la derecha se define en el mismo espacio vectorial con un homomorfismo similar: De la misma manera que antes es una base de Al igual que en el caso de la representación regular por la izquierda, el grado de la representación regular por la derecha es igual al orden de ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.}$ ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle G.}$

Ambas representaciones son isomorfas a través de. Por este motivo, no siempre se las distingue y a menudo se las denomina "la" representación regular. ${\displaystyle e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.}$

Una mirada más atenta proporciona el siguiente resultado: una representación lineal dada es isomorfa a la representación regular por la izquierda si y solo si existe un tal que es una base de ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle (\rho (s)w)_{s\in G}}$ ${\displaystyle W.}$

Ejemplo. Sea y con la base Entonces la representación regular por la izquierda se define por para La representación regular por la derecha se define análogamente por para ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{5}}$ ${\displaystyle \{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.}$ ${\displaystyle L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}}$ ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}}$ ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}$

Representaciones, módulos y álgebra de convolución

Sea un grupo finito, sea un anillo conmutativo y sea el álgebra de grupo de sobre Esta álgebra es libre y una base puede ser indexada por los elementos de La mayoría de las veces la base se identifica con . Cada elemento puede entonces ser expresado de forma única como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\in K[G]}$

${\displaystyle f=\sum _{s\in G}a_{s}s}$con . ${\displaystyle a_{s}\in K}$

La multiplicación en extiende la en distributivamente. ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$

Ahora sea un – módulo y sea una representación lineal de en Definimos para todos y . Por extensión lineal está dotada de la estructura de un – módulo izquierdo. Viceversa obtenemos una representación lineal de a partir de un – módulo . Además, los homomorfismos de representaciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del álgebra de grupos. Por lo tanto, estos términos pueden usarse indistintamente. ^{[1] [2]} Este es un ejemplo de un isomorfismo de categorías . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle sv=\rho (s)v}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle V}$

Supongamos que en este caso el módulo izquierdo dado por sí mismo corresponde a la representación regular izquierda, de la misma manera que un módulo derecho corresponde a la representación regular derecha. ${\displaystyle K=\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

A continuación definiremos el álgebra de convolución : Sea un grupo, el conjunto es un espacio vectorial con las operaciones suma y multiplicación escalar entonces este espacio vectorial es isomorfo a La convolución de dos elementos definida por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{|G|}.}$ ${\displaystyle f,h\in L^{1}(G)}$

${\displaystyle f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)}$

hace un álgebra . El álgebra se llama álgebra de convolución . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$

El álgebra de convolución es libre y tiene una base indexada por los elementos del grupo: donde ${\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G},}$

${\displaystyle \delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Utilizando las propiedades de la convolución obtenemos: ${\displaystyle \delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.}$

Definimos una función entre y definiendo sobre la base y extendiéndola linealmente. Obviamente, la función anterior es biyectiva . Una inspección más detallada de la convolución de dos elementos de base como se muestra en la ecuación anterior revela que la multiplicación en corresponde a la en Por lo tanto, el álgebra de convolución y el álgebra de grupos son isomorfas como álgebras. ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G],}$ ${\displaystyle \delta _{s}\mapsto e_{s}}$ ${\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G}}$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G].}$

La involución

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}}$

se convierte en un –álgebra . Tenemos ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle \delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.}$

Una representación de un grupo se extiende a un homomorfismo de –álgebra por Puesto que la multiplicidad es una propiedad característica de los homomorfismos de álgebra, satisface Si es unitario, también obtenemos Para la definición de una representación unitaria, consulte el capítulo sobre propiedades. En ese capítulo veremos que (sin pérdida de generalidad) se puede suponer que toda representación lineal es unitaria. ${\displaystyle (\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle \pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })}$ ${\displaystyle \pi (\delta _{s})=\pi (s).}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).}$

Utilizando el álgebra de convolución podemos implementar una transformación de Fourier en un grupo En el área de análisis armónico se muestra que la siguiente definición es consistente con la definición de la transformación de Fourier en ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Sea una representación y sea una función con un valor en . La transformada de Fourier de se define como ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).}$

Esta transformación satisface ${\displaystyle {\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).}$

Mapas entre representaciones

Un mapa entre dos representaciones del mismo grupo es un mapa lineal con la propiedad que se cumple para todos En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta para todos : ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T:V_{\rho }\to V_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle s\in G}$

Este tipo de mapa también se denomina –lineal o mapa equivariante . El núcleo , la imagen y el conúcleo de están definidos por defecto. La composición de mapas equivariantes es de nuevo un mapa equivariante. Existe una categoría de representaciones con mapas equivariantes como sus morfismos . Son de nuevo –módulos. Por tanto, proporcionan representaciones de debido a la correlación descrita en la sección anterior. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones irreducibles y el lema de Schur

Sea una representación lineal de Sea un subespacio -invariante de que es, para todos y . La restricción es un isomorfismo de sobre sí mismo. Como se cumple para todos esta construcción es una representación de en Se llama subrepresentación de Cualquier representación V tiene al menos dos subrepresentaciones, a saber, la que consiste solo en 0, y la que consiste en V mismo. La representación se llama representación irreducible , si estas dos son las únicas subrepresentaciones. Algunos autores también llaman a estas representaciones simples, dado que son precisamente los módulos simples sobre el álgebra de grupos . ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \rho (s)w\in W}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \rho (s)|_{W}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}}$ ${\displaystyle s,t\in G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$

El lema de Schur impone una fuerte restricción a las aplicaciones entre representaciones irreducibles. Si y son ambas irreducibles, y es una aplicación lineal tal que para todo , existe la siguiente dicotomía: ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})}$ ${\displaystyle \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle F:V_{1}\to V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$

• Si y es una homotecia (es decir, para a ). De manera más general, si y son isomorfos, el espacio de aplicaciones G -lineales es unidimensional. ${\displaystyle V_{1}=V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\lambda {\text{Id}}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$
• De lo contrario, si las dos representaciones no son isomorfas, F debe ser 0. ^[3]

Propiedades

Dos representaciones se denominan equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo lineal entre los espacios de representación. En otras palabras, son isomorfas si existe una función lineal biyectiva tal que para todas las representaciones En particular, las representaciones equivalentes tienen el mismo grado. ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T:V_{\rho }\to V_{\pi },}$ ${\displaystyle T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Una representación se llama fiel cuando es inyectiva . En este caso se induce un isomorfismo entre y la imagen. Como esta última es un subgrupo de podemos considerar a como subgrupo de ${\displaystyle (\pi ,V_{\pi })}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (G).}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(V_{\pi }),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(V_{\pi }).}$

Podemos restringir tanto el rango como el dominio:

Sea un subgrupo de Sea una representación lineal de Denotamos por la restricción de al subgrupo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H.}$

Si no hay peligro de confusión, podríamos utilizar sólo o en forma abreviada ${\displaystyle {\text{Res}}(\rho )}$ ${\displaystyle {\text{Res}}\rho .}$

La notación o en forma abreviada también se utiliza para denotar la restricción de la representación de onto ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Sea una función en Escribimos o en breve para la restricción al subgrupo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(f)}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(f)}$ ${\displaystyle H.}$

Se puede demostrar que el número de representaciones irreducibles de un grupo (o correspondientemente el número de módulos simples) es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G.}$

Una representación se denomina semisimple o completamente reducible si se puede escribir como una suma directa de representaciones irreducibles. Esto es análogo a la definición correspondiente para un álgebra semisimple.

Para la definición de la suma directa de representaciones, consulte la sección sobre sumas directas de representaciones.

Una representación se denomina isotípica si es una suma directa de representaciones irreducibles isomorfas por pares.

Sea una representación dada de un grupo Sea una representación irreducible de El isotipo de se define como la suma de todas las subrepresentaciones irreducibles de isomorfo a ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \tau .}$

Todo espacio vectorial sobre puede tener un producto interno . Una representación de un grupo en un espacio vectorial dotada de un producto interno se llama unitaria si es unitaria para cada . Esto significa que, en particular, cada . es diagonalizable . Para más detalles, consulte el artículo sobre representaciones unitarias . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

Una representación es unitaria con respecto a un producto interno dado si y sólo si el producto interno es invariante con respecto a la operación inducida de ie si y sólo si se cumple para todos ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle (v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)}$ ${\displaystyle v,u\in V_{\rho },s\in G.}$

Un producto interno dado puede ser reemplazado por un producto interno invariante intercambiando con ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ ${\displaystyle (v|u)}$

${\displaystyle \sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).}$

Así pues, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que toda representación considerada posteriormente es unitaria.

