Hipérbola unitaria

Figura geométrica

La hipérbola unitaria es azul, su conjugada es verde y las asíntotas son rojas.

En geometría , la hipérbola unitaria es el conjunto de puntos ( x , y ) en el plano cartesiano que satisfacen la ecuación implícita. En el estudio de grupos ortogonales indefinidos , la hipérbola unitaria forma la base para una longitud radial alternativa. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.}$

Mientras que el círculo unitario rodea su centro, la hipérbola unitaria requiere que la hipérbola conjugada la complemente en el plano. Este par de hipérbolas comparten las asíntotas y = x e y = − x . Cuando se utiliza el conjugado de la hipérbola unitaria, la longitud radial alternativa es ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

La hipérbola unitaria es un caso especial de la hipérbola rectangular , con una orientación , ubicación y escala particulares . Como tal, su excentricidad es igual a ^[1] ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

La hipérbola unitaria se utiliza en aplicaciones en las que el círculo debe sustituirse por la hipérbola para fines de geometría analítica. Un ejemplo destacado es la representación del espacio-tiempo como un espacio pseudoeuclidiano . Allí, las asíntotas de la hipérbola unitaria forman un cono de luz . Además, la atención que Gregoire de Saint-Vincent prestó a las áreas de los sectores hiperbólicos condujo a la función logarítmica y a la parametrización moderna de la hipérbola por áreas de sectores. Cuando se comprenden las nociones de hipérbolas conjugadas y ángulos hiperbólicos, los números complejos clásicos , que se construyen alrededor del círculo unitario, se pueden sustituir por números construidos alrededor de la hipérbola unitaria.

Asíntotas

En general, se dice que las líneas asintóticas de una curva convergen hacia la curva. En la geometría algebraica y la teoría de curvas algebraicas existe un enfoque diferente para las asíntotas. La curva se interpreta primero en el plano proyectivo utilizando coordenadas homogéneas . Luego, las asíntotas son líneas que son tangentes a la curva proyectiva en un punto en el infinito , evitando así cualquier necesidad de un concepto de distancia y convergencia. En un marco común ( x, y, z ) son coordenadas homogéneas con la línea en el infinito determinada por la ecuación z = 0. Por ejemplo, CG Gibson escribió: ^[2]

Para la hipérbola rectangular estándar en , la curva proyectiva correspondiente es que corta z = 0 en los puntos P = (1 : 1 : 0) y Q = (1 : −1 : 0). Tanto P como Q son simples en F , con tangentes x + y = 0, x − y = 0; de esta manera recuperamos las conocidas 'asíntotas' de la geometría elemental. ${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

Diagrama de Minkowski

El diagrama de Minkowski se dibuja en un plano espacio-temporal en el que el aspecto espacial se ha restringido a una única dimensión. Las unidades de distancