En matemáticas , una expresión está en forma cerrada si está formada con constantes , variables y un conjunto finito de funciones básicas conectadas por operaciones aritméticas ( +, −, ×, ÷ y potencias enteras ) y composición de funciones . Comúnmente, las funciones permitidas son raíz n -ésima , función exponencial , logaritmo y funciones trigonométricas . [1] Sin embargo, el conjunto de funciones básicas depende del contexto.
El problema de la forma cerrada surge cuando se introducen nuevas formas de especificar objetos matemáticos , como límites , series e integrales : dado un objeto especificado con tales herramientas, un problema natural es encontrar, si es posible, una expresión de forma cerrada de este objeto. , es decir, una expresión de este objeto en términos de formas anteriores de especificarlo.
es una forma cerrada de las soluciones de la ecuación cuadrática general
De manera más general, en el contexto de las ecuaciones polinómicas , una forma cerrada de una solución es una solución en radicales ; es decir, una expresión de forma cerrada para la cual las funciones permitidas son sólo raíces n -ésimas y operaciones de campo (+, -, /, *). De hecho, la teoría de campos permite demostrar que si una solución de una ecuación polinómica tiene una forma cerrada que involucra exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas, entonces también tiene una forma cerrada que no involucra estas funciones. [ cita necesaria ]
Hay expresiones en radicales para todas las soluciones de ecuaciones cúbicas (grado 3) y ecuaciones cuárticas (grado 4). El tamaño de estas expresiones aumenta significativamente con el grado, lo que limita su utilidad.
En grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini establece que hay ecuaciones cuyas soluciones no pueden expresarse en radicales y, por tanto, no tienen formas cerradas. El ejemplo más simple es la ecuación. La teoría de Galois proporciona un método algorítmico para decidir si una ecuación polinómica particular se puede resolver en radicales.
La integración simbólica consiste esencialmente en la búsqueda de formas cerradas para antiderivadas de funciones que se especifican mediante expresiones de forma cerrada. En este contexto, las funciones básicas utilizadas para definir formas cerradas suelen ser logaritmos , funciones exponenciales y raíces polinomiales . Las funciones que tienen una forma cerrada para estas funciones básicas se denominan funciones elementales e incluyen funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas , funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas .
Por tanto, el problema fundamental de la integración simbólica es, dada una función elemental especificada por una expresión de forma cerrada, decidir si su antiderivada es una función elemental y, si lo es, encontrar una expresión de forma cerrada para esta antiderivada.
Para funciones racionales ; es decir, para fracciones de dos funciones polinómicas ; Las antiderivadas no siempre son fracciones racionales, pero siempre son funciones elementales que pueden involucrar logaritmos y raíces polinomiales. Esto suele comprobarse mediante descomposición en fracciones parciales . La necesidad de logaritmos y raíces polinómicas se ilustra con la fórmula
que es válido si y son polinomios coprimos tales que son libres de cuadrados y
Cambiar la definición de "bien conocido" para incluir funciones adicionales puede cambiar el conjunto de ecuaciones con soluciones de forma cerrada. Muchas funciones de distribución acumulativa no se pueden expresar en forma cerrada, a menos que se consideren funciones especiales como la función de error o la función gamma como bien conocidas. Es posible resolver la ecuación quíntica si se incluyen funciones hipergeométricas generales , aunque la solución es demasiado complicada algebraicamente para ser útil. Para muchas aplicaciones informáticas prácticas, es totalmente razonable suponer que la función gamma y otras funciones especiales son bien conocidas, ya que las implementaciones numéricas están ampliamente disponibles.
Una expresión analítica (también conocida como expresión en forma analítica o fórmula analítica ) es una expresión matemática construida utilizando operaciones bien conocidas que se prestan fácilmente al cálculo. [ vago ] [ cita necesaria ] Similar a las expresiones de forma cerrada, el conjunto de funciones conocidas permitidas puede variar según el contexto, pero siempre incluye las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), exponenciación a un exponente real (que incluye la extracción de la raíz enésima ), logaritmos y funciones trigonométricas.
Sin embargo, la clase de expresiones consideradas expresiones analíticas tiende a ser más amplia que la de las expresiones de forma cerrada. En particular, normalmente se permiten funciones especiales como las funciones de Bessel y la función gamma , y a menudo también se permiten series infinitas y fracciones continuas . Por otro lado, los límites en general y las integrales en particular suelen quedar excluidos. [ cita necesaria ]
Si una expresión analítica involucra solo operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y exponenciación a un exponente racional) y constantes racionales, entonces se la conoce más específicamente como expresión algebraica .