Ejemplo. Sea el grupo diedro de orden generado por los cuales se cumplen las propiedades y Sea una representación lineal de definida en los generadores por: ${\displaystyle G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle {\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3}$ ${\displaystyle \nu \mu \nu =\mu ^{2}.}$ ${\displaystyle \rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle D_{6}}$

${\displaystyle \rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).}$

Esta representación es fiel. El subespacio es un subespacio –invariante. Por lo tanto, existe una subrepresentación no trivial con Por lo tanto, la representación no es irreducible. La subrepresentación mencionada es de grado uno e irreducible. El subespacio complementario de es –invariante también. Por lo tanto, obtenemos la subrepresentación con ${\displaystyle \mathbb {C} e_{2}}$ ${\displaystyle D_{6}}$ ${\displaystyle \rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} e_{2}}$ ${\displaystyle D_{6}}$ ${\displaystyle \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}}$

${\displaystyle \nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.}$

Esta subrepresentación también es irreducible, es decir, la representación original es completamente reducible:

${\displaystyle \rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.}$

Ambas subrepresentaciones son isotípicas y son los dos únicos isotipos distintos de cero de ${\displaystyle \rho .}$

La representación es unitaria con respecto al producto interno estándar porque y son unitarios. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3},}$ ${\displaystyle \rho (\mu )}$ ${\displaystyle \rho (\nu )}$

Sea cualquier isomorfismo de espacio vectorial. Entonces, que se define por la ecuación para todo es una representación isomorfa a ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}}$ ${\displaystyle s\in D_{6},}$ ${\displaystyle \rho .}$

Restringiendo el dominio de la representación a un subgrupo, por ejemplo obtenemos la representación Esta representación está definida por la imagen cuya forma explícita se muestra arriba. ${\displaystyle H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho ).}$ ${\displaystyle \rho (\mu ),}$

Construcciones

La doble representación

Sea una representación dada. La representación dual o representación contragrediente es una representación de en el espacio vectorial dual de Se define por la propiedad ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle \rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

${\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).}$

Respecto al emparejamiento natural entre y la definición anterior proporciona la ecuación: ${\displaystyle \langle \alpha ,v\rangle :=\alpha (v)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .}$

Para ver un ejemplo, consulte la página principal sobre este tema: Representación dual .

Suma directa de representaciones

Sean y una representación de y respectivamente. La suma directa de estas representaciones es una representación lineal y se define como ${\displaystyle (\rho _{1},V_{1})}$ ${\displaystyle (\rho _{2},V_{2})}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$

${\displaystyle \forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}}$

Sean representaciones del mismo grupo . Para simplificar, la suma directa de estas representaciones se define como una representación de, es decir, se da como viéndola como el subgrupo diagonal de ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G.}$

Ejemplo. Sea (aquí y son la unidad imaginaria y la raíz cúbica primitiva de la unidad respectivamente): ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

Como basta considerar la imagen del elemento generador, encontramos que

${\displaystyle (\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}}$

Producto tensorial de representaciones

Sean representaciones lineales. Definimos la representación lineal en el producto tensorial de y por en el que Esta representación se llama producto tensorial externo de las representaciones y La existencia y unicidad es una consecuencia de las propiedades del producto tensorial . ${\displaystyle \rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),}$ ${\displaystyle s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}.}$

Ejemplo. Reexaminemos el ejemplo dado para la suma directa:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

El producto tensorial externo

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

Utilizando la base estándar de tenemos lo siguiente para el elemento generador: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}}$

${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Observación. Nótese que la suma directa y los productos tensoriales tienen grados diferentes y, por lo tanto, son representaciones diferentes.

Sean dos representaciones lineales del mismo grupo. Sea un elemento de Entonces se define por para y escribimos Entonces la función define una representación lineal de que también se llama producto tensorial de las representaciones dadas. ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ ${\displaystyle \rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},}$ ${\displaystyle \rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).}$ ${\displaystyle s\mapsto \rho (s)}$ ${\displaystyle G,}$

Estos dos casos deben distinguirse estrictamente. El primer caso es una representación del producto de grupo en el producto tensorial de los espacios de representación correspondientes. El segundo caso es una representación del grupo en el producto tensorial de dos espacios de representación de este grupo. Pero este último caso puede verse como un caso especial del primero centrándose en el subgrupo diagonal. Esta definición puede iterarse un número finito de veces. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G.}$

Sean y representaciones del grupo Entonces es una representación en virtud de la siguiente identidad: . Sea y sea la representación en Sea la representación en y la representación en Entonces la identidad anterior conduce al siguiente resultado: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W}$ ${\displaystyle B\in {\text{Hom}}(V,W)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W).}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle W.}$

${\displaystyle \rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v}$a pesar de ${\displaystyle s\in G,v\in V.}$

Teorema. Las representaciones irreducibles de hasta el isomorfismo son exactamente las representaciones en las que y son representaciones irreducibles de y respectivamente. ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$

Cuadrado simétrico y alterno

Sea una representación lineal de Sea una base de Defina extendiendo linealmente. Entonces se cumple que y por lo tanto se divide en en donde ${\displaystyle \rho :G\to V\otimes V}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (e_{k})}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \vartheta :V\otimes V\to V\otimes V}$ ${\displaystyle \vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}}$ ${\displaystyle \vartheta ^{2}=1}$ ${\displaystyle V\otimes V}$ ${\displaystyle V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}}$

${\displaystyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.}$

Estos subespacios son –invariantes y por ello definen subrepresentaciones que se denominan cuadrado simétrico y cuadrado alternado , respectivamente. Estas subrepresentaciones también se definen en aunque en este caso se denotan producto cuña y producto simétrico En caso de que el espacio vectorial en general no sea igual a la suma directa de estos dos productos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V^{\otimes m},}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{m}V}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{m}(V).}$ ${\displaystyle m>2,}$ ${\displaystyle V^{\otimes m}}$

Descomposiciones

Para comprender las representaciones con mayor facilidad, sería deseable descomponer el espacio de representación en la suma directa de subrepresentaciones más simples. Esto se puede lograr para grupos finitos, como veremos en los siguientes resultados. Se pueden encontrar explicaciones y demostraciones más detalladas en [1] y [2].

Teorema. ( Maschke ) Sea una representación lineal donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo de característica cero. Sea un subespacio -invariante de Entonces el complemento de existe en y es -invariante. ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle W^{0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Una subrepresentación y su complemento determinan una representación de manera única.

El siguiente teorema se presentará de una manera más general, ya que proporciona un resultado muy bello sobre las representaciones de grupos compactos –y por lo tanto también finitos–:

Teorema. Toda representación lineal de un grupo compacto sobre un cuerpo de característica cero es una suma directa de representaciones irreducibles.

O en el lenguaje de los -módulos: Si el álgebra de grupo es semisimple, es decir, es la suma directa de álgebras simples. ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle {\text{char}}(K)=0,}$ ${\displaystyle K[G]}$

Tenga en cuenta que esta descomposición no es única. Sin embargo, la cantidad de veces que una subrepresentación isomorfa a una representación irreducible dada aparece en esta descomposición es independiente de la elección de la descomposición.

La descomposición canónica

Para lograr una descomposición única, hay que combinar todas las subrepresentaciones irreducibles que son isomorfas entre sí. Es decir, el espacio de representación se descompone en una suma directa de sus isotipos. Esta descomposición está determinada de manera única. Se denomina descomposición canónica .

Sea el conjunto de todas las representaciones irreducibles de un grupo salvo isomorfismo. Sea una representación de y sea el conjunto de todos los isotipos de La proyección correspondiente a la descomposición canónica está dada por ${\displaystyle (\tau _{j})_{j\in I}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{V(\tau _{j})|j\in I\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle p_{j}:V\to V(\tau _{j})}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),}$

¿Dónde y a qué pertenece el personaje? ${\displaystyle n_{j}=\dim(\tau _{j}),}$ ${\displaystyle g={\text{ord}}(G)}$ ${\displaystyle \chi _{\tau _{j}}}$ ${\displaystyle \tau _{j}.}$

A continuación mostramos cómo determinar el isotipo de la representación trivial:

Definición (Fórmula de proyección). Para cada representación de un grupo definimos ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.}$

En general, no es lineal. Definimos ${\displaystyle \rho (s):V\to V}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).}$

Entonces es un mapa -lineal, porque ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).}$

Proposición. El mapa es una proyección de a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{G}.}$

Esta proposición nos permite determinar explícitamente el isotipo de la subrepresentación trivial de una representación dada.

