En teoría de matrices , la fórmula de Sylvester o el teorema de matrices de Sylvester (llamado así por JJ Sylvester ) o la interpolación de Lagrange-Sylvester expresan una función analítica f ( A ) de una matriz A como un polinomio en A , en términos de los valores propios y vectores propios de A. [1] [2] Afirma que [3]
![{\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde los λ i son los valores propios de A y las matrices
![{\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\ izquierda(A-\lambda _{j}I\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
son las correspondientes covariantes de Frobenius de A , que son polinomios matriciales (de proyección) de Lagrange de A .
Condiciones
La fórmula de Sylvester se aplica a cualquier matriz diagonalizable A con k valores propios distintos, λ 1 , ..., λ k , y cualquier función f definida en algún subconjunto de números complejos tal que f ( A ) esté bien definida. La última condición significa que todo valor propio λ i está en el dominio de f , y que todo valor propio λ i con multiplicidad m i > 1 está en el interior del dominio, siendo f ( m i — 1 ) veces diferenciable en λ i . [1] : Definición 6.4
Ejemplo
Considere la matriz de dos por dos:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta matriz tiene dos valores propios, 5 y −2. Sus covariantes de Frobenius son
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac { 1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7} }\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\ A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula de Sylvester equivale entonces a
![{\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por ejemplo, si f está definida por f ( x ) = x −1 , entonces la fórmula de Sylvester expresa la matriz inversa f ( A ) = A −1 como
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7 }}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\ frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3 \\0.4&-0.1\end{bmatriz}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalización
La fórmula de Sylvester sólo es válida para matrices diagonalizables ; una extensión debida a Arthur Buchheim , basada en polinomios de interpolación de Hermite , cubre el caso general: [4]
,
dónde .![{\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Hans Schwerdtfeger proporciona una forma concisa , [5]
,
donde Ai son las covariantes de Frobenius correspondientes de A
Caso especial
Si una matriz A es hermitiana y unitaria , entonces solo puede tener valores propios de y, por lo tanto , ¿dónde está el proyector sobre el subespacio con valor propio +1, y es el proyector sobre el subespacio con valor propio ? Por la integridad de la base propia, . Por lo tanto, para cualquier función analítica f ,![{\displaystyle \pm 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=A_{+}-A_{-}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle A_ {+}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle A_ {-}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{+}+A_{-}=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta A)&=f(\theta )A_{+1}+f(-\theta )A_{-1}\\&=f(\theta ){\ frac {I+A}{2}}+f(-\theta ){\frac {IA}{2}}\\&={\frac {f(\theta )+f(-\theta )}{2 }}I+{\frac {f(\theta )-f(-\theta )}{2}}A\\\end{alineado}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En particular, y .![{\displaystyle e^{i\theta A}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IA)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IA)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ ab / Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-46713-1
- ^ Jon F. Claerbout (1976), Teorema de la matriz de Sylvester , una sección de Fundamentos del procesamiento de datos geofísicos . Versión en línea en sepwww.stanford.edu, consultado el 14 de marzo de 2010.
- ^ Sylvester, JJ (1883). "XXXIX. Sobre la ecuación de las desigualdades seculares en la teoría planetaria". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 16 (100): 267–269. doi :10.1080/14786448308627430. ISSN 1941-5982.
- ^ Buchheim, Arturo (1884). "Sobre la teoría de matrices". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T1-16 (1): 63–82. doi :10.1112/plms/s1-16.1.63. ISSN 0024-6115.
- ^ Schwerdtfeger, Hans (1938). Las funciones de matrices: Las funciones univalentes. Yo, Volumen 1 . París, Francia: Hermann.
- FR Gantmacher , La teoría de las matrices v I (Chelsea Publishing, Nueva York, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , págs. 101-103
- Higham, Nicolás J. (2008). Funciones de matrices: teoría y computación . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). ISBN 9780898717778. OCLC 693957820.
- Merzbacher, E (1968). "Métodos matriciales en mecánica cuántica". Soy. J. Física . 36 (9): 814–821. Código bibliográfico : 1968AmJPh..36..814M. doi :10.1119/1.1975154.