Logaritmo de una matriz

Operación matemática sobre matrices invertibles.

En matemáticas , un logaritmo de una matriz es otra matriz tal que la matriz exponencial de esta última matriz es igual a la matriz original. Es por tanto una generalización del logaritmo escalar y en cierto sentido una función inversa de la matriz exponencial . No todas las matrices tienen logaritmo y aquellas matrices que sí lo tienen pueden tener más de un logaritmo. El estudio de los logaritmos de matrices conduce a la teoría de Lie ya que cuando una matriz tiene un logaritmo entonces está en un elemento de un grupo de Lie y el logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del álgebra de Lie .

Definición

La exponencial de una matriz A está definida por

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Dada una matriz B , se dice que otra matriz A es un logaritmo matricial de B si e ^A = B.

Debido a que la función exponencial no es biyectiva para números complejos (p. ej. ), los números pueden tener múltiples logaritmos complejos y, como consecuencia de esto, algunas matrices pueden tener más de un logaritmo, como se explica a continuación. Si el logaritmo de la matriz existe y es único, entonces se escribe como en cuyo caso ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log B,}$ ${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Expresión de series de potencias

Si B está lo suficientemente cerca de la matriz identidad, entonces se puede calcular un logaritmo de B mediante la siguiente serie de potencias :

${\displaystyle \log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}-{\frac {(B-I)^{4}}{4}}+\cdots }$.

Específicamente, si , entonces la serie anterior converge y . ^[1] ${\displaystyle \left\|B-I\right\|<1}$ ${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

Ejemplo: logaritmo de rotaciones en el plano.

Las rotaciones en el plano dan un ejemplo sencillo. Una rotación del ángulo α alrededor del origen está representada por la matriz 2×2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier número entero n , la matriz

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

es un logaritmo de A .

Por tanto, la matriz A tiene infinitos logaritmos. Esto se debe a que el ángulo de giro sólo se determina hasta un múltiplo de 2 π .

En el lenguaje de la teoría de Lie, las matrices de rotación A son elementos del grupo de Lie SO(2) . Los logaritmos B correspondientes son elementos del álgebra de Lie so(2), que consta de todas las matrices simétricas sesgadas . La matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

es un generador del álgebra de Lie entonces (2).

Existencia

La pregunta de si una matriz tiene un logaritmo tiene la respuesta más fácil cuando se considera en un entorno complejo. Una matriz compleja tiene logaritmo si y sólo si es invertible . ^[2] El logaritmo no es único, pero si una matriz no tiene valores propios reales negativos , entonces hay un logaritmo único que tiene valores propios todos en la tira . Este logaritmo se conoce como logaritmo principal . ^[3] ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$

La respuesta está más involucrada en el entorno real. Una matriz real tiene un logaritmo real si y sólo si es invertible y cada bloque de Jordan que pertenece a un valor propio negativo ocurre un número par de veces. ^[4] Si una matriz real invertible no satisface la condición con los bloques de Jordan, entonces solo tiene logaritmos no reales. Esto ya se puede ver en el caso escalar: ninguna rama del logaritmo puede ser real en -1. La existencia de logaritmos matriciales reales de matrices reales de 2 × 2 se considera en una sección posterior.

Propiedades

Si A y B son matrices definidas positivas , entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

Supongamos que A y B se conmutan, lo que significa que AB = BA . Entonces

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}\,}$

si y sólo si , donde es un valor propio de y es el valor propio correspondiente de . ^[5] En particular, cuando A y B conmutan y ambos son definidos positivos . Establecer B = A ⁻¹ en esta ecuación produce ${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu _{j}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

De manera similar, para no desplazamientos y , se puede demostrar que ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

De manera más general, se puede obtener una expansión en serie de en potencias de utilizando la definición integral del logaritmo. ${\displaystyle \log {(A+tB)}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

aplicado a ambos y en el límite . ${\displaystyle X=A}$ ${\displaystyle X=A+tB}$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$

Otro ejemplo: logaritmo de rotaciones en el espacio 3D

Una rotación R ∈ SO(3) en ^{3 viene dada por una} matriz ortogonal de 3×3 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El logaritmo de dicha matriz de rotación R se puede calcular fácilmente a partir de la parte antisimétrica de la fórmula de rotación de Rodrigues , explícitamente en Ángulo del eje . Produce el logaritmo de la norma mínima de Frobenius , pero falla cuando R tiene valores propios iguales a −1, donde esto no es único.

Tenga en cuenta además que, dadas las matrices de rotación A y B ,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{F}}$

es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación.

Calcular el logaritmo de una matriz diagonalizable

Un método para encontrar log A para una matriz A diagonalizable es el siguiente:

Encuentre la matriz V de vectores propios de A (cada columna de V es un vector propio de A ).

Encuentra el inverso V ⁻¹ de V .

Dejar

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.\,}$

Entonces A ′ será una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son valores propios de A .

Reemplace cada elemento diagonal de A ′ por su logaritmo (natural) para obtener . ${\displaystyle \log A'}$

Entonces

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.\,}$

Que el logaritmo de A podría ser una matriz compleja incluso si A es real se deduce del hecho de que una matriz con entradas reales y positivas podría tener valores propios negativos o incluso complejos (esto es cierto, por ejemplo, para las matrices de rotación ). La no unicidad del logaritmo de una matriz se deriva de la no unicidad del logaritmo de un número complejo.

El logaritmo de una matriz no diagonalizable

El algoritmo ilustrado arriba no funciona para matrices no diagonalizables, como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Para tales matrices es necesario encontrar su descomposición de Jordan y, en lugar de calcular el logaritmo de las entradas diagonales como se indicó anteriormente, se calcularía el logaritmo de los bloques de Jordan .