La frecuencia con la que se produce la representación trivial en está dada por Este resultado es una consecuencia del hecho de que los valores propios de una proyección son solo o y que el espacio propio correspondiente al valor propio es la imagen de la proyección. Como la traza de la proyección es la suma de todos los valores propios, obtenemos el siguiente resultado ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(P).}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),}$

en el que denota el isotipo de la representación trivial. ${\displaystyle V(1)}$

Sea una representación irreducible no trivial de Entonces el isotipo de la representación trivial de es el espacio nulo. Eso significa que la siguiente ecuación es válida ${\displaystyle V_{\pi }}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.}$

Sea una base ortonormal de Entonces tenemos: ${\displaystyle e_{1},...,e_{n}}$ ${\displaystyle V_{\pi }.}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.}$

Por lo tanto, lo siguiente es válido para una representación irreducible no trivial : ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.}$

Ejemplo. Sean los grupos de permutación en tres elementos. Sea una representación lineal de definida en los elementos generadores de la siguiente manera: ${\displaystyle G={\text{Per}}(3)}$ ${\displaystyle \rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Per}}(3)}$

${\displaystyle \rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Esta representación se puede descomponer a primera vista en la representación regular izquierda de la cual se denota por a continuación, y la representación con ${\displaystyle {\text{Per}}(3),}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.}$

Con la ayuda del criterio de irreducibilidad tomado del capítulo siguiente, podríamos darnos cuenta de que es irreducible pero no lo es. Esto se debe a que (en términos del producto interno del apartado “Producto interno y caracteres” más adelante) tenemos ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.}$

El subespacio de es invariante respecto de la representación regular por la izquierda. Restringido a este subespacio obtenemos la representación trivial. ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

El complemento ortogonal de está Restringido a este subespacio, que también es –invariante como hemos visto anteriormente, obtenemos la representación dada por ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Nuevamente, podemos usar el criterio de irreducibilidad del próximo capítulo para demostrar que es irreducible. Ahora, y son isomorfos porque para todo en el cual está dado por la matriz ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}}$ ${\displaystyle s\in {\text{Per}}(3),}$ ${\displaystyle B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.}$

Una descomposición de subrepresentaciones irreducibles es: donde denota la representación trivial y ${\displaystyle (\rho ,\mathbb {C} ^{5})}$ ${\displaystyle \rho =\tau \oplus \eta \oplus 1}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})}$

es la descomposición correspondiente del espacio de representación.

Obtenemos la descomposición canónica combinando todas las subrepresentaciones irreducibles isomorfas: es el isotipo de y en consecuencia la descomposición canónica viene dada por ${\displaystyle \rho _{1}:=\eta \oplus \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).}$

Los teoremas anteriores no son válidos en general para grupos infinitos. Esto se demostrará con el siguiente ejemplo: sea

${\displaystyle G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.}$

Junto con la multiplicación de matrices se forma un grupo infinito. actúa sobre la multiplicación de matrices y vectores. Consideramos que la representación para todos los subespacios es un subespacio invariante. Sin embargo, no existe ningún complemento invariante para este subespacio. La suposición de que existe tal complemento implicaría que cada matriz es diagonalizable sobre Esto se sabe que es incorrecto y, por lo tanto, produce una contradicción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \rho (A)=A}$ ${\displaystyle A\in G.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} e_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

La moraleja de la historia es que si consideramos grupos infinitos, es posible que una representación, incluso una que no sea irreducible, no pueda descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles.

Teoría del carácter

Definiciones

El carácter de una representación se define como el mapa ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$

${\displaystyle \chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),}$en el que denota la traza del mapa lineal ^[4] ${\displaystyle {\text{Tr}}(\rho (s))}$ ${\displaystyle \rho (s).}$

Aunque el carácter es un mapa entre dos grupos, no es en general un homomorfismo de grupo , como lo muestra el siguiente ejemplo.

Sea la representación definida por: ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

El carácter viene dado por ${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.}$

Los caracteres de las representaciones de permutación son particularmente fáciles de calcular. Si V es la representación G correspondiente a la acción izquierda de en un conjunto finito , entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.}$

Por ejemplo, ^[5] el carácter de la representación regular viene dado por ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},}$

donde denota el elemento neutro de ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G.}$

Propiedades

Una propiedad crucial de los personajes es la fórmula

${\displaystyle \chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.}$

Esta fórmula se deduce del hecho de que la traza de un producto AB de dos matrices cuadradas es la misma que la traza de BA . Las funciones que satisfacen dicha fórmula se denominan funciones de clase . Dicho de otro modo, las funciones de clase y, en particular, los caracteres son constantes en cada clase de conjugación. También se deduce de las propiedades elementales de la traza que es la suma de los valores propios de con multiplicidad. Si el grado de la representación es n , entonces la suma es n larga. Si s tiene orden m , estos valores propios son todos raíces m -ésimas de la unidad . Este hecho se puede utilizar para demostrar que y también implica ${\displaystyle G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.}$ ${\displaystyle \chi (s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G}$ ${\displaystyle |\chi (s)|\leqslant n.}$

Dado que la traza de la matriz identidad es el número de filas, donde es el elemento neutro de y n es la dimensión de la representación. En general, es un subgrupo normal en La siguiente tabla muestra cómo los caracteres de dos representaciones dadas dan lugar a caracteres de representaciones relacionadas. ${\displaystyle \chi (e)=n,}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{s\in G|\chi (s)=n\}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})}$

Por construcción, existe una descomposición de suma directa de . En los caracteres, esto corresponde al hecho de que la suma de las dos últimas expresiones de la tabla es , el carácter de . ${\displaystyle V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V}$ ${\displaystyle \chi (s)^{2}}$ ${\displaystyle V\otimes V}$

Producto interno y caracteres

Para mostrar algunos resultados particularmente interesantes sobre los personajes, conviene considerar un tipo más general de funciones sobre grupos:

Definición (Funciones de clase). Una función se denomina función de clase si es constante en las clases de conjugación de , es decir ${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).}$

Tenga en cuenta que cada carácter es una función de clase, ya que la traza de una matriz se conserva bajo conjugación.

El conjunto de todas las funciones de clase es un álgebra y se denota por . Su dimensión es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle G.}$

Las pruebas de los siguientes resultados de este capítulo se pueden encontrar en [1], [2] y [3].

Se puede definir un producto interno en el conjunto de todas las funciones de clase de un grupo finito:

${\displaystyle (f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}$

Propiedad ortonormal. Si son los caracteres irreducibles distintos de , forman una base ortonormal para el espacio vectorial de todas las funciones de clase con respecto al producto interno definido anteriormente, es decir ${\displaystyle \chi _{1},\ldots ,\chi _{k}}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle (\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.}$
• Cada función de clase puede expresarse como una combinación lineal única de los caracteres irreducibles . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1},\ldots ,\chi _{k}}$

Se podría verificar que los caracteres irreducibles se generan mostrando que no existe ninguna función de clase distinta de cero que sea ortogonal a todos los caracteres irreducibles. Para una representación y una función de clase, denotamos Entonces para irreducible, tenemos del lema de Schur . Supongamos que es una función de clase que es ortogonal a todos los caracteres. Entonces por lo anterior tenemos siempre que es irreducible. Pero luego se sigue que para todos , por descomponibilidad. Tome como la representación regular. Aplicando a algún elemento base particular , obtenemos . Como esto es cierto para todos , tenemos ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{f}=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=0.}$

De la propiedad ortonormal se deduce que el número de representaciones irreducibles no isomorfas de un grupo es igual al número de clases de conjugación de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Además, una función de clase en es un carácter de si y solo si puede escribirse como una combinación lineal de los caracteres irreducibles distintos con coeficientes enteros no negativos: si es una función de clase en tal que donde son enteros no negativos, entonces es el carácter de la suma directa de las representaciones correspondientes a A la inversa, siempre es posible escribir cualquier carácter como una suma de caracteres irreducibles. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{j}.}$

El producto interno definido anteriormente se puede extender al conjunto de funciones de todos los valores en un grupo finito: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$

${\displaystyle (f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}$

También se puede definir una forma bilineal simétrica en ${\displaystyle L^{1}(G):}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})}$

Estas dos formas coinciden en el conjunto de caracteres. Si no hay peligro de confusión, se omitirá el índice de ambas formas . ${\displaystyle (\cdot |\cdot )_{G}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{G}}$

Sean dos –módulos. Nótese que los –módulos son simplemente representaciones de . Puesto que la propiedad ortonormal produce que el número de representaciones irreducibles de es exactamente el número de sus clases de conjugación, entonces hay exactamente tantos –módulos simples (salvo isomorfismo) como clases de conjugación de ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle G.}$

Definimos en qué es el espacio vectorial de todas las aplicaciones –lineales. Esta forma es bilineal respecto de la suma directa. ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})}$ ${\displaystyle G}$

A continuación, estas formas bilineales nos permitirán obtener algunos resultados importantes con respecto a la descomposición e irreducibilidad de representaciones.

