Fórmula de Jacobi

Fórmula para la derivada de un determinante de matriz

En el cálculo matricial , la fórmula de Jacobi expresa la derivada del determinante de una matriz A en términos del adjugado de A y la derivada de A. ^[1 ]

Si A es una función diferenciable de los números reales en matrices n  ×  n , entonces

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}$

donde tr( X ) es la traza de la matriz X y es su matriz adjunta . (La última igualdad sólo se cumple si A ( t ) es invertible .) ${\displaystyle \operatorname {adj} (X)}$

Como caso especial,

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}.}$

De manera equivalente, si dA representa la diferencial de A , la fórmula general es

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}$

La fórmula lleva el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi .

Derivación

Mediante cálculo matricial

Teorema. (Fórmula de Jacobi) Para cualquier función diferenciable A de los números reales en matrices n  ×  n ,

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}$

Demostración. La fórmula de Laplace para el determinante de una matriz A se puede expresar como

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

Observe que la suma se realiza sobre una fila arbitraria i de la matriz.

El determinante de A puede considerarse una función de los elementos de A :

${\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}$

de modo que, por la regla de la cadena , su diferencial es

${\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.}$

Esta suma se realiza sobre todos los n × n elementos de la matriz.

Para hallar ∂ F /∂ A _ij, se debe considerar que en el lado derecho de la fórmula de Laplace, el índice i puede elegirse a voluntad. (Para optimizar los cálculos: cualquier otra opción arrojaría eventualmente el mismo resultado, pero podría ser mucho más difícil). En particular, puede elegirse que coincida con el primer índice de ∂ / ∂ A _ij :

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}$

Así, por la regla del producto,

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

Ahora bien, si un elemento de una matriz A _ij y un cofactor adj ^T ( A ) _ik del elemento A _ik se encuentran en la misma fila (o columna), entonces el cofactor no será una función de A _ij , porque el cofactor de A _ik se expresa en términos de elementos que no están en su propia fila (ni columna). Por lo tanto,

${\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,}$

entonces

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

Todos los elementos de A son independientes entre sí, es decir

${\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},}$

donde δ es el delta de Kronecker , por lo que

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}=\sum _{j}\sum _{i}\operatorname {adj} (A)_{ji}\,dA_{ij}=\sum _{j}(\operatorname {adj} (A)\,dA)_{jj}=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square }$

Mediante la regla de la cadena

Lema 1. , donde es la diferencial de . ${\displaystyle \det '(I)=\mathrm {tr} }$ ${\displaystyle \det '}$ ${\displaystyle \det }$

Esta ecuación significa que la diferencial de , evaluada en la matriz identidad, es igual a la traza. La diferencial es un operador lineal que asigna una matriz n × n a un número real. ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \det '(I)}$

Demostración. Utilizando la definición de derivada direccional junto con una de sus propiedades básicas para funciones diferenciables, tenemos

${\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle \det(I+\varepsilon T)}$es un polinomio de orden n . Está estrechamente relacionado con el polinomio característico de . El término constante en ese polinomio (el término con ) es 1, mientras que el término lineal en es . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {tr} \ T}$

Lema 2. Para una matriz invertible A , tenemos: . ${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\;\mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

Demostración. Consideremos la siguiente función de X :

${\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=\det(A)\ \det(A^{-1}X)}$

Calculamos la diferencial de y la evaluamos usando el Lema 1, la ecuación anterior y la regla de la cadena: ${\displaystyle \det X}$ ${\displaystyle X=A}$

${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

Teorema. (Fórmula de Jacobi) ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A{\frac {dA}{dt}}\right)}$

Demostración. Si es invertible, por el Lema 2, con ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T=dA/dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}$

utilizando la ecuación que relaciona el adjunto de con . Ahora, la fórmula es válida para todas las matrices, ya que el conjunto de matrices lineales invertibles es denso en el espacio de matrices. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Vía diagonalización

Ambos lados de la fórmula de Jacobi son polinomios en los coeficientes matriciales de A y A' . Por lo tanto, es suficiente verificar la identidad polinómica en el subconjunto denso donde los valores propios de A son distintos y distintos de cero.

Si A se factoriza diferenciablemente como , entonces ${\displaystyle A=BC}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C').}$

En particular, si L es invertible, entonces y ${\displaystyle I=L^{-1}L}$

${\displaystyle 0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L').}$

Como A tiene valores propios distintos, existe una matriz invertible compleja diferenciable L tal que y D es diagonal. Entonces ${\displaystyle A=L^{-1}DL}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D').}$

Sean , los valores propios de A . Entonces ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\det(A)'}{\det(A)}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A'),}$

que es la fórmula de Jacobi para matrices A con valores propios distintos de cero.

Corolario

La siguiente es una relación útil que conecta la traza con el determinante de la matriz exponencial asociada :

${\displaystyle \det e^{B}=e^{\operatorname {tr} \left(B\right)}}$

Esta afirmación es clara para las matrices diagonales y a continuación se presenta una prueba de la afirmación general.

Para cualquier matriz invertible , en la sección anterior "Mediante la regla de la cadena", demostramos que ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

Considerando en esta ecuación se obtiene: ${\displaystyle A(t)=\exp(tB)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}}$

El resultado deseado se deduce como solución de esta ecuación diferencial ordinaria.

Aplicaciones

Varias formas de la fórmula sustentan el algoritmo de Faddeev–LeVerrier para calcular el polinomio característico y las aplicaciones explícitas del teorema de Cayley–Hamilton . Por ejemplo, partiendo de la siguiente ecuación, que se demostró anteriormente:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\ \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

y usando , obtenemos: ${\displaystyle A(t)=tI-B}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det(tI-B)=\det(tI-B)\operatorname {tr} [(tI-B)^{-1}]=\operatorname {tr} [\operatorname {adj} (tI-B)]}$

donde adj denota la matriz adjunta .

Observaciones

1. Magnus y Neudecker (1999, págs. 149-150), Tercera parte, Sección 8.3

Referencias

• Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999). Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría (edición revisada). Wiley. ISBN 0-471-98633-X.
• Bellman, Richard (1997). Introducción al análisis matricial. SIAM. ISBN 0-89871-399-4.