Derivada del mapa exponencial

Fórmula en la teoría de grupos de Lie

En 1899, las investigaciones de Henri Poincaré sobre la multiplicación de grupos en términos algebraicos de Lie lo llevaron a la formulación del álgebra envolvente universal . ^[1]

En la teoría de grupos de Lie , la función exponencial es una función del álgebra de Lie g de un grupo de Lie G en G. En el caso de que G sea un grupo de Lie matricial , la función exponencial se reduce a la función exponencial matricial . La función exponencial, denotada exp: g → G , es analítica y tiene como tal una derivada ⁠d/es⁠ exp( X ( t )):T g → T G , donde X ( t ) es un camino C ¹ en el álgebra de Lie, y una diferencial estrechamente relacionada d exp:T g → T G . ^[2]

La fórmula para d exp fue demostrada por primera vez por Friedrich Schur (1891). ^[3] Posteriormente fue elaborada por Henri Poincaré (1899) en el contexto del problema de expresar la multiplicación de grupos de Lie utilizando términos algebraicos de Lie. ^[4] También se la conoce a veces como fórmula de Duhamel .

La fórmula es importante tanto en matemáticas puras como aplicadas. Se utiliza en demostraciones de teoremas como la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff , y se utiliza con frecuencia en física ^[5], por ejemplo, en la teoría cuántica de campos , como en la expansión de Magnus en la teoría de perturbaciones y en la teoría de calibración de redes .

En todo momento, las notaciones exp( X ) y e ^X se usarán indistintamente para denotar la exponencial dada una argumento, excepto cuando, como se indicó, las notaciones tengan significados distintos . La notación de estilo de cálculo se prefiere aquí para una mejor legibilidad en las ecuaciones. Por otro lado, el estilo exp a veces es más conveniente para ecuaciones en línea y es necesario en las raras ocasiones en las que hay que hacer una distinción real.

Declaración

La derivada del mapa exponencial está dada por ^[6]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.}$               (1)

Explicación

• X = X ( t ) es una trayectoria C ¹ (continuamente diferenciable) en el álgebra de Lie con derivada X ′( t ) = ⁠dX ( t )/esEl argumento t se omite cuando no es necesario .
• ad _X es la transformación lineal del álgebra de Lie dada por ad _X ( Y ) = [ X , Y ] . Es la acción adjunta de un álgebra de Lie sobre sí misma.
• La fracción ⁠1 − exp(−ad _X )/anuncio _X⁠ viene dada por la serie de potencias derivado de la serie de potencias del mapa exponencial de un endomorfismo lineal, como en la exponenciación matricial. ^[6]
• Cuando G es un grupo de Lie de matrices, todas las apariciones de la exponencial se dan mediante su expansión en serie de potencias.
• Cuando G no es un grupo de Lie de matrices ,1 − exp(−ad _X )/anuncio _X⁠ todavía se da por su serie de potencias ( 2 ), mientras que las otras dos apariciones de exp en la fórmula, que ahora son la función exponencial en la teoría de Lie , se refieren al flujo en el tiempo uno del campo vectorial invariante por la izquierda X , es decir, elemento del álgebra de Lie tal como se define en el caso general, en el grupo de Lie G visto como una variedad analítica . Esto todavía equivale exactamente a la misma fórmula que en el caso de la matriz. La multiplicación por la izquierda de un elemento del álgebra g por un elemento exp( X ( t )) del grupo de Lie se interpreta como la aplicación de la diferencial de la traslación por la izquierda dL _{exp( X ( t ))} .
• La fórmula se aplica al caso en que exp se considera como una función en el espacio matricial sobre ℝ o C , véase exponencial matricial . Cuando G = GL( n , C ) o GL( n , R ) , las nociones coinciden exactamente.

Para calcular la diferencial d exp de exp en X , d exp _X : T g _X → T G _{exp( X )} , se sigue la receta estándar ^[2]

${\displaystyle d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right|_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y}$

Se emplea con Z ( t ) = X + tY el resultado ^[6]

se sigue inmediatamente de (1) . En particular, d exp ₀ :T g ₀ → T G _exp(0) = T G _e es la identidad porque T g _X ≃ g (ya que g es un espacio vectorial) y T G _e ≃ g .

Prueba

La prueba que se da a continuación supone un grupo de Lie matricial. Esto significa que la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie matricial está dada por la serie de potencias habitual, es decir, la exponenciación matricial. La conclusión de la prueba sigue siendo válida en el caso general, siempre que cada aparición de exp se interprete correctamente. Véanse los comentarios sobre el caso general a continuación.

El esquema de la prueba hace uso de la técnica de diferenciación con respecto a s de la expresión parametrizada.

${\displaystyle \Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}}$

para obtener una ecuación diferencial de primer orden para Γ que luego se puede resolver mediante integración directa en s . La solución es entonces e ^X Γ(1, t) .