Por ejemplo, sean y los caracteres de y respectivamente. Entonces ${\displaystyle \chi _{1}}$ ${\displaystyle \chi _{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2},}$ ${\displaystyle \langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.}$

Es posible derivar el siguiente teorema de los resultados anteriores, junto con el lema de Schur y la completa reducibilidad de las representaciones.

Teorema. Sea una representación lineal de con carácter Sea donde son irreducibles. Sea una representación irreducible de con carácter Entonces el número de subrepresentaciones que son isomorfas a es independiente de la descomposición dada y es igual al producto interno, es decir, el –isotipo de es independiente de la elección de la descomposición. También obtenemos: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle (\tau ,W)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi .}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (\xi |\chi ),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V(\tau )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle }$

y por lo tanto

${\displaystyle \dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).}$

Corolario. Dos representaciones con el mismo carácter son isomorfas. Esto significa que cada representación está determinada por su carácter.

Con esto obtenemos un resultado muy útil para analizar representaciones:

Criterio de irreducibilidad. Sea el carácter de la representación , entonces tenemos El caso se cumple si y sólo si es irreducible. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.}$ ${\displaystyle (\chi |\chi )=1}$ ${\displaystyle V}$

Por lo tanto, utilizando el primer teorema, los caracteres de las representaciones irreducibles de forman un conjunto ortonormal con respecto a este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$

Corolario. Sea un espacio vectorial con una representación irreducible dada de que está contenida –veces en la representación regular. En otras palabras, si denota la representación regular de entonces tenemos: en donde es el conjunto de todas las representaciones irreducibles de que no son isomorfas entre sí por pares. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(V)=n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},}$ ${\displaystyle \{W_{j}|j\in I\}}$ ${\displaystyle G}$

En términos del álgebra de grupos, esto significa que como álgebras. ${\displaystyle \mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})}$

Como resultado numérico obtenemos:

${\displaystyle |G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},}$

en la que es la representación regular y y son caracteres correspondientes a y respectivamente. Recordemos que denota el elemento neutro del grupo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \chi _{W_{j}}}$ ${\displaystyle \chi _{R}}$ ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle e}$

Esta fórmula es una condición "necesaria y suficiente" para el problema de clasificación de las representaciones irreducibles de un grupo hasta el isomorfismo. Nos proporciona los medios para comprobar si hemos encontrado todas las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles de un grupo.

De manera similar, al utilizar el carácter de la representación regular evaluada en obtenemos la ecuación: ${\displaystyle s\neq e,}$

${\displaystyle 0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).}$

Utilizando la descripción de representaciones mediante el álgebra de convolución logramos una formulación equivalente de estas ecuaciones:

La fórmula de inversión de Fourier :

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).}$

Además, la fórmula de Plancherel se cumple:

${\displaystyle \sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).}$

En ambas fórmulas hay una representación lineal de un grupo y ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G,s\in G}$ ${\displaystyle f,h\in L^{1}(G).}$

El corolario anterior tiene una consecuencia adicional:

Lema. Sea un grupo. Entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G}$es abeliano .
• Cada función en es una función de clase. ${\displaystyle G}$
• Todas las representaciones irreducibles de tienen grado ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1.}$

La representación inducida

Como se ha demostrado en el apartado sobre las propiedades de las representaciones lineales, podemos, por restricción, obtener una representación de un subgrupo a partir de una representación de un grupo. Naturalmente, nos interesa el proceso inverso: ¿es posible obtener la representación de un grupo a partir de una representación de un subgrupo? Veremos que la representación inducida definida a continuación nos proporciona el concepto necesario. Es cierto que esta construcción no es inversa, sino más bien adjunta a la restricción.

Definiciones

Sea una representación lineal de Sea un subgrupo y la restricción. Sea una subrepresentación de Escribimos para denotar esta representación. Sea El espacio vectorial depende solo de la clase lateral izquierda de Sea un sistema representativo de entonces ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho |_{H}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \rho _{H}.}$ ${\displaystyle \theta :H\to {\text{GL}}(W)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle \rho (s)(W)}$ ${\displaystyle sH}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H,}$

${\displaystyle \sum _{r\in R}\rho (r)(W)}$

es una subrepresentación de ${\displaystyle V_{\rho }.}$

Una representación de en se llama inducida por la representación de en si ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W,}$

${\displaystyle V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.}$

Aquí se denota un sistema representativo de y para todos y para todos En otras palabras: la representación es inducida por si cada puede escribirse de forma única como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle W_{r}=\rho (s)(W)}$ ${\displaystyle s\in rH}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle (\theta ,W),}$ ${\displaystyle v\in V_{\rho }}$

${\displaystyle \sum _{r\in R}w_{r},}$

donde para cada uno ${\displaystyle w_{r}\in W_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$

Denotamos la representación de la cual es inducida por la representación de como o en resumen si no hay peligro de confusión. El espacio de representación en sí se utiliza con frecuencia en lugar del mapa de representación, es decir o si la representación es inducida por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),}$ ${\displaystyle \rho ={\text{Ind}}(\theta ),}$ ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),}$ ${\displaystyle V={\text{Ind}}(W),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W.}$

Descripción alternativa de la representación inducida

Utilizando el álgebra de grupos obtenemos una descripción alternativa de la representación inducida:

Sea un grupo, un –módulo y un –submódulo de correspondiente al subgrupo de Decimos que es inducido por si en que actúa sobre el primer factor: para todo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [H]}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w}$ ${\displaystyle s,t\in G,w\in W.}$

Propiedades

Los resultados presentados en esta sección se presentarán sin pruebas. Éstas se pueden encontrar en [1] y [2].

Unicidad y existencia de la representación inducida. Sea una representación lineal de un subgrupo de Entonces existe una representación lineal de la cual es inducida por Nótese que esta representación es única salvo isomorfismo. ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta }).}$

Transitividad de la inducción. Sea una representación de y sea una serie ascendente de grupos. Entonces tenemos ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\leq G\leq K}$

${\displaystyle {\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).}$

Lema. Sea inducida por y sea una representación lineal de Ahora sea una función lineal que satisface la propiedad de que para todos Entonces existe una función lineal unívocamente determinada que extiende y para la cual es válida para todos ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle \rho ':G\to {\text{GL}}(V')}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle F:W_{\theta }\to V'}$ ${\displaystyle F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F}$ ${\displaystyle t\in G.}$ ${\displaystyle F':V_{\rho }\to V',}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'}$ ${\displaystyle s\in G.}$

Esto significa que si interpretamos como un –módulo, tenemos donde es el espacio vectorial de todos los –homomorfismos de a Lo mismo es válido para ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$ ${\displaystyle V'.}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').}$

Inducción sobre funciones de clase. De la misma manera que se hizo con las representaciones, podemos -por inducción- obtener una función de clase sobre el grupo a partir de una función de clase sobre un subgrupo. Sea una función de clase sobre Definimos una función sobre por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).}$

Decimos que es inducido por y escribimos o ${\displaystyle \varphi '}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.}$

Proposición. La función es una función de clase en Si es el carácter de una representación de entonces es el carácter de la representación inducida de ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(W)}$ ${\displaystyle G.}$

Lema. Si es una función de clase en y es una función de clase en entonces tenemos: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .}$

Teorema. Sea la representación de inducida por la representación del subgrupo Sean y los caracteres correspondientes. Sea un sistema representativo de El carácter inducido viene dado por ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ ${\displaystyle \chi _{\theta }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G/H.}$

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).}$

Reciprocidad de Frobenius

A modo de resumen preventivo, la lección que debemos sacar de la reciprocidad de Frobenius es que los mapas y son adyacentes entre sí. ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$

Sea una representación irreducible de y sea una representación irreducible de entonces la reciprocidad de Frobenius nos dice que está contenido en tan a menudo como está contenido en ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\text{Res}}(V)}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(W)}$ ${\displaystyle V.}$

Reciprocidad de Frobenius. Si y tenemos ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)}$ ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.}$

Esta afirmación también es válida para el producto interior.

Criterio de irreducibilidad de Mackey

George Mackey estableció un criterio para verificar la irreducibilidad de las representaciones inducidas. Para ello necesitaremos primero algunas definiciones y algunas especificaciones respecto a la notación.

