Raíz cuadrada de una matriz de 2x2

Una raíz cuadrada de una matriz M de 2×2 es otra matriz R de 2×2 tal que M = R ² , donde R ² representa el producto matricial de R consigo misma. En general, puede haber cero, dos, cuatro o incluso una infinidad de matrices de raíz cuadrada . En muchos casos, una matriz R de este tipo se puede obtener mediante una fórmula explícita.

Las raíces cuadradas que no son la matriz de todos ceros vienen en pares: si R es una raíz cuadrada de M , entonces − R también es una raíz cuadrada de M , ya que (− R )(− R ) = (−1)(−1)( RR ) = R ² = M .
Una matriz 2×2 con dos valores propios distintos de cero tiene cuatro raíces cuadradas. Una matriz definida positiva tiene precisamente una raíz cuadrada definida positiva.

Una fórmula general

La siguiente es una fórmula general que se aplica a casi cualquier matriz de 2 × 2. ^[1] Sea la matriz dada donde A , B , C y D pueden ser números reales o complejos. Además, sea τ = A + D la traza de M y δ = AD − BC su determinante . Sea s tal que s ² = δ y t tal que t ² = τ + 2s . Es decir, Entonces, si t ≠ 0, una raíz cuadrada de M es $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$$ $${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\delta }},\qquad t=\pm {\sqrt {\tau +2s}}.}$$ $${\displaystyle R={\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}={\frac {1}{t}}\left(M+sI\right).}$$

De hecho, el cuadrado de R es $${\displaystyle {\begin{aligned}R^{2}&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+s^{2}&AB+BD+2sB\\CA+DC+2sC&CB+D^{2}+2sD+s^{2}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{t^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}+BC+2sA+AD-BC&AB+BD+2sB\\AC+CD+2sC&BC+D^{2}+2sD+AD-BC\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {1}{A+D+2s}}{\begin{pmatrix}A(A+D+2s)&B(A+D+2s)\\C(A+D+2s)&D(A+D+2s)\end{pmatrix}}=M.\end{aligned}}}$$

Nótese que R puede tener entradas complejas incluso si M es una matriz real; este será el caso, en particular, si el determinante δ es negativo.

El caso general de esta fórmula es cuando δ es distinto de cero y τ ² ≠ 4 δ , en cuyo caso s es distinto de cero y t es distinto de cero para cada elección de signo de s . Entonces la fórmula anterior proporcionará cuatro raíces cuadradas distintas R , una para cada elección de signos para s y t .

Casos especiales de la fórmula

Si el determinante δ es cero, pero la traza τ no es cero, la fórmula general anterior dará solo dos soluciones distintas, correspondientes a los dos signos de t . Es decir, donde t es cualquier raíz cuadrada de la traza τ . $${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}M,}$$

La fórmula también da solo dos soluciones distintas si δ es distinto de cero y τ ² = 4 δ (el caso de valores propios duplicados ), en cuyo caso una de las opciones para s hará que el denominador t sea cero. En ese caso, las dos raíces son donde s es la raíz cuadrada de δ que hace que τ  − 2 s sea distinto de cero, y t es cualquier raíz cuadrada de τ  − 2 s . $${\displaystyle R=\pm {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}A+s&B\\C&D+s\end{pmatrix}}=\pm {\frac {1}{t}}\left(M+sI\right),}$$

La fórmula anterior falla completamente si δ y τ son ambos cero; es decir, si D = − A y A ² = − BC , de modo que tanto la traza como el determinante de la matriz son cero. En este caso, si M es la matriz nula (con A = B = C = D = 0), entonces la matriz nula también es una raíz cuadrada de M , como lo es cualquier matriz $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad R={\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}},}$$

donde b y c son valores reales o complejos arbitrarios. De lo contrario, M no tiene raíz cuadrada.

Fórmulas para matrices especiales

Matriz idempotente

Si M es una matriz idempotente , lo que significa que MM = M , entonces si no es la matriz identidad, su determinante es cero y su traza es igual a su rango , que (excluyendo la matriz cero) es 1. Entonces la fórmula anterior tiene s = 0 y τ = 1, dando M y − M como dos raíces cuadradas de M.

Matriz exponencial

Si la matriz M puede expresarse como múltiplo real del exponente de alguna matriz A , entonces dos de sus raíces cuadradas son . En este caso la raíz cuadrada es real. ^[2] ${\displaystyle M=r\exp(A)}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {r}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}A\right)}$

Matriz diagonal

Si M es diagonal (es decir, B = C = 0), se puede utilizar la fórmula simplificada $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}},}$$

donde a = ±√ A , y d = ±√ D . Esto, para las distintas opciones de signo, da cuatro, dos o una matriz distinta, si ninguna, solo una o ambas A y D son cero, respectivamente.

Matriz de identidad

Debido a que tiene valores propios duplicados, la matriz identidad 2×2 tiene infinitas raíces cuadradas racionales simétricas dadas por donde ( r , s , t ) son números complejos cualesquiera tales que ^[3] ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{t}}{\begin{pmatrix}s&r\\r&-s\end{pmatrix}}{\text{ and }}{\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle r^{2}+s^{2}=t^{2}.}$

Matriz con un cero fuera de la diagonal

Si B es cero, pero A y D no son ambos cero, se puede utilizar $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}a&0\\{\frac {C}{a+d}}&d\end{pmatrix}}.}$$

Esta fórmula proporcionará dos soluciones si A = D o A = 0 o D = 0, y cuatro en caso contrario. Se puede utilizar una fórmula similar cuando C es cero, pero A y D no son ambos cero.

Referencias

1. Levinger, Bernard W. (septiembre de 1980), "La raíz cuadrada de una matriz", Mathematics Magazine , 53 (4): 222–224, doi :10.1080/0025570X.1980.11976858, JSTOR  2689616 ${\displaystyle 2\times 2}$
2. Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (2004), "Geometría de números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129, doi :10.1080/0025570X.2004.11953236, JSTOR  3219099, MR  1573734
3. Mitchell, Douglas W. (noviembre de 2003), "87.57 Uso de ternas pitagóricas para generar raíces cuadradas de ", The Mathematical Gazette , 87 (510): 499–500, doi : 10.1017/S0025557200173723 , JSTOR  3621289 ${\displaystyle I_{2}}$