Lema

Sea Ad la acción adjunta del grupo en su álgebra de Lie. La acción está dada por Ad _A X = AXA ⁻¹ para A ∈ G , X ∈ g . Una relación frecuentemente útil entre Ad y ad está dada por ^{[7] [nb 1]}

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.}$               (4)

Prueba

Utilizando la regla del producto dos veces se encuentra que:

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)}+e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX}{dt}}e^{sX}.}$

Entonces se observa que

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',}$

por (4) arriba. La integración da como resultado

${\displaystyle \Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.}$

Utilizando la serie de potencias formales para expandir la exponencial, integrando término por término y finalmente reconociendo ( 2 ),

${\displaystyle \Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}},}$

y el resultado se desprende de ello. La prueba, tal como se presenta aquí, es esencialmente la que se da en Rossmann (2002). Una prueba con un toque más algebraico se puede encontrar en Hall (2015). ^[8]

Comentarios sobre el caso general

La fórmula en el caso general está dada por ^[9]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',}$

donde ^{[nb 2]}

${\displaystyle \phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1}{3!}}z^{2}+\cdots ,}$

que formalmente se reduce a

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.}$

Aquí se utiliza la notación exp para la aplicación exponencial del álgebra de Lie y la notación de estilo de cálculo en la fracción indica la expansión de la serie formal habitual. Para obtener más información y dos demostraciones completas en el caso general, consulte la referencia de Sternberg (2004) disponible gratuitamente.

Un argumento formal directo

Una forma inmediata de ver cuál debe ser la respuesta, siempre que exista, es la siguiente. La existencia debe demostrarse por separado en cada caso. Mediante la diferenciación directa de la definición de límite estándar de la exponencial e intercambiando el orden de la diferenciación y el límite,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N-k}{\frac {1}{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{aligned}}}$

donde cada factor debe su lugar a la no conmutatividad de X ( t ) y X ´( t ) .

Dividiendo el intervalo unitario en N secciones Δ s = ⁠Δk​/norte⁠ ( Δ k = 1 ya que los índices de suma son enteros) y dejando N → ∞, Δ k → dk , ⁠a/norte⁠ → s , Σ → ∫ produce

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Comportamiento local del mapa exponencial

El teorema de la función inversa junto con la derivada de la función exponencial proporciona información sobre el comportamiento local de exp . Cualquier función C ^k , 0 ≤ k ≤ ∞, ω f entre espacios vectoriales (aquí considerando primero los grupos de Lie de matrices) tiene una función C ^k inversa tal que f es una biyección C ^k en un conjunto abierto alrededor de un punto x en el dominio siempre que df _x sea invertible. De ( 3 ) se deduce que esto sucederá precisamente cuando

${\displaystyle {\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}}$

es invertible. Esto, a su vez, sucede cuando los valores propios de este operador son todos distintos de cero. Los valores propios de ⁠1 − exp(−ad _X )/anuncio _X⁠ están relacionadas con las de ad _X de la siguiente manera. Si g es una función analítica de una variable compleja expresada en una serie de potencias tal que g ( U ) para una matriz U converge, entonces los valores propios de g ( U ) serán g ( λ _ij ) , donde λ _ij son los valores propios de U , el doble subíndice se aclara a continuación. ^{[nb 3]} En el presente caso con g ( U ) = ⁠1 − exp(− U )/tú⁠ y U = ad _X , los valores propios de ⁠1 − exp(−ad _X )/anuncio _X⁠ son

${\displaystyle {\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},}$

donde λ _ij son los valores propios de ad _X . Poniendo ⁠1 − exp(− λ _ij )/lambda _ij⁠ = 0 se ve que d exp es invertible precisamente cuando

${\displaystyle \lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

Los valores propios de ad _X están, a su vez, relacionados con los de X . Sean los valores propios de X λ _i . Fijemos una base ordenada e _i del espacio vectorial subyacente V tal que X sea triangular inferior. Entonces

${\displaystyle Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,}$

con los términos restantes múltiplos de e _n con n > i . Sea E _ij la base correspondiente para el espacio matricial, es decir ( E _ij ) _kl = δ _ik δ _jl . Ordene esta base de modo que E _ij < E _nm si i − j < n − m . Se comprueba que la acción de ad _X está dada por

${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,}$

con los términos restantes múltiplos de E _mn > E _ij . Esto significa que ad _X es triangular inferior con sus valores propios λ _ij = λ _i − λ _j en la diagonal. La conclusión es que d exp _X es invertible, por lo tanto exp es una biyección bianalítica local alrededor de X , cuando los valores propios de X satisfacen ^{[10] [nb 4]}

${\displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n=\dim V.}$

En particular, en el caso de grupos de Lie matriciales, se sigue, dado que d exp ₀ es invertible, por el teorema de la función inversa que exp es una biyección bianalítica en un entorno de 0 ∈ g en el espacio matricial. Además, exp , es una biyección bianalítica desde un entorno de 0 ∈ g en g hasta un entorno de e ∈ G . ^[11] La misma conclusión se aplica a los grupos de Lie generales utilizando la versión de variedad del teorema de la función inversa.