Dos representaciones y de un grupo se denominan disjuntas si no tienen ningún componente irreducible en común, es decir, si ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.}$

Sea un grupo y sea un subgrupo. Definimos para Sea una representación del subgrupo Esto define por restricción una representación de Escribimos para También definimos otra representación de por Estas dos representaciones no deben confundirse. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{s}=sHs^{-1}\cap H}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle (\rho ,W)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )}$ ${\displaystyle H_{s}.}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle H_{s}}$ ${\displaystyle \rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).}$

Criterio de irreducibilidad de Mackey. La representación inducida es irreducible si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)}$

• ${\displaystyle W}$es irreducible
• Para cada una de las dos representaciones y de son disjuntas. ^[6] ${\displaystyle s\in G\setminus H}$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ ${\displaystyle H_{s}}$

Para el caso de la normalidad, tenemos y . Por lo tanto obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{s}=H}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho }$

Corolario. Sea un subgrupo normal de Entonces es irreducible si y sólo si es irreducible y no isomorfo a los conjugados de ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{s}}$ ${\displaystyle s\notin H.}$

Solicitudes para grupos especiales

En esta sección presentamos algunas aplicaciones de la teoría presentada hasta ahora a subgrupos normales y a un grupo especial, el producto semidirecto de un subgrupo con un subgrupo normal abeliano.

Proposición. Sea un subgrupo normal del grupo y sea una representación irreducible de Entonces una de las siguientes afirmaciones tiene que ser válida: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G.}$

• o bien existe un subgrupo propio de que contiene , y una representación irreducible de la cual induce , ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$
• o es un módulo isotípico. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} A}$

Demostración. Consideremos como un módulo y descompongámoslo en isotipos como . Si esta descomposición es trivial, estamos en el segundo caso. De lo contrario, la acción mayor permuta estos módulos isotípicos; como es irreducible como módulo, la acción de permutación es transitiva (de hecho, primitiva ). Fijemos cualquier ; se ve elementalmente que el estabilizador en of exhibe las propiedades reclamadas.      ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} A}$ ${\displaystyle V=\bigoplus _{j}{V_{j}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle \Box }$

Nótese que si es abeliano, entonces los módulos isotípicos de son irreducibles, de grado uno y todas homotecias. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Obtenemos también lo siguiente

Corolario. Sea un subgrupo normal abeliano de y sea cualquier representación irreducible de Denotamos con el índice de en Entonces [1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (G:A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \deg(\tau )|(G:A).}$

Si es un subgrupo abeliano de (no necesariamente normal), generalmente no se satisface, pero sin embargo sigue siendo válido. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \deg(\tau )|(G:A)}$ ${\displaystyle \deg(\tau )\leq (G:A)}$

Clasificación de las representaciones de un producto semidirecto

En lo que sigue, sea un producto semidirecto tal que el factor semidirecto normal, , es abeliano. Las representaciones irreducibles de dicho grupo se pueden clasificar demostrando que todas las representaciones irreducibles de se pueden construir a partir de ciertos subgrupos de . Este es el llamado método de los “pequeños grupos” de Wigner y Mackey. ${\displaystyle G=A\rtimes H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Como es abeliano , los caracteres irreducibles de tienen grado uno y forman el grupo El grupo actúa sobre por para ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle (s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)}$ ${\displaystyle s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.}$

Sea un sistema representativo de la órbita de en Para cada sea Este es un subgrupo de Sea el subgrupo correspondiente de Ahora extendemos la función sobre por para Por lo tanto, es una función de clase en Además, dado que para todos se puede demostrar que es un homomorfismo de grupo de a Por lo tanto, tenemos una representación de de grado uno que es igual a su propio carácter. ${\displaystyle (\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {X} .}$ ${\displaystyle j\in \mathrm {X} /H}$ ${\displaystyle H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle G_{j}=A\cdot H_{j}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}}$ ${\displaystyle \chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)}$ ${\displaystyle a\in A,t\in H_{j}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}.}$ ${\displaystyle t\chi _{j}=\chi _{j}}$ ${\displaystyle t\in H_{j},}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle G_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }.}$ ${\displaystyle G_{j}}$

Sea ahora una representación irreducible de Entonces obtenemos una representación irreducible de combinando con la proyección canónica Finalmente, construimos el producto tensorial de y Por lo tanto, obtenemos una representación irreducible de ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{j}.}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle G_{j},}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{j}\to H_{j}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}.}$ ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle G_{j}.}$

Para obtener finalmente la clasificación de las representaciones irreducibles de utilizamos la representación de la cual es inducida por el producto tensorial Con lo que obtenemos el siguiente resultado: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.}$

Proposición.

• ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$es irreducible.
• Si y son isomorfos, entonces y además es isomorfo a ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ ${\displaystyle \theta _{j',\rho '}}$ ${\displaystyle j=j'}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '.}$
• Toda representación irreducible de es isomorfa a una de las ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta _{j,\rho }.}$

Para la demostración de la proposición se necesitan, entre otros, el criterio de Mackey y una conclusión basada en la reciprocidad de Frobenius. Se pueden encontrar más detalles en [1].

En otras palabras, clasificamos todas las representaciones irreducibles de ${\displaystyle G=A\rtimes H.}$

Anillo de representación

El anillo de representación de se define como el grupo abeliano ${\displaystyle G}$

${\displaystyle R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Con la multiplicación que proporciona el producto tensorial, se convierte en un anillo. Los elementos de se denominan representaciones virtuales . ${\displaystyle R(G)}$ ${\displaystyle R(G)}$

El carácter define un homomorfismo de anillo en el conjunto de todas las funciones de clase con valores complejos ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}}$

en el que son los caracteres irreducibles correspondientes a los ${\displaystyle \chi _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}.}$

Porque una representación está determinada por su carácter, es inyectiva . Las imágenes de se llaman personajes virtuales . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

Como los caracteres irreducibles forman una base ortonormal induce un isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}},\chi }$

${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).}$

Este isomorfismo se define sobre una base de tensores elementales por respectivamente y se extiende bilinealmente . ${\displaystyle (\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},}$

Escribimos para el conjunto de todos los caracteres de y para denotar el grupo generado por es decir, el conjunto de todas las diferencias de dos caracteres. Entonces se cumple que y Por lo tanto, tenemos y los caracteres virtuales corresponden a las representaciones virtuales de manera óptima. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G),}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).}$ ${\displaystyle R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)}$

Dado que se cumple, es el conjunto de todos los caracteres virtuales. Como el producto de dos caracteres proporciona otro carácter, es un subanillo del anillo de todas las funciones de clase en Dado que la forma una base de obtenemos, al igual que en el caso de un isomorfismo ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \chi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle R(G),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).}$

Sea un subgrupo de La restricción define entonces un homomorfismo de anillo que se denotará por o Asimismo, la inducción sobre funciones de clase define un homomorfismo de grupos abelianos que se escribirá como o en forma abreviada ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},}$ ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}.}$

Según la reciprocidad de Frobenius, estos dos homomorfismos son adjuntos con respecto a las formas bilineales y Además, la fórmula muestra que la imagen de es un ideal del anillo ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G).}$

Por la restricción de representaciones, la aplicación puede definirse análogamente para y por inducción obtenemos la aplicación para Debido a la reciprocidad de Frobenius, obtenemos el resultado de que estas aplicaciones son adjuntas entre sí y que la imagen es un ideal del anillo. ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle R(G),}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle R(G).}$ ${\displaystyle {\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))}$ ${\displaystyle R(G).}$

Si es un anillo conmutativo, los homomorfismos y pueden extenderse a mapas –lineales: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}}$

en el que están todas las representaciones irreducibles de hasta el isomorfismo. ${\displaystyle \eta _{j}}$ ${\displaystyle H}$

Con obtenemos en particular que y suministramos homomorfismos entre y ${\displaystyle A=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$ ${\displaystyle {\text{Res}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(H).}$

Sean y dos grupos con representaciones respectivas y Entonces, es la representación del producto directo como se mostró en una sección anterior. Otro resultado de esa sección fue que todas las representaciones irreducibles de son exactamente las representaciones donde y son representaciones irreducibles de y respectivamente. Esto pasa al anillo de representación como la identidad en la que es el producto tensorial de los anillos de representación como –módulos. ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle (\rho _{1},V_{1})}$ ${\displaystyle (\rho _{2},V_{2}).}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle \eta _{1}\otimes \eta _{2},}$ ${\displaystyle \eta _{1}}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2},}$ ${\displaystyle R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),}$ ${\displaystyle R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Teoremas de inducción

Los teoremas de inducción relacionan el anillo de representación de un grupo finito dado G con anillos de representación de una familia X que consiste en algunos subconjuntos H de G . Más precisamente, para tal colección de subgrupos, el funtor de inducción produce una función

${\displaystyle \varphi :{\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$; Los teoremas de inducción proporcionan criterios para la sobreyectividad de este mapa o de otros estrechamente relacionados.