Las expresiones de forma cerrada son una subclase importante de expresiones analíticas, que contienen un número finito de aplicaciones de funciones conocidas. A diferencia de las expresiones analíticas más amplias, las expresiones de forma cerrada no incluyen series infinitas ni fracciones continuas ; tampoco incluye integrales ni límites . De hecho, según el teorema de Stone-Weierstrass , cualquier función continua en el intervalo unitario puede expresarse como un límite de polinomios, por lo que cualquier clase de funciones que contenga polinomios y límites cerrados incluirá necesariamente todas las funciones continuas.
De manera similar, se dice que una ecuación o sistema de ecuaciones tiene una solución de forma cerrada si, y sólo si, al menos una solución puede expresarse como una expresión de forma cerrada; y se dice que tiene una solución analítica si y sólo si al menos una solución puede expresarse como una expresión analítica. Existe una distinción sutil entre una " función de forma cerrada " y un "número de forma cerrada" en la discusión de una "solución de forma cerrada", analizada en (Chow 1999) y más adelante. Una solución analítica o de forma cerrada a veces se denomina solución explícita .
La expresion:
La integral de una expresión de forma cerrada puede expresarse o no como una expresión de forma cerrada. Este estudio se conoce como teoría diferencial de Galois , por analogía con la teoría algebraica de Galois.
El teorema básico de la teoría diferencial de Galois se debe a Joseph Liouville en las décadas de 1830 y 1840 y, por lo tanto, se lo conoce como teorema de Liouville .
Un ejemplo estándar de una función elemental cuya antiderivada no tiene una expresión en forma cerrada es:
Las ecuaciones o sistemas demasiado complejos para soluciones analíticas o de forma cerrada a menudo pueden analizarse mediante modelado matemático y simulación por computadora (para un ejemplo en física, ver [3] ).
Se han sugerido tres subcampos de los números complejos C que codifican la noción de "número en forma cerrada"; en orden creciente de generalidad, estos son los números de Liouville (que no deben confundirse con los números de Liouville en el sentido de aproximación racional), los números EL y los números elementales . Los números de Liouvillian , denotados L , forman el subcampo algebraicamente cerrado más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo (formalmente, intersección de todos esos subcampos), es decir, números que involucran exponenciación explícita y logaritmos, pero permiten polinomios explícitos e implícitos (raíces de polinomios); esto se define en (Ritt 1948, p. 60). Originalmente se hacía referencia a L como números elementales , pero este término ahora se usa de manera más amplia para referirse a números definidos explícita o implícitamente en términos de operaciones algebraicas, exponenciales y logaritmos. Una definición más estricta propuesta en (Chow 1999, págs. 441–442), denotada como E y denominada números EL , es el subcampo más pequeño de C cerrado bajo exponenciación y logaritmo; no es necesario que sea algebraicamente cerrado y corresponde al algebraico explícito . Operaciones exponenciales, logarítmicas y "EL" significa "exponencial-logarítmico" y es una abreviatura de "elemental".
Si un número es un número de forma cerrada está relacionado con si un número es trascendental . Formalmente, los números de Liouvillian y los números elementales contienen los números algebraicos e incluyen algunos, pero no todos, los números trascendentales. Por el contrario, los números EL no contienen todos los números algebraicos, pero sí incluyen algunos números trascendentales. Los números en forma cerrada se pueden estudiar mediante la teoría de números trascendental , en la que un resultado importante es el teorema de Gelfond-Schneider , y una cuestión abierta importante es la conjetura de Schanuel .
Para propósitos de cálculos numéricos, en general no es necesario estar en forma cerrada, ya que muchos límites e integrales se pueden calcular de manera eficiente. Algunas ecuaciones no tienen solución en forma cerrada, como las que representan el problema de los tres cuerpos o el modelo de Hodgkin-Huxley . Por tanto, los estados futuros de estos sistemas deben calcularse numéricamente.
Existe software que intenta encontrar expresiones de forma cerrada para valores numéricos, incluido RIES, [4] identificado en Maple [5] y SymPy , [6] Plouffe's Inverter, [7] y la Calculadora simbólica inversa . [8]