También se deduce del teorema de la función implícita que d exp _ξ es invertible para ξ suficientemente pequeño. ^[12]

Derivación de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Si Z ( t ) se define de manera que

${\displaystyle e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},}$

una expresión para Z (1) = log( exp X exp Y ) , la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff , se puede derivar de la fórmula anterior,

${\displaystyle \exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).}$

Es fácil ver que su lado izquierdo es igual a Y. Por lo tanto,

${\displaystyle Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),}$

y por tanto, formalmente, ^{[13] [14]}

${\displaystyle Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={\frac {w\log w}{w-1}}=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+1)}}(w-1)^{m},\|w\|<1.}$

Sin embargo, utilizando la relación entre Ad y ad dada por (4) , es sencillo ver además que

${\displaystyle e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}\right)Y.}$

Poniendo esto en forma de una integral en t de 0 a 1 obtenemos:

${\displaystyle Z(1)=\log(\exp X\exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad}}_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,}$

una fórmula integral para Z (1) que es más manejable en la práctica que la fórmula explícita de la serie de Dynkin debido a la simplicidad de la expansión en serie de ψ . Nótese que esta expresión consta de X+Y y conmutadores anidados de los mismos con X o Y . Una prueba de libro de texto en esta línea se puede encontrar en Hall (2015) y Miller (1972).

Derivación de la fórmula de la serie de Dynkin

Eugene Dynkin en su casa en 2003. En 1947, Dynkin demostró la fórmula explícita de la serie BCH. ^[15] Poincaré , Baker , Campbell y Hausdorff se ocuparon principalmente de la existencia de una serie de corchetes, que es suficiente en muchas aplicaciones, por ejemplo, para demostrar resultados centrales en la correspondencia de Lie . ^{[16] [17]} Fotografía cortesía de la Colección Dynkin.

La fórmula de Dynkin mencionada también puede derivarse de forma análoga, a partir de la extensión paramétrica

${\displaystyle e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},}$

De dónde

${\displaystyle e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}}{dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,}$

De manera que, utilizando la fórmula general anterior,

${\displaystyle Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}$

Sin embargo, dado que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)\right)=\log \left(1+\left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)-1\right)\right)\\&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z})-1)^{n}~,\quad \|\mathrm {ad} _{Z}\|<\log 2~~,\end{aligned}}}$

El último paso en virtud de la expansión de la serie de Mercator , se deduce que

y, por tanto, integrando,

${\displaystyle Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).}$

En este punto es evidente que el enunciado cualitativo de la fórmula BCH es válido, es decir, Z se encuentra en el álgebra de Lie generada por X , Y y se puede expresar como una serie entre paréntesis repetidos (A) . Para cada k , los términos para cada partición del mismo se organizan dentro de la integral ∫ dt t ^{k −1} . La fórmula de Dynkin resultante es entonces

${\displaystyle Z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.}$

Para una prueba similar con expansiones de series detalladas, véase Rossmann (2002).

Detalles combinatorios

Cambie el índice de suma en ( 5 ) a k = n − 1 y expanda

en una serie de potencias. Para manejar las expansiones de series de manera sencilla, considere primero Z = log( e ^X e ^Y ) . La serie logarítmica y la serie exp están dadas por

${\displaystyle \log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(A-I)}^{k},\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}}$

respectivamente. Combinando estos se obtiene

Esto se convierte en

${\displaystyle Z=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,}$        (99)

donde S _k es el conjunto de todas las secuencias s = ( i ₁ , j ₁ , ..., i _k , j _k ) de longitud 2 k sujetas a las condiciones en (99) .

Ahora sustituya ( e ^X e ^Y − 1) por ( e ^{ad _tX} e ^{ad _tY} − 1) en el lado izquierdo de ( 98 ). La ecuación (99) entonces da

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}}$

o, con un cambio de notación, véase Una fórmula explícita de Baker–Campbell–Hausdorff ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}$

Nótese que el índice de suma para el e ^{ad _tX} más a la derecha en el segundo término en ( 97 ) se denota i _{k + 1} , pero no es un elemento de una secuencia s ∈ S _k . Ahora integre Z = Z (1) = ∫ ⁠dZ/es⁠ dt , usando Z (0) = 0 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.}$

Escribe esto como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k+1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}=1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}}$

