clasificación de Wigner

Clasificación de representaciones irreductibles del grupo Poincaré

En matemáticas y física teórica , la clasificación de Wigner es una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles de energía no negativa del grupo de Poincaré que tienen valores propios de masa finitos o cero . (Estas representaciones unitarias son de dimensión infinita; el grupo no es semisimple y no satisface el teorema de Weyl sobre la reducibilidad completa ). Fue introducido por Eugene Wigner para clasificar partículas y campos en física; consulte el artículo Física de partículas y teoría de representaciones . Se basa en los subgrupos estabilizadores de ese grupo, denominados pequeños grupos de Wigner de varios estados de masas. ${\displaystyle ~(~E\geq 0~)~}$

Las invariantes de Casimir del grupo de Poincaré son ( notación de Einstein ) donde P es el operador de 4 momentos y donde W es el pseudovector de Pauli-Lubanski . Los valores propios de estos operadores sirven para etiquetar las representaciones. El primero está asociado a la masa al cuadrado y el segundo a la helicidad o espín . ${\displaystyle ~C_{1}=P^{\mu }\,P_{\mu }~,}$ ${\displaystyle ~C_{2}=W^{\alpha }\,W_{\alpha }~,}$

Las representaciones físicamente relevantes pueden así clasificarse según si

• ${\displaystyle ~m>0~;}$
• ${\displaystyle ~m=0~}$pero o si ${\displaystyle ~P_{0}>0~;\quad }$
• ${\displaystyle ~m=0~}$con ${\displaystyle ~P^{\mu }=0~,{\text{ for }}\mu =0,1,2,3~.}$

Wigner descubrió que las partículas sin masa son fundamentalmente diferentes de las partículas masivas.

Para el primer caso

Tenga en cuenta que el espacio propio (ver espacios propios generalizados de operadores ilimitados ) asociado con es una representación de SO(3) . ${\displaystyle ~P=(m,0,0,0)~}$

En la interpretación del rayo , se puede pasar a Spin(3) en su lugar. Entonces, los estados masivos se clasifican mediante una representación unitaria de Spin(3) irreducible que caracteriza su spin , y una masa positiva, m .

Para el segundo caso

Mira el estabilizador de

${\displaystyle ~P=(k,0,0,-k)~.}$

Esta es la doble cobertura de SE(2) (ver representación proyectiva ). Tenemos dos casos, uno en el que los irreps se describen mediante un múltiplo integral de1/2llamada helicidad , y el otro llamado representación de "giro continuo".

Para el tercer caso

La única solución unitaria de dimensión finita es la representación trivial llamada vacío .

Campos escalares masivos

Como ejemplo, visualicemos la representación unitaria irreducible con y Corresponde al espacio de campos escalares masivos . ${\displaystyle ~m>0~,}$ ${\displaystyle ~s=0~.}$

Sea M la lámina hiperboloide definida por:

${\displaystyle ~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~P_{0}>0~.}$

La métrica de Minkowski se restringe a una métrica de Riemann en M , dando a M la estructura métrica de un espacio hiperbólico , en particular es el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico, ver geometría del espacio de Minkowski para prueba. El grupo de Poincaré P actúa sobre M porque (olvidando la acción del subgrupo de traducción ℝ ⁴ con suma dentro de P ) conserva el producto interno de Minkowski , y un elemento x del subgrupo de traducción ℝ ⁴ del grupo de Poincaré actúa multiplicando por adecuado multiplicadores de fase donde Estas dos acciones se pueden combinar de una manera inteligente usando representaciones inducidas para obtener una acción de P actuando que combina movimientos de M y multiplicación de fase. ${\displaystyle ~L^{2}(M)~}$ ${\displaystyle ~\exp \left(-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,}$ ${\displaystyle ~p\in M~.}$ ${\displaystyle ~L^{2}(M)~,}$

Esto produce una acción del grupo de Poincaré sobre el espacio de funciones integrables al cuadrado definidas en la hipersuperficie M en el espacio de Minkowski. Estas pueden verse como medidas definidas en el espacio de Minkowski que se concentran en el conjunto M definido por

${\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$ ${\displaystyle ~E~\equiv ~P_{0}>0~.}$

La transformada de Fourier (en las cuatro variables) de tales medidas produce soluciones de energía positiva, ^{[ se necesita aclaración ]} de energía finita de la ecuación de Klein-Gordon definida en el espacio de Minkowski, a saber

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,}$

sin unidades físicas. De esta manera, la representación irreductible del grupo de Poincaré se realiza mediante su acción sobre un espacio adecuado de soluciones de una ecuación de onda lineal. ${\displaystyle ~m>0,\quad s=0~}$

La teoría de las representaciones proyectivas.