Esto último se logra al observar que se puede escribir un bloque de Jordan como

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

donde K es una matriz con ceros encima y debajo de la diagonal principal. (El número λ es distinto de cero al suponer que la matriz cuyo logaritmo se intenta tomar es invertible).

Luego, por la serie Mercator.

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

uno consigue

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Esta serie tiene un número finito de términos ( K ^m es cero si m es igual o mayor que la dimensión de K ), por lo que su suma está bien definida.

Ejemplo. Utilizando este enfoque, se encuentra

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

lo cual se puede verificar reemplazando el lado derecho en la matriz exponencial:

$${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Una perspectiva de análisis funcional

Una matriz cuadrada representa un operador lineal en el espacio euclidiano R ⁿ donde n es la dimensión de la matriz. Dado que dicho espacio es de dimensión finita, este operador en realidad está acotado .

Utilizando las herramientas del cálculo funcional holomórfico , dada una función holomorfa f definida en un conjunto abierto en el plano complejo y un operador lineal acotado T , se puede calcular f ( T ) siempre que f esté definida en el espectro de T.

La función f ( z ) = log z se puede definir en cualquier conjunto abierto simplemente conexo en el plano complejo que no contenga el origen, y es holomorfa en dicho dominio. Esto implica que se puede definir ln T siempre y cuando el espectro de T no contenga el origen y haya un camino que vaya desde el origen hasta el infinito sin cruzar el espectro de T (por ejemplo, si el espectro de T es un círculo con el origen dentro de él, es imposible definir ln T ).

El espectro de un operador lineal en R ⁿ es el conjunto de valores propios de su matriz, y también lo es un conjunto finito. Siempre que el origen no esté en el espectro (la matriz es invertible), se cumple la condición de trayectoria del párrafo anterior y ln T está bien definido. La no unicidad del logaritmo matricial se deriva del hecho de que se puede elegir más de una rama del logaritmo que se define en el conjunto de valores propios de una matriz.

Una perspectiva de la teoría de grupos de mentiras

En la teoría de grupos de Lie , existe una aplicación exponencial de un álgebra de Lie al correspondiente grupo de Lie G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}$

Para grupos matriciales de Lie, los elementos de y G son matrices cuadradas y el mapa exponencial viene dado por la matriz exponencial . El mapa inverso tiene varios valores y coincide con el logaritmo matricial que se analiza aquí. El logaritmo se asigna del grupo G de Lie al álgebra de Lie . Tenga en cuenta que el mapa exponencial es un difeomorfismo local entre una vecindad U de la matriz cero y una vecindad V de la matriz identidad . ^[7] Por lo tanto, el logaritmo (matriz) está bien definido como un mapa, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

Un corolario importante de la fórmula de Jacobi es entonces

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Restricciones en el caso 2 × 2

Si una matriz real de 2 × 2 tiene un determinante negativo , no tiene logaritmo real. Tenga en cuenta primero que cualquier matriz real de 2 × 2 puede considerarse uno de los tres tipos de número complejo z = x + y ε, donde ε ² ∈ { −1, 0, +1 }. Este z es un punto en un subplano complejo del anillo de matrices. ^[8]

El caso en el que el determinante es negativo sólo surge en un plano con ε ² =+1, es decir, un plano de números complejos divididos . Sólo un cuarto de este plano es la imagen del mapa exponencial, por lo que el logaritmo sólo se define en ese cuarto (cuadrante). Los otros tres cuadrantes son imágenes de éste bajo el grupo de cuatro de Klein generado por ε y −1.

Por ejemplo, sea a = log 2; luego cosh a = 5/4 y sinh a = 3/4. Para matrices, esto significa que

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Entonces esta última matriz tiene logaritmo

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Estas matrices, sin embargo, no tienen logaritmo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Representan los otros tres conjugados por el grupo de cuatro de la matriz anterior que sí tiene un logaritmo.

Una matriz no singular de 2 x 2 no necesariamente tiene un logaritmo, pero el grupo de cuatro la conjuga con una matriz que sí tiene un logaritmo.

También se deduce que, por ejemplo, una raíz cuadrada de esta matriz A se puede obtener directamente exponenciando (log A )/2,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Para un ejemplo más completo, comience con una terna pitagórica ( p,q,r ) y sea a = log( p + r ) − log q . Entonces

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Ahora

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

De este modo

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

tiene la matriz logarítmica

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

donde a = iniciar sesión ( p + r ) - iniciar sesión q .

Ver también

• Función matricial
• Raíz cuadrada de una matriz
• Matriz exponencial
• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Teorema 2.8 de Hall 2015
2. Higham (2008), Teorema 1.27
3. Higham (2008), Teorema 1.31
4. Culver (1966)
5. APRAHAMIAN, MARÍA; HIGHAM, NICHOLAS J. (2014). "La función de desenrollado de matrices, con una aplicación para calcular la exponencial de matrices". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 35 (1): 97. doi : 10.1137/130920137 . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
6. Memorándum inédito de S Adler (IAS)
7. Teorema 3.42 de Hall 2015
8. Álgebra abstracta / matrices reales 2x2 en Wikilibros

Referencias

• Gantmacher, Felix R. (1959), La teoría de las matrices , vol. 1, Nueva York: Chelsea, págs. 239-241.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Culver, Walter J. (1966), "Sobre la existencia y unicidad del logaritmo real de una matriz", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 17 (5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN  0002-9939.
• Higham, Nicholas (2008), Funciones de matrices. Teoría y Computación , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Engø, Kenth (junio de 2001), "Sobre la fórmula BCH en so(3)", BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi :10.1023/A:1021979515229, ISSN  0006-3835, S2CID  126053191