Esto equivale a

donde se utiliza la simple observación de que [ T , T ] = 0 para todo T . Es decir, en ( 100 ), el término principal se anula a menos que j _{k + 1} sea igual a 0 o 1 , correspondientes al primer y segundo término en la ecuación anterior. En caso de que j _{k + 1} = 0 , i _{k + 1} debe ser igual a 1 , de lo contrario el término se anula por la misma razón ( no se permite i _{k + 1} = 0 ). Finalmente, desplaza el índice, k → k − 1 , ${\displaystyle i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k+1,}$

${\displaystyle Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~1\leq r\leq k.}$

Esta es la fórmula de Dynkin. La sorprendente similitud con (99) no es accidental: refleja el mapa de Dynkin–Specht–Wever , que sustenta la derivación original, diferente, de la fórmula. ^[15] Es decir, si

${\displaystyle X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}$

es expresable como una serie de corchetes, entonces necesariamente ^[18]

Juntando la observación (A) y el teorema ( B ) se obtiene una prueba concisa de la fórmula BCH explícita.

Véase también

• Logaritmo matricial

Observaciones

1. Una prueba de la identidad se puede encontrar aquí . La relación es simplemente la que existe entre una representación de un grupo de Lie y la de su álgebra de Lie según la correspondencia de Lie , ya que tanto Ad como ad son representaciones con ad = d Ad .
2. Se sostiene que

   ${\displaystyle \tau (\log z)\phi (-\log z)=1}$

   para |z − 1| < 1 donde

   ${\displaystyle \tau (w)={\frac {w}{1-e^{-w}}}.}$

   Aquí, τ es la función generadora exponencial de

   ${\displaystyle (-1)^{k}b_{k},}$

   donde b _k son los números de Bernoulli .
3. Esto se ve al elegir una base para el espacio vectorial subyacente tal que U es triangular , siendo los valores propios los elementos diagonales. Entonces U ^k es triangular con elementos diagonales λ _i ^k . De ello se deduce que los valores propios de U son f ( λ _i ) . Véase Rossmann 2002, Lema 6 en la sección 1.2.
4. Las matrices cuyos valores propios λ satisfacen |Im λ | < π están, bajo la exponencial, en biyección con matrices cuyos valores propios μ no están en la línea real negativa o cero. λ y μ están relacionados por la exponencial compleja. Véase Rossmann (2002) Observación 2c sección 1.2.

Notas

1. Schmidt 1982
2. Rossmann 2002 Apéndice sobre funciones analíticas.
3. Schür 1891
4. Poincaré 1899
5. Suzuki 1985
6. Rossmann 2002 Teorema 5 Sección 1.2
7. Propuesta 3.35 del Salón 2015
8. Véase también Tuynman 1995, de donde se toma la prueba de Hall.
9. Sternberg 2004 Esta es la ecuación (1.11).
10. Rossmann 2002 Proposición 7, sección 1.2.
11. Hall 2015 Corolario 3.44.
12. Sternberg 2004 Sección 1.6.
13. Hall 2015Sección 5.5.
14. Sternberg 2004 Sección 1.2.
15. Dynkin 1947
16. Rossmann 2002 Capítulo 2.
17. Hall 2015 Capítulo 5.
18. Sternberg 2004 Capítulo 1.12.2.

Referencias

• Dynkin, Eugene Borisovich (1947), "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Cálculo de los coeficientes de la fórmula Campbell-Hausdorff], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 57 : 323–326 ; traducción de Google libros.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Miller, Wllard (1972), Grupos de simetría y sus aplicaciones , Academic Press, ISBN 0-12-497460-0
• Poincaré, H. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Trans. , 18 : 220–55
• Rossmann, Wulf (2002), Grupos de Lie: una introducción a través de grupos lineales , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Schur, F. (1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 4 : 15–32
• Suzuki, Masuo (1985). "Fórmulas de descomposición de operadores exponenciales y exponenciales de Lie con algunas aplicaciones a la mecánica cuántica y la física estadística". Journal of Mathematical Physics . 26 (4): 601–612. Bibcode :1985JMP....26..601S. doi :10.1063/1.526596.
• Tuynman (1995), "La derivación del mapa exponencial de matrices", Amer. Math. Monthly , 102 (9): 818–819, doi :10.2307/2974511, JSTOR  2974511
• Veltman, M , 't Hooft, G y de Wit, B (2007). "Grupos de Lie en Física", conferencias en línea.
• Wilcox, RM (1967). "Operadores exponenciales y diferenciación de parámetros en física cuántica". Journal of Mathematical Physics . 8 (4): 962–982. Bibcode :1967JMP.....8..962W. doi :10.1063/1.1705306.

Enlaces externos

• Sternberg, Shlomo (2004), Álgebras de Lie (PDF)
• Schmid, Wilfried (1982), "Grupos de Poincaré y de Lie" (PDF) , Bull. Amer. Math. Soc. , 6 (2): 175–186, doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2