El teorema de inducción de Artin es el más elemental de este grupo de resultados. Afirma que los siguientes son equivalentes:

• El cokernel de es finito. ${\displaystyle \varphi }$
• ${\displaystyle G}$es la unión de los conjugados de los subgrupos pertenecientes a ie ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.}$

Dado que se genera finitamente como grupo, el primer punto puede reformularse de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$

• Para cada carácter de existen caracteres virtuales y un entero tales que ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X}$ ${\displaystyle d\geq 1,}$ ${\displaystyle d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).}$

Serre (1977) da dos demostraciones de este teorema. Por ejemplo, dado que G es la unión de sus subgrupos cíclicos, cada carácter de es una combinación lineal con coeficientes racionales de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos cíclicos de Dado que las representaciones de los grupos cíclicos son bien entendidas, en particular las representaciones irreducibles son unidimensionales, esto da un cierto control sobre las representaciones de G . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

En las circunstancias anteriores, no es cierto en general que sea sobreyectivo. El teorema de inducción de Brauer afirma que es sobreyectivo, siempre que X sea la familia de todos los subgrupos elementales . Aquí un grupo H es elemental si hay algún primo p tal que H sea el producto directo de un grupo cíclico de orden primo a y un –grupo . En otras palabras, cada carácter de es una combinación lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos por caracteres de subgrupos elementales. Los subgrupos elementales H que surgen en el teorema de Brauer tienen una teoría de representación más rica que los grupos cíclicos, al menos tienen la propiedad de que cualquier representación irreducible para tal H es inducida por una representación unidimensional de un subgrupo (necesariamente también elemental) . (Se puede demostrar que esta última propiedad es válida para cualquier grupo supersoluble , que incluye grupos nilpotentes y, en particular, grupos elementales). Esta capacidad de inducir representaciones a partir de representaciones de grado 1 tiene algunas consecuencias adicionales en la teoría de representación de grupos finitos. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\subset H}$

Representaciones reales

Para obtener pruebas y más información sobre las representaciones sobre subcampos generales, consulte [2]. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si un grupo actúa sobre un espacio vectorial real, la representación correspondiente en el espacio vectorial complejo se denomina real ( se denomina complejización de ). La representación correspondiente mencionada anteriormente viene dada por para todo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{0},}$ ${\displaystyle V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z}$ ${\displaystyle s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .}$

Sea una representación real. La función lineal es -valuada para todos . Por lo tanto, podemos concluir que el carácter de una representación real es siempre de valor real. Pero no toda representación con un carácter de valor real es real. Para aclarar esto, sea un subgrupo finito, no abeliano del grupo ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\ :\ |a|^{2}+|b|^{2}=1\right\}.}$

Entonces actúa sobre Dado que la traza de cualquier matriz en es real, el carácter de la representación es de valor real. Supongamos que es una representación real, entonces consistiría solo en matrices de valor real. Por lo tanto, Sin embargo, el grupo del círculo es abeliano pero se eligió para que fuera un grupo no abeliano. Ahora solo necesitamos demostrar la existencia de un subgrupo finito no abeliano de Para encontrar dicho grupo, observe que se puede identificar con las unidades de los cuaterniones . Ahora sea La siguiente representación bidimensional de no es de valor real, pero tiene un carácter de valor real: ${\displaystyle G\subset {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2).}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Entonces la imagen de no tiene un valor real, pero sin embargo es un subconjunto de Por lo tanto, el carácter de la representación es real. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2).}$

Lema. Una representación irreducible de es real si y sólo si existe una forma bilineal simétrica no degenerada en preservada por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$

Una representación irreducible de en un espacio vectorial real puede volverse reducible al extender el campo a Por ejemplo, la siguiente representación real del grupo cíclico es reducible cuando se considera sobre ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\rho :\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

Por lo tanto, al clasificar todas las representaciones irreducibles que son reales, aún no hemos clasificado todas las representaciones reales irreducibles. Pero logramos lo siguiente: ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Sea un espacio vectorial real. Sea que actúe irreduciblemente sobre y sea Si no es irreducible, hay exactamente dos factores irreducibles que son representaciones complejas conjugadas de ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G.}$

Definición. Una representación cuaterniónica es una representación (compleja) que posee un homomorfismo antilineal –invariante que satisface Por lo tanto, una forma bilineal –invariante no degenerada y antisimétrica define una estructura cuaterniónica en ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J:V\to V}$ ${\displaystyle J^{2}=-{\text{Id}}.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

Teorema. Una representación irreducible es una y sólo una de las siguientes: ${\displaystyle V}$

(i) complejo: no tiene valor real y no existe una forma bilineal no degenerada –invariante en ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V.}$

(ii) real: una representación real; tiene una forma bilineal simétrica no degenerada –invariante . ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

(iii) cuaterniónico: es real, pero no es real; tiene una forma bilineal no degenerada antisimétrica –invariante. ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones de grupos particulares

Grupos simétricos

Representation of the symmetric groups ${\displaystyle S_{n}}$ have been intensely studied. Conjugacy classes in ${\displaystyle S_{n}}$ (and therefore, by the above, irreducible representations) correspond to partitions of n. For example, ${\displaystyle S_{3}}$ has three irreducible representations, corresponding to the partitions

3; 2+1; 1+1+1

of 3. For such a partition, a Young tableau is a graphical device depicting a partition. The irreducible representation corresponding to such a partition (or Young tableau) is called a Specht module.

Representations of different symmetric groups are related: any representation of ${\displaystyle S_{n}\times S_{m}}$ yields a representation of ${\displaystyle S_{n+m}}$ by induction, and vice versa by restriction. The direct sum of all these representation rings

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})}$

inherits from these constructions the structure of a Hopf algebra which, it turns out, is closely related to symmetric functions.

Finite groups of Lie type

To a certain extent, the representations of the ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$ , as n varies, have a similar flavor as for the ${\displaystyle S_{n}}$; the above-mentioned induction process gets replaced by so-called parabolic induction. However, unlike for ${\displaystyle S_{n}}$, where all representations can be obtained by induction of trivial representations, this is not true for ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$. Instead, new building blocks, known as cuspidal representations, are needed.

Representations of ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$ and more generally, representations of finite groups of Lie type have been thoroughly studied. Bonnafé (2010) describes the representations of ${\displaystyle SL_{2}(\mathbf {F} _{q})}$. A geometric description of irreducible representations of such groups, including the above-mentioned cuspidal representations, is obtained by Deligne-Lusztig theory, which constructs such representation in the l-adic cohomology of Deligne-Lusztig varieties.

The similarity of the representation theory of ${\displaystyle S_{n}}$ and ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})}$ goes beyond finite groups. The philosophy of cusp forms highlights the kinship of representation theoretic aspects of these types of groups with general linear groups of local fields such as Qp and of the ring of adeles, see Bump (2004).

Outlook—Representations of compact groups

The theory of representations of compact groups may be, to some degree, extended to locally compact groups. The representation theory unfolds in this context great importance for harmonic analysis and the study of automorphic forms. For proofs, further information and for a more detailed insight which is beyond the scope of this chapter please consult [4] and [5].

Definition and properties

A topological group is a group together with a topology with respect to which the group composition and the inversion are continuous. Such a group is called compact, if any cover of ${\displaystyle G,}$ which is open in the topology, has a finite subcover. Closed subgroups of a compact group are compact again.

Let ${\displaystyle G}$ be a compact group and let ${\displaystyle V}$ be a finite-dimensional ${\displaystyle \mathbb {C} }$–vector space. A linear representation of ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle V}$ is a continuous group homomorphism ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V),}$ i.e. ${\displaystyle \rho (s)v}$ is a continuous function in the two variables ${\displaystyle s\in G}$ and ${\displaystyle v\in V.}$

A linear representation of ${\displaystyle G}$ into a Banach space ${\displaystyle V}$ is defined to be a continuous group homomorphism of ${\displaystyle G}$ into the set of all bijective bounded linear operators on ${\displaystyle V}$ with a continuous inverse. Since ${\displaystyle \pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),}$ we can do without the last requirement. In the following, we will consider in particular representations of compact groups in Hilbert spaces.

Just as with finite groups, we can define the group algebra and the convolution algebra. However, the group algebra provides no helpful information in the case of infinite groups, because the continuity condition gets lost during the construction. Instead the convolution algebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$ takes its place.

