Función analítica de una matriz

Función que asigna matrices a matrices

En matemáticas , cada función analítica se puede utilizar para definir una función matricial que asigna matrices cuadradas con entradas complejas a matrices cuadradas del mismo tamaño.

Esto se utiliza para definir la exponencial de una matriz , que está involucrada en la solución de forma cerrada de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales .

Ampliación de funciones escalares a funciones matriciales

Existen varias técnicas para convertir una función real en una función matricial cuadrada de modo que se mantengan las propiedades interesantes. Todas las técnicas siguientes dan como resultado la misma función matricial, pero los dominios en los que se define la función pueden diferir.

Serie de potencias

Si la función analítica f tiene la expansión de Taylor , entonces una función matricial puede definirse sustituyendo x por una matriz cuadrada : las potencias se convierten en potencias matriciales , las adiciones se convierten en sumas matriciales y las multiplicaciones por coeficientes se convierten en multiplicaciones escalares . Si la serie converge para , entonces la serie matricial correspondiente converge para matrices A tales que para alguna norma matricial que satisface . $${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots }$$ ${\displaystyle A\mapsto f(A)}$ ${\displaystyle |x|<r}$ ${\displaystyle \|A\|<r}$ ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

Matrices diagonalizables

Una matriz cuadrada A es diagonalizable , si existe una matriz invertible P tal que sea una matriz diagonal , es decir, D tiene la forma ${\displaystyle D=P^{-1}\,A\,P}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Como es natural establecer ${\displaystyle A=P\,D\,P^{-1},}$ $${\displaystyle f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n})\end{bmatrix}}\,P^{-1}.}$$

Se puede verificar que la matriz f ( A ) no depende de una elección particular de P .

Por ejemplo, supongamos que uno está buscando ${\displaystyle \Gamma (A)=(A-1)!}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.}$$

Uno tiene por $${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$$ $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~.}$$

La aplicación de la fórmula entonces simplemente da como resultado $${\displaystyle \Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0.4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.}$$

Asimismo, $${\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.}$$

Descomposición de Jordania

Todas las matrices complejas, ya sean diagonalizables o no, tienen una forma normal de Jordan , donde la matriz J está formada por bloques de Jordan . Consideremos estos bloques por separado y apliquemos la serie de potencias a un bloque de Jordan: ${\displaystyle A=P\,J\,P^{-1}}$ $${\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.}$$

Esta definición se puede utilizar para extender el dominio de la función matricial más allá del conjunto de matrices con un radio espectral menor que el radio de convergencia de la serie de potencias. Nótese que también existe una conexión con las diferencias divididas .

Una noción relacionada es la descomposición de Jordan-Chevalley , que expresa una matriz como una suma de una parte diagonalizable y una parte nilpotente.

Matrices hermíticas

Una matriz hermítica tiene todos los valores propios reales y siempre puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria P, según el teorema espectral . En este caso, la definición de Jordan es natural. Además, esta definición permite extender las desigualdades estándar a funciones reales:

Si para todos los valores propios de , entonces . (Por convención, es una matriz semidefinida positiva ). La prueba se desprende directamente de la definición. ${\displaystyle f(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)\preceq g(A)}$ ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$

Integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy del análisis complejo también se puede utilizar para generalizar funciones escalares a funciones matriciales. La fórmula integral de Cauchy establece que para cualquier función analítica f definida en un conjunto D ⊂ C , se tiene donde C es una curva simple cerrada dentro del dominio D que encierra a x . $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~,}$$

Ahora, reemplace x por una matriz A y considere un camino C dentro de D que encierra todos los valores propios de A. Una posibilidad para lograr esto es dejar que C sea un círculo alrededor del origen con un radio mayor que ‖ A ‖ para una norma matricial arbitraria ‖ · ‖ . Entonces, f  ( A ) es definible por $${\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.}$$

Esta integral se puede evaluar numéricamente fácilmente utilizando la regla del trapecio , que converge exponencialmente en este caso. Esto significa que la precisión del resultado se duplica cuando se duplica el número de nodos. En casos rutinarios, esto se evita con la fórmula de Sylvester .