Físicamente, uno está interesado en las representaciones unitarias proyectivas irreductibles del grupo de Poincaré. Después de todo, dos vectores en el espacio cuántico de Hilbert que difieren por la multiplicación por una constante representan el mismo estado físico. Así, dos operadores unitarios que difieren en un múltiplo de la identidad tienen la misma acción sobre los estados físicos. Por lo tanto, los operadores unitarios que representan la simetría de Poincaré sólo se definen hasta una constante y, por tanto, la ley de composición de grupos sólo necesita ser válida hasta una constante.

Según el teorema de Bargmann , toda representación unitaria proyectiva del grupo de Poincaré proviene de una representación unitaria ordinaria de su cobertura universal, que es una doble cobertura. (El teorema de Bargmann se aplica porque la doble cobertura del grupo de Poincaré no admite extensiones centrales unidimensionales no triviales ).

Pasar a la doble cubierta es importante porque permite casos de giro medio entero impar. En el caso de masa positiva, por ejemplo, el pequeño grupo es SU(2) en lugar de SO(3); las representaciones de SU (2) incluyen casos de espín tanto entero como semientero impar.

Dado que el criterio general del teorema de Bargmann no se conocía cuando Wigner hizo su clasificación, necesitaba demostrar manualmente (§5 del artículo) que las fases se pueden elegir en los operadores para reflejar la ley de composición en el grupo, hasta un signo, que luego se contabiliza pasando a la doble portada del grupo Poincaré.

Clasificación adicional

Quedan fuera de esta clasificación las soluciones taquiónicas , las soluciones sin masa fija, las infrapartículas sin masa fija, etc. Tales soluciones son de importancia física cuando se consideran estados virtuales. Un ejemplo célebre es el caso de la dispersión inelástica profunda , en la que se intercambia un fotón virtual similar al espacio entre el leptón entrante y el hadrón entrante . Esto justifica la introducción de fotones polarizados transversal y longitudinalmente, y del concepto relacionado de funciones estructurales transversales y longitudinales, al considerar estos estados virtuales como sondas efectivas del contenido interno de quarks y gluones de los hadrones. Desde un punto de vista matemático, se considera el grupo SO(2,1) en lugar del grupo SO(3) habitual que se encuentra en el caso masivo habitual discutido anteriormente. Esto explica la aparición de dos vectores de polarización transversal y que satisfacen y deben compararse con el caso habitual de un bosón libre que tiene tres vectores de polarización, cada uno de los cuales satisface ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{L}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{L}^{2}=+1~,}$ ${\displaystyle ~Z_{0}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~.}$

Ver también

• representación inducida
• Teoría de la representación del grupo difeomorfismo.
• Teoría de la representación del grupo galileano.
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Sistema de imprimitividad
• Pseudovector de Pauli-Lubanski

Referencias

• Bargmann, V .; Wigner, EP (1948). "Discusión teórica grupal de ecuaciones de ondas relativistas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 34 (5): 211–223. Código bibliográfico : 1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.

• Mackey, George (1978). Representaciones de grupos unitarios en física, probabilidad y teoría de números . Serie de notas de conferencias de matemáticas. vol. 55. Compañía editorial Benjamin/Cummings . ISBN 978-0805367034.

• Sternberg, Shlomo (1994). "§3.9. Clasificación de Wigner". Teoría de grupos y física . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521248709.

• Tung, Wu-Ki (1985). "Capítulo 10. Representaciones del grupo de Lorentz y del grupo de Poincaré; clasificación de Wigner". Teoría de grupos en Física . Compañía editorial científica mundial . ISBN 978-9971966577.

• Weinberg, S. (2002). "Capítulo 2. Mecánica cuántica relativista". La teoría cuántica de campos . vol. I. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55001-7.

• Wigner, EP (1939). "Sobre representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz". Anales de Matemáticas . 40 (1): 149–204. Código Bib : 1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. SEÑOR  1503456. S2CID  121773411.