Most properties of representations of finite groups can be transferred with appropriate changes to compact groups. For this we need a counterpart to the summation over a finite group:

Existence and uniqueness of the Haar measure

On a compact group ${\displaystyle G}$ there exists exactly one measure ${\displaystyle dt,}$ such that:

• It is a left-translation-invariant measure

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.}$

• The whole group has unit measure:

${\displaystyle \int _{G}dt=1,}$

Such a left-translation-invariant, normed measure is called Haar measure of the group ${\displaystyle G.}$

Since ${\displaystyle G}$ is compact, it is possible to show that this measure is also right-translation-invariant, i.e. it also applies

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.}$

By the scaling above the Haar measure on a finite group is given by ${\displaystyle dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}}$ for all ${\displaystyle s\in G.}$

All the definitions to representations of finite groups that are mentioned in the section ”Properties”, also apply to representations of compact groups. But there are some modifications needed:

To define a subrepresentation we now need a closed subspace. This was not necessary for finite-dimensional representation spaces, because in this case every subspace is already closed. Furthermore, two representations ${\displaystyle \rho ,\pi }$ of a compact group ${\displaystyle G}$ are called equivalent, if there exists a bijective, continuous, linear operator ${\displaystyle T}$ between the representation spaces whose inverse is also continuous and which satisfies ${\displaystyle T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T}$ for all ${\displaystyle s\in G.}$

If ${\displaystyle T}$ is unitary, the two representations are called unitary equivalent.

To obtain a ${\displaystyle G}$–invariant inner product from a not ${\displaystyle G}$–invariant, we now have to use the integral over ${\displaystyle G}$ instead of the sum. If ${\displaystyle (\cdot |\cdot )}$ is an inner product on a Hilbert space ${\displaystyle V,}$ which is not invariant with respect to the representation ${\displaystyle \rho }$ of ${\displaystyle G,}$ then

${\displaystyle (v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt}$

is a ${\displaystyle G}$–invariant inner product on ${\displaystyle V}$ due to the properties of the Haar measure ${\displaystyle dt.}$ Thus, we can assume every representation on a Hilbert space to be unitary.

Let ${\displaystyle G}$ be a compact group and let ${\displaystyle s\in G.}$ Let ${\displaystyle L^{2}(G)}$ be the Hilbert space of the square integrable functions on ${\displaystyle G.}$ We define the operator ${\displaystyle L_{s}}$ on this space by ${\displaystyle L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),}$ where ${\displaystyle \Phi \in L^{2}(G),t\in G.}$

The map ${\displaystyle s\mapsto L_{s}}$ is a unitary representation of ${\displaystyle G.}$ It is called left-regular representation. The right-regular representation is defined similarly. As the Haar measure of ${\displaystyle G}$ is also right-translation-invariant, the operator ${\displaystyle R_{s}}$ on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ is given by ${\displaystyle R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).}$ The right-regular representation is then the unitary representation given by ${\displaystyle s\mapsto R_{s}.}$ The two representations ${\displaystyle s\mapsto L_{s}}$ and ${\displaystyle s\mapsto R_{s}}$ are dual to each other.

If ${\displaystyle G}$ is infinite, these representations have no finite degree. The left- and right-regular representation as defined at the beginning are isomorphic to the left- and right-regular representation as defined above, if the group ${\displaystyle G}$ is finite. This is due to the fact that in this case ${\displaystyle L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].}$

Constructions and decompositions

The different ways of constructing new representations from given ones can be used for compact groups as well, except for the dual representation with which we will deal later. The direct sum and the tensor product with a finite number of summands/factors are defined in exactly the same way as for finite groups. This is also the case for the symmetric and alternating square. However, we need a Haar measure on the direct product of compact groups in order to extend the theorem saying that the irreducible representations of the product of two groups are (up to isomorphism) exactly the tensor product of the irreducible representations of the factor groups. First, we note that the direct product ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ of two compact groups is again a compact group when provided with the product topology. The Haar measure on the direct product is then given by the product of the Haar measures on the factor groups.

For the dual representation on compact groups we require the topological dual ${\displaystyle V'}$ of the vector space ${\displaystyle V.}$ This is the vector space of all continuous linear functionals from the vector space ${\displaystyle V}$ into the base field. Let ${\displaystyle \pi }$ be a representation of a compact group ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle V.}$

The dual representation ${\displaystyle \pi ':G\to {\text{GL}}(V')}$ is defined by the property

${\displaystyle \forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v).}$

Thus, we can conclude that the dual representation is given by ${\displaystyle \pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})}$ for all ${\displaystyle v'\in V',s\in G.}$ The map ${\displaystyle \pi '}$ is again a continuous group homomorphism and thus a representation.

On Hilbert spaces: ${\displaystyle \pi }$ is irreducible if and only if ${\displaystyle \pi '}$ is irreducible.

By transferring the results of the section decompositions to compact groups, we obtain the following theorems:

Theorem. Every irreducible representation ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ of a compact group into a Hilbert space is finite-dimensional and there exists an inner product on ${\displaystyle V_{\tau }}$ such that ${\displaystyle \tau }$ is unitary. Since the Haar measure is normalized, this inner product is unique.

Every representation of a compact group is isomorphic to a direct Hilbert sum of irreducible representations.

Let ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ be a unitary representation of the compact group ${\displaystyle G.}$ Just as for finite groups we define for an irreducible representation ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ the isotype or isotypic component in ${\displaystyle \rho }$ to be the subspace

${\displaystyle V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.}$

This is the sum of all invariant closed subspaces ${\displaystyle U,}$ which are ${\displaystyle G}$–isomorphic to ${\displaystyle V_{\tau }.}$

Note that the isotypes of not equivalent irreducible representations are pairwise orthogonal.

Theorem.

(i) ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ is a closed invariant subspace of ${\displaystyle V_{\rho }.}$

(ii) ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ is ${\displaystyle G}$–isomorphic to the direct sum of copies of ${\displaystyle V_{\tau }.}$

(iii) Canonical decomposition: ${\displaystyle V_{\rho }}$ is the direct Hilbert sum of the isotypes ${\displaystyle V_{\rho }(\tau ),}$ in which ${\displaystyle \tau }$ passes through all the isomorphism classes of the irreducible representations.

The corresponding projection to the canonical decomposition ${\displaystyle p_{\tau }:V\to V(\tau ),}$ in which ${\displaystyle V(\tau )}$ is an isotype of ${\displaystyle V,}$ is for compact groups given by

${\displaystyle p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,}$

where ${\displaystyle n_{\tau }=\dim(V(\tau ))}$ and ${\displaystyle \chi _{\tau }}$ is the character corresponding to the irreducible representation ${\displaystyle \tau .}$

Projection formula

For every representation ${\displaystyle (\rho ,V)}$ of a compact group ${\displaystyle G}$ we define

${\displaystyle V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.}$

In general ${\displaystyle \rho (s):V\to V}$ is not ${\displaystyle G}$–linear. Let

${\displaystyle Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.}$

The map ${\displaystyle P}$ is defined as endomorphism on ${\displaystyle V}$ by having the property

${\displaystyle \left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,}$

which is valid for the inner product of the Hilbert space ${\displaystyle V.}$

Then ${\displaystyle P}$ is ${\displaystyle G}$–linear, because of

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}}$

where we used the invariance of the Haar measure.

Proposition. The map ${\displaystyle P}$ is a projection from ${\displaystyle V}$ to ${\displaystyle V^{G}.}$

If the representation is finite-dimensional, it is possible to determine the direct sum of the trivial subrepresentation just as in the case of finite groups.

Characters, Schur's lemma and the inner product

Generally, representations of compact groups are investigated on Hilbert- and Banach spaces. In most cases they are not finite-dimensional. Therefore, it is not useful to refer to characters when speaking about representations of compact groups. Nevertheless, in most cases it is possible to restrict the study to the case of finite dimensions:

Since irreducible representations of compact groups are finite-dimensional and unitary (see results from the first subsection), we can define irreducible characters in the same way as it was done for finite groups.

As long as the constructed representations stay finite-dimensional, the characters of the newly constructed representations may be obtained in the same way as for finite groups.