Esta idea aplicada a operadores lineales acotados en un espacio de Banach , que pueden verse como matrices infinitas, conduce al cálculo funcional holomórfico .

Perturbaciones de la matriz

La serie de potencias de Taylor anterior permite reemplazar el escalar por la matriz. Esto no es cierto en general cuando se expande en términos de aproximadamente a menos que . Un contraejemplo es , que tiene una serie de Taylor de longitud finita . Calculamos esto de dos maneras, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(\eta )=A+\eta B}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

• Ley distributiva: $${\displaystyle f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^{2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}}$$
• Usando la expansión escalar de Taylor y reemplazando escalares con matrices al final: ${\displaystyle f(a+\eta b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em]&=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^{3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{aligned}}}$$

La expresión escalar supone conmutatividad mientras que la expresión matricial no, y por lo tanto no se pueden igualar directamente a menos que . Para algún f ( x ) esto se puede solucionar utilizando el mismo método que la serie escalar de Taylor. Por ejemplo, . Si existe entonces . La expansión del primer término sigue entonces la serie de potencias dada anteriormente, ${\displaystyle [A,B]=0}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)}$

$${\displaystyle f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}}$$

En este caso, se aplican los criterios de convergencia de la serie de potencias, que exigen que sea lo suficientemente pequeña en virtud de la norma matricial adecuada. Para problemas más generales, que no se pueden reescribir de manera que las dos matrices conmuten, se debe seguir el orden de los productos matriciales producidos por la aplicación repetida de la regla de Leibniz. ${\displaystyle \Vert \eta A^{-1}B\Vert }$

Función arbitraria de una matriz 2×2

Una función arbitraria f ( A ) de una matriz A de 2×2 tiene su fórmula de Sylvester simplificada a donde son los valores propios de su ecuación característica, | A − λI | = 0 , y se dan por Sin embargo, si hay degeneración, se utiliza la siguiente fórmula, donde f' es la derivada de f. $${\displaystyle f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,}$$ ${\displaystyle \lambda _{\pm }}$ $${\displaystyle \lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}.}$$ $${\displaystyle f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}}I-A\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).}$$

Ejemplos

• Polinomio matricial
• Raíz de la matriz
• Logaritmo matricial
• Matriz exponencial
• Función de signo de matriz ^[1]

Clases de funciones matriciales

Utilizando el ordenamiento semidefinido ( es semidefinido positivo y es definido positivo ), algunas de las clases de funciones escalares se pueden extender a funciones matriciales de matrices hermíticas . ^[2] ${\displaystyle X\preceq Y\Leftrightarrow Y-X}$ ${\displaystyle X\prec Y\Leftrightarrow Y-X}$

Operador monótono

Una función f se llama operador monótono si y solo si para todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f . Esto es análogo a la función monótona en el caso escalar. ${\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)}$

Operador cóncavo/convexo

Una función f se llama operador cóncava si y solo si para todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f y . Esta definición es análoga a una función escalar cóncava . Una función operador convexa se puede definir cambiando a en la definición anterior. $${\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)}$$ ${\displaystyle \tau \in [0,1]}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \succeq }$

Ejemplos

La matriz logarítmica es a la vez operador monótona y operador cóncava. La matriz cuadrada es operador convexa. La matriz exponencial no es ninguna de estas. El teorema de Loewner establece que una función en un intervalo abierto es operador monótona si y solo si tiene una extensión analítica a los semiplanos complejos superior e inferior de modo que el semiplano superior se mapea a sí mismo. ^[2]

Véase también

• Ecuación algebraica de Riccati
• La fórmula de Sylvester
• Orden de Loewner
• Cálculo matricial
• Trazar desigualdades
• Funciones trigonométricas de matrices

Notas

1. Higham, Nick (15 de diciembre de 2020). "¿Qué es la función de signo de la matriz?". Nick Higham . Consultado el 27 de diciembre de 2020 .
2. Bhatia, R. (1997). Análisis de matrices . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 169. Springer.

Referencias

• Higham, Nicholas J. (2008). Funciones de la teoría y computación de matrices . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 9780898717778.