Mapa exponencial (teoría de la mentira)

En la teoría de grupos de Lie , el mapa exponencial es un mapa del álgebra de Lie de un grupo de Lie al grupo, que permite recuperar la estructura del grupo local del álgebra de Lie. La existencia del mapa exponencial es una de las razones principales por las que las álgebras de Lie son una herramienta útil para estudiar grupos de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial de la aplicación exponencial cuando es el grupo multiplicativo de números reales positivos (cuyo álgebra de Lie es el grupo aditivo de todos los números reales). El mapa exponencial de un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria; sin embargo, también difiere en muchos aspectos importantes. ${\displaystyle G}$

Definiciones

Sea un grupo de Lie y su álgebra de Lie (considerado como el espacio tangente al elemento identidad de ). El mapa exponencial es un mapa. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

que se puede definir de varias maneras diferentes. La definición moderna típica es esta:

Definición : El exponencial de está dado por donde ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

es el único subgrupo de un parámetro cuyo vector tangente en la identidad es igual a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

De la regla de la cadena se deduce fácilmente que . El mapa se puede construir como la curva integral del campo vectorial invariante a la derecha o a la izquierda asociado con . Que la curva integral existe para todos los parámetros reales se desprende de la traducción hacia la derecha o hacia la izquierda de la solución cerca de cero. ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$

Tenemos una definición más concreta en el caso de una matriz de grupo de Lie . El mapa exponencial coincide con la matriz exponencial y viene dado por la expansión de la serie ordinaria:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$,

¿ Dónde está la matriz identidad ? Por lo tanto, en el contexto de grupos matriciales de Lie, el mapa exponencial es la restricción de la matriz exponencial al álgebra de Lie de . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Comparación con el mapa exponencial de Riemann

Si G es compacto, tiene una invariante métrica de Riemann bajo traslaciones izquierda y derecha, y el mapa exponencial de la teoría de Lie para G coincide con el mapa exponencial de esta métrica de Riemann .

Para un G general , no existirá una invariante métrica de Riemann en las traslaciones hacia la izquierda y hacia la derecha. Aunque siempre hay una invariante métrica de Riemann bajo, digamos, traslaciones a la izquierda, el mapa exponencial en el sentido de la geometría de Riemann para una métrica invariante a la izquierda en general no concordará con el mapa exponencial en el sentido del grupo de Lie. Es decir, si G es un grupo de Lie equipado con una métrica invariante hacia la izquierda pero no hacia la derecha, las geodésicas a través de la identidad no serán subgrupos de un parámetro de G ^{[ cita necesaria ]} .

Otras definiciones

Otras definiciones equivalentes del exponencial del grupo de Lie son las siguientes:

• Es el mapa exponencial de una conexión afín canónica invariante a la izquierda en G , de modo que el transporte paralelo viene dado por traducción a la izquierda. Es decir, ¿ dónde está la única geodésica con el punto inicial en el elemento identidad y la velocidad inicial X (pensada como un vector tangente)? ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• Es el mapa exponencial de una conexión afín canónica invariante a la derecha en G . Esto suele ser diferente de la conexión canónica invariante por la izquierda, pero ambas conexiones tienen las mismas geodésicas (órbitas de subgrupos de 1 parámetro que actúan mediante multiplicación por la izquierda o por la derecha), por lo que dan el mismo mapa exponencial.
• La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie también da la definición: para X en , es el único homomorfismo del grupo de Lie correspondiente al homomorfismo del álgebra de Lie (nota: .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle t\mapsto tX.}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Ejemplos

• El círculo unitario centrado en 0 en el plano complejo es un grupo de Lie (llamado grupo de círculos ) cuyo espacio tangente en 1 se puede identificar con la línea imaginaria en el plano complejo. El mapa exponencial para este grupo de Lie viene dado por ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

es decir, la misma fórmula que la exponencial compleja ordinaria .

• De manera más general, para toros complejos ^{[1] pg 8} para alguna red integral de rango (tan isomorfa ) el toro viene equipado con un mapa de cobertura universal ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\to X}$

del cociente por la red. Dado que es localmente isomorfo a variedades complejas , podemos identificarlo con el espacio tangente y el mapa ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}X}$

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

Corresponde al mapa exponencial del grupo de Lie complejo . ${\displaystyle X}$

• En los cuaterniones , el conjunto de cuaterniones de longitud unitaria forma un grupo de Lie (isomorfo al grupo unitario especial SU (2) ) cuyo espacio tangente en 1 puede identificarse con el espacio de cuaterniones puramente imaginarios. El mapa exponencial para este grupo de Lie es dado por ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle \mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Este mapa lleva las 2 esferas de radio R dentro de los cuaterniones puramente imaginarios a , una 2 esferas de radio (cf. Exponencial de un vector de Pauli ). Compare esto con el primer ejemplo anterior. ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$ ${\displaystyle \sin(R)}$

• Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y considérelo como un grupo de Lie bajo la operación de suma de vectores. Luego, mediante la identificación de V con su espacio tangente en 0, y el mapa exponencial ${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}$

es el mapa de identidad, es decir, . ${\displaystyle \exp(v)=v}$

• En el plano de números complejos divididos, la línea imaginaria forma el álgebra de Lie del grupo de hipérbola unitaria , ya que el mapa exponencial está dado por ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

Propiedades

Propiedades elementales de la exponencial.

Para todos , el mapa es el único subgrupo de un parámetro cuyo vector tangente en la identidad es . Resulta que: ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,}$

Más generalmente:

• ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0}$.

Es importante enfatizar que la identidad anterior no se cumple en general; la suposición de que y viajar es importante. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La imagen del mapa exponencial siempre se encuentra en el componente identidad de . ${\displaystyle G}$

La exponencial cercana a la identidad.

El mapa exponencial es un mapa suave . Su diferencial en cero, , es el mapa de identidad (con las identificaciones habituales). ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Del teorema de la función inversa se deduce que la aplicación exponencial, por lo tanto, se restringe a un difeomorfismo desde una vecindad de 0 pulg a una vecindad de 1 pulg . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Entonces no es difícil demostrar que si G es conexo, cada elemento g de G es producto de exponenciales de elementos de : ^[3] . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$

A nivel global, el mapa exponencial no es necesariamente sobreyectivo. Además, el mapa exponencial puede no ser un difeomorfismo local en todos los puntos. Por ejemplo, el mapa exponencial de (3) a SO(3) no es un difeomorfismo local; véase también el lugar de corte sobre este fracaso. Consulte la derivada del mapa exponencial para obtener más información. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Suryectividad de lo exponencial

En estos importantes casos especiales, se sabe que el mapa exponencial siempre es sobreyectivo:

• G es conectado y compacto, ^[4]
• G es conexo y nilpotente (por ejemplo, G conexo y abeliano), o
• ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )}$. ^[5]

Para grupos que no satisfacen ninguna de las condiciones anteriores, el mapa exponencial puede ser sobreyectivo o no.

La imagen del mapa exponencial del grupo conectado pero no compacto SL ₂ ( R ) no es el grupo completo. Su imagen consta de matrices C -diagonalizables con valores propios positivos o con módulo 1, y de matrices no diagonalizables con un valor propio repetido 1, y la matriz . (Por lo tanto, la imagen excluye matrices con valores propios negativos reales, distintos de .) ^[6] ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle -I}$

Mapa exponencial y homomorfismos.

Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea su derivada en la identidad. Entonces el siguiente diagrama conmuta : ^[7] ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

En particular, cuando se aplica a la acción adjunta de un grupo de Lie , desde , tenemos la identidad útil: ^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots }$.

Coordenadas logarítmicas

Dado un grupo de Lie con álgebra de Lie , cada elección de una base de determina un sistema de coordenadas cerca del elemento de identidad e para G , de la siguiente manera. Según el teorema de la función inversa , la aplicación exponencial es un difeomorfismo desde alguna vecindad del origen hasta una vecindad de . Su inverso: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e\in G}$

${\displaystyle \log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}}$

es entonces un sistema de coordenadas en U . Se le llama con varios nombres como coordenadas logarítmicas, coordenadas exponenciales o coordenadas normales. Consulte el teorema del subgrupo cerrado para ver un ejemplo de cómo se utilizan en las aplicaciones.

Observación : La cubierta abierta proporciona una estructura de una variedad analítica real a G tal que la operación del grupo es analítica real. ^[9] ${\displaystyle \{Ug|g\in G\}}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$

Ver también

• Lista de temas exponenciales
• Derivada del mapa exponencial
• Matriz exponencial

Citas

1. Birkenhake, Cristina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC  851380558.
2. Salón 2015 Corolario 3.44
3. Salón 2015 Corolario 3.47
4. Salón 2015 Corolario 11.10
5. Salón 2015 Ejercicios 2.9 y 2.10
6. Salón 2015 Ejercicio 3.22
7. Teorema 3.28 de Hall 2015
8. Propuesta 3.35 del Salón 2015
9. Kobayashi y Nomizu 1996, pág. 43.

Trabajos citados

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 34, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-2848-9, señor  1834454.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• "Mapeo exponencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]