Schur's lemma is also valid for compact groups:

Let ${\displaystyle (\pi ,V)}$ be an irreducible unitary representation of a compact group ${\displaystyle G.}$ Then every bounded operator ${\displaystyle T:V\to V}$ satisfying the property ${\displaystyle T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T}$ for all ${\displaystyle s\in G,}$ is a scalar multiple of the identity, i.e. there exists ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ such that ${\displaystyle T=\lambda {\text{Id}}.}$

Definition. The formula

${\displaystyle (\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.}$

defines an inner product on the set of all square integrable functions ${\displaystyle L^{2}(G)}$ of a compact group ${\displaystyle G.}$ Likewise

${\displaystyle \langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.}$

defines a bilinear form on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ of a compact group ${\displaystyle G.}$

The bilinear form on the representation spaces is defined exactly as it was for finite groups and analogous to finite groups the following results are therefore valid:

Theorem. Let ${\displaystyle \chi }$ and ${\displaystyle \chi '}$ be the characters of two non-isomorphic irreducible representations ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle V',}$ respectively. Then the following is valid

• ${\displaystyle (\chi |\chi ')=0.}$
• ${\displaystyle (\chi |\chi )=1,}$ i.e. ${\displaystyle \chi }$ has "norm" ${\displaystyle 1.}$

Theorem. Let ${\displaystyle V}$ be a representation of ${\displaystyle G}$ with character ${\displaystyle \chi _{V}.}$ Suppose ${\displaystyle W}$ is an irreducible representation of ${\displaystyle G}$ with character ${\displaystyle \chi _{W}.}$ The number of subrepresentations of ${\displaystyle V}$ equivalent to ${\displaystyle W}$ is independent of any given decomposition for ${\displaystyle V}$ and is equal to the inner product ${\displaystyle (\chi _{V}|\chi _{W}).}$

Irreducibility Criterion. Let ${\displaystyle \chi }$ be the character of the representation ${\displaystyle V,}$ then ${\displaystyle (\chi |\chi )}$ is a positive integer. Moreover ${\displaystyle (\chi |\chi )=1}$ if and only if ${\displaystyle V}$ is irreducible.

Therefore, using the first theorem, the characters of irreducible representations of ${\displaystyle G}$ form an orthonormal set on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ with respect to this inner product.

Corollary. Every irreducible representation ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle G}$ is contained ${\displaystyle \dim(V)}$–times in the left-regular representation.

Lemma. Let ${\displaystyle G}$ be a compact group. Then the following statements are equivalent:

• ${\displaystyle G}$ is abelian.
• All the irreducible representations of ${\displaystyle G}$ have degree ${\displaystyle 1.}$

Orthonormal Property. Let ${\displaystyle G}$ be a group. The non-isomorphic irreducible representations of ${\displaystyle G}$ form an orthonormal basis in ${\displaystyle L^{2}(G)}$ with respect to this inner product.

As we already know that the non-isomorphic irreducible representations are orthonormal, we only need to verify that they generate ${\displaystyle L^{2}(G).}$ This may be done, by proving that there exists no non-zero square integrable function on ${\displaystyle G}$ orthogonal to all the irreducible characters.

Just as in the case of finite groups, the number of the irreducible representations up to isomorphism of a group ${\displaystyle G}$ equals the number of conjugacy classes of ${\displaystyle G.}$ However, because a compact group has in general infinitely many conjugacy classes, this does not provide any useful information.

The induced representation

If ${\displaystyle H}$ is a closed subgroup of finite index in a compact group ${\displaystyle G,}$ the definition of the induced representation for finite groups may be adopted.

However, the induced representation can be defined more generally, so that the definition is valid independent of the index of the subgroup ${\displaystyle H.}$

For this purpose let ${\displaystyle (\eta ,V_{\eta })}$ be a unitary representation of the closed subgroup ${\displaystyle H.}$ The continuous induced representation ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})}$ is defined as follows:

Let ${\displaystyle V_{I}}$ denote the Hilbert space of all measurable, square integrable functions ${\displaystyle \Phi :G\to V_{\eta }}$ with the property ${\displaystyle \Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)}$ for all ${\displaystyle l\in H,s\in G.}$ The norm is given by

${\displaystyle \|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|}$

and the representation ${\displaystyle I}$ is given as the right-translation: ${\displaystyle I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).}$

The induced representation is then again a unitary representation.

Since ${\displaystyle G}$ is compact, the induced representation can be decomposed into the direct sum of irreducible representations of ${\displaystyle G.}$ Note that all irreducible representations belonging to the same isotype appear with a multiplicity equal to ${\displaystyle \dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.}$

Let ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ be a representation of ${\displaystyle G,}$ then there exists a canonical isomorphism

${\displaystyle T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).}$

The Frobenius reciprocity transfers, together with the modified definitions of the inner product and of the bilinear form, to compact groups. The theorem now holds for square integrable functions on ${\displaystyle G}$ instead of class functions, but the subgroup ${\displaystyle H}$ must be closed.

The Peter-Weyl Theorem

Another important result in the representation theory of compact groups is the Peter-Weyl Theorem. It is usually presented and proven in harmonic analysis, as it represents one of its central and fundamental statements.

The Peter-Weyl Theorem. Let ${\displaystyle G}$ be a compact group. For every irreducible representation ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ of ${\displaystyle G}$ let ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}}$ be an orthonormal basis of ${\displaystyle V_{\tau }.}$ We define the matrix coefficients ${\displaystyle \tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle }$ for ${\displaystyle k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.}$ Then we have the following orthonormal basis of ${\displaystyle L^{2}(G)}$:

${\displaystyle \left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}}$

We can reformulate this theorem to obtain a generalization of the Fourier series for functions on compact groups:

The Peter-Weyl Theorem (Second version).^[7] There exists a natural ${\displaystyle G\times G}$–isomorphism

${\displaystyle L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}}$

in which ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ is the set of all irreducible representations of ${\displaystyle G}$ up to isomorphism and ${\displaystyle V_{\tau }}$ is the representation space corresponding to ${\displaystyle \tau .}$ More concretely:

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}}$

History

The general features of the representation theory of a finite group G, over the complex numbers, were discovered by Ferdinand Georg Frobenius in the years before 1900. Later the modular representation theory of Richard Brauer was developed.

See also

• Character theory
• Real representation
• Schur orthogonality relations
• McKay conjecture
• Burnside ring

Literature

• Bonnafé, Cedric (2010). Representations of SL2(Fq). Algebra and Applications. Vol. 13. Springer. ISBN 9780857291578.
• Bump, Daniel (2004), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 225, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
• [1] Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6
• [2] Fulton, William; Harris, Joe: Teoría de la representación: un primer curso. Springer-Verlag, Nueva York 1991, ISBN 0-387-97527-6 . 
• [3] Alperin, JL; Bell, Rowen B.: Grupos y representaciones Springer-Verlag, Nueva York 1995, ISBN 0-387-94525-3 . 
• [4] Deitmar, Anton: Automorphe Formen Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-12389-4 , pág. 89-93,185-189 
• [5] Echterhoff, Sigfrido; Deitmar, Anton: Principios del análisis armónico Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7 , p. 127-150 
• [6] Lang, Serge: Algebra Springer-Verlag, Nueva York 2002, ISBN 0-387-95385-X , p. 663-729 
• [7] Sengupta, Ambar (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. ISBN 9781461412311.OCLC 769756134  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Referencias

1. (Serre 1977, pág. 47)
2. (Sengupta 2012, pág. 62)
3. Demostración. Supongamos que es distinto de cero. Entonces es válido para todos Por lo tanto, obtenemos para todos y Y sabemos ahora, que es –invariante. Dado que es irreducible y concluimos Ahora sea Esto significa que existe tal que y tenemos Por lo tanto, deducimos que es un subespacio –invariante. Dado que es distinto de cero y es irreducible, tenemos Por lo tanto, es un isomorfismo y se demuestra la primera afirmación. Supongamos ahora que Dado que nuestro cuerpo base es sabemos que tiene al menos un valor propio Sea entonces y tenemos para todos Según las consideraciones anteriores esto solo es posible, si es decir ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0}$ ${\displaystyle u\in \ker(F).}$ ${\displaystyle \rho _{1}(s)u\in \ker(F)}$ ${\displaystyle s\in G}$ ${\displaystyle u\in \ker(F).}$ ${\displaystyle \ker(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle F\neq 0,}$ ${\displaystyle \ker(F)=0.}$ ${\displaystyle y\in {\text{Im}}(F).}$ ${\displaystyle v\in V_{1},}$ ${\displaystyle Fv=y,}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(F)=V_{2}.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle F'=F-\lambda ,}$ ${\displaystyle \ker(F')\neq 0}$ ${\displaystyle \rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)}$ ${\displaystyle s\in G.}$ ${\displaystyle F'=0,}$ ${\displaystyle F=\lambda .}$
4. Algunos autores definen el personaje como , pero esta definición no se utiliza en este artículo. ${\displaystyle \chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),}$
5. utilizando la acción de G sobre sí misma dada por ${\displaystyle G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G}$
6. Una prueba de este teorema se puede encontrar en [1].
7. Una prueba de este teorema y más información sobre la teoría de representación de grupos compactos se puede encontrar en [5].