Grupo de Poincaré

Grupo de simetrías del espacio-tiempo plano

Henri Poincaré

El grupo de Poincaré , llamado así en honor a Henri Poincaré (1905), ^[1] fue definido por primera vez por Hermann Minkowski (1908) como el grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski . ^{[2] [3]} Es un grupo de Lie no abeliano de diez dimensiones que es importante como modelo en nuestra comprensión de los fundamentos más básicos de la física .

Descripción general

El grupo de Poincaré está formado por todas las transformaciones de coordenadas del espacio de Minkowski que no modifican el intervalo espacio-temporal entre los acontecimientos . Por ejemplo, si todo se retrasara dos horas, incluidos los dos acontecimientos y el camino que tomaste para ir de uno al otro, entonces el intervalo de tiempo entre los acontecimientos registrado por un cronómetro que llevaras contigo sería el mismo. O si todo se desplazara cinco kilómetros hacia el oeste, o se girara 60 grados a la derecha, tampoco verías ningún cambio en el intervalo. Resulta que la longitud propia de un objeto tampoco se ve afectada por tal desplazamiento.

En total, existen diez grados de libertad para tales transformaciones. Se pueden considerar como traslaciones a través del tiempo o el espacio (cuatro grados, uno por dimensión); reflexión a través de un plano (tres grados, la libertad en la orientación de este plano); o un " impulso " en cualquiera de las tres direcciones espaciales (tres grados). La composición de las transformaciones es la operación del grupo de Poincaré, y las rotaciones se producen como la composición de un número par de reflexiones.

En física clásica , el grupo galileano es un grupo comparable de diez parámetros que actúa sobre el tiempo y el espacio absolutos . En lugar de impulsos, presenta aplicaciones de corte para relacionar marcos de referencia que se mueven en conjunto.

En la relatividad general , es decir, bajo los efectos de la gravedad , la simetría de Poincaré se aplica sólo localmente. El tratamiento de las simetrías en la relatividad general no está dentro del alcance de este artículo.

Simetría de Poincaré

La simetría de Poincaré es la simetría completa de la relatividad especial . Incluye:

• traducciones (desplazamientos) en el tiempo y el espacio, formando el grupo de Lie abeliano de traducciones espaciotemporales ( P );
• rotaciones en el espacio, formando el grupo de Lie no abeliano de rotaciones tridimensionales ( J );
• Impulsos , transformaciones que conectan dos cuerpos en movimiento uniforme ( K ).

Las dos últimas simetrías, J y K , forman juntas el grupo de Lorentz (véase también invariancia de Lorentz ); el producto semidirecto del grupo de traslaciones del espacio-tiempo y el grupo de Lorentz produce entonces el grupo de Poincaré. Los objetos que son invariantes bajo este grupo se dice entonces que poseen invariancia de Poincaré o invariancia relativista .

10 generadores (en cuatro dimensiones del espacio-tiempo) asociados a la simetría de Poincaré, por el teorema de Noether , implican 10 leyes de conservación: ^{[4] [5]}

• 1 para la energía – asociada con las traducciones a través del tiempo
• 3 para el impulso – asociado con las traducciones a través de dimensiones espaciales
• 3 para el momento angular – asociado con rotaciones entre dimensiones espaciales
• 3 para una cantidad que involucra la velocidad del centro de masa, asociada con rotaciones hiperbólicas entre cada dimensión espacial y el tiempo

Grupo de Poincaré

El grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski . Es un grupo de Lie no compacto de diez dimensiones. El grupo abeliano de cuatro dimensiones de las traslaciones del espacio-tiempo es un subgrupo normal , mientras que el grupo de Lorentz de seis dimensiones también es un subgrupo, el estabilizador del origen. El propio grupo de Poincaré es el subgrupo mínimo del grupo afín que incluye todas las traslaciones y transformaciones de Lorentz . Más precisamente, es un producto semidirecto del grupo de traslaciones del espacio-tiempo y el grupo de Lorentz.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

con multiplicación de grupos

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Otra forma de decirlo es que el grupo de Poincaré es una extensión del grupo de Lorentz mediante una representación vectorial del mismo; a veces se lo denomina, informalmente, como el grupo de Lorentz no homogéneo . A su vez, también se lo puede obtener como una contracción del grupo del grupo de De Sitter SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) , ya que el radio de De Sitter tiende al infinito.

Sus representaciones irreducibles unitarias de energía positiva están indexadas por masa (número no negativo) y espín ( número entero o semientero) y están asociadas con partículas en la mecánica cuántica (ver clasificación de Wigner ).

De acuerdo con el programa de Erlangen , la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo de Poincaré: El espacio de Minkowski se considera como un espacio homogéneo para el grupo.

En la teoría cuántica de campos , la cobertura universal del grupo de Poincaré

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

que puede identificarse con la doble cubierta

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

es más importante, porque las representaciones de no son capaces de describir campos con espín 1/2; es decir, fermiones . Aquí está el grupo de matrices complejas con determinante unitario, isomorfo al grupo de espín de la firma de Lorentz . ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$

Álgebra de Poincaré

El álgebra de Poincaré es el álgebra de Lie del grupo de Poincaré. Es una extensión del álgebra de Lie del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Más específicamente, la parte propia ( ), ortócrona ( ) del subgrupo de Lorentz (su componente identidad ), , está conectada con la identidad y, por lo tanto, se proporciona mediante la exponenciación de esta álgebra de Lie . En forma de componente, el álgebra de Poincaré está dada por las relaciones de conmutación: ^{[7] [8]} ${\textstyle \det \Lambda =1}$ ${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$ ${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$ ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}$

donde es el generador de traslaciones, es el generador de transformaciones de Lorentz y es la métrica de Minkowski (ver Convención de signos ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

Diagrama de la estructura de conmutación del álgebra de Poincaré. Los bordes del diagrama conectan generadores con conmutadores distintos de cero.

La relación de conmutación inferior es el grupo de Lorentz ("homogéneo"), que consta de rotaciones, , y refuerzos, . En esta notación, toda el álgebra de Poincaré se puede expresar en un lenguaje no covariante (pero más práctico) como ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

donde el conmutador de línea inferior de dos impulsos se denomina a menudo "rotación de Wigner". La simplificación permite la reducción de la subálgebra de Lorentz a y el tratamiento eficiente de sus representaciones asociadas . En términos de los parámetros físicos, tenemos ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

Los invariantes de Casimir de esta álgebra son y donde es el pseudovector de Pauli-Lubanski ; sirven como etiquetas para las representaciones del grupo. ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }}$

El grupo de Poincaré es el grupo de simetría completo de cualquier teoría de campos relativista . Como resultado, todas las partículas elementales caen en representaciones de este grupo . Estos suelen especificarse por el cuadrado de cuatro momentos de cada partícula (es decir, su masa al cuadrado) y los números cuánticos intrínsecos , donde es el número cuántico de espín , es la paridad y es el número cuántico de conjugación de carga . En la práctica, la conjugación de carga y la paridad son violadas por muchas teorías cuánticas de campos ; cuando esto ocurre, y se pierden. Dado que la simetría CPT es invariante en la teoría cuántica de campos, se puede construir un número cuántico de inversión temporal a partir de los dados. ${\textstyle J^{PC}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Como espacio topológico , el grupo tiene cuatro componentes conectados: el componente de la identidad; el componente invertido en el tiempo; el componente de inversión espacial; y el componente que está invertido en el tiempo y en el espacio. ^[9]

Otras dimensiones

Las definiciones anteriores se pueden generalizar a dimensiones arbitrarias de manera sencilla. El grupo de Poincaré de dimensión d se define de manera análoga mediante el producto semidirecto

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

con la multiplicación análoga

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

El álgebra de Lie conserva su forma, con índices µ y ν que ahora toman valores entre 0 y d − 1. La representación alternativa en términos de J _i y K _i no tiene análogo en dimensiones superiores.

Véase también

• Grupo euclidiano
• Grupo galileano
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Clasificación de Wigner
• Simetría en mecánica cuántica
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Física de partículas y teoría de la representación
• Partícula de espín continuo
• álgebra superpoincaré

Notas

1. Poincaré, Henri (14 de diciembre de 1905), "Sur la dynamique de l'électron"  , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Bibcode : 1906RCMP...21..129P, doi : 10.1007/ bf03013466, hdl :2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823( Traducción de Wikisource : Sobre la dinámica del electrón). El grupo definido en este artículo se describiría ahora como el grupo homogéneo de Lorentz con multiplicadores escalares.
2. Minkowski, Hermann, "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern"  , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Traducción de Wikisource: Las ecuaciones fundamentales para los procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento).
3. Minkowski, Hermann, "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
4. "Estudio de las leyes de simetría y conservación: más Poincaré" (PDF) . frankwilczek.com . Consultado el 14 de febrero de 2021 .
5. Barnett, Stephen M (1 de junio de 2011). "Sobre los seis componentes del momento angular óptico". Journal of Optics . 13 (6): 064010. Bibcode :2011JOpt...13f4010B. doi :10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN  2040-8978. S2CID  55243365.
6. Oblak, Blagoje (1 de agosto de 2017). Partículas BMS en tres dimensiones. Springer. pág. 80. ISBN 9783319618784.
7. NN Bogolubov (1989). Principios generales de la teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Springer. pág. 272. ISBN 0-7923-0540-X.
8. T. Ohlsson (2011). Física cuántica relativista: de la mecánica cuántica avanzada a la teoría cuántica de campos introductoria. Cambridge University Press. pág. 10. ISBN 978-1-13950-4324.
9. "Temas: Grupo de Poincaré". www.phy.olemiss.edu . Consultado el 18 de julio de 2021 .

Referencias

• Wu-Ki Tung (1985). Teoría de grupos en física . World Scientific Publishing. ISBN 9971-966-57-3.
• Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . Vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55001-7.
• LH Ryder (1996). Teoría cuántica de campos (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 62. ISBN 0-52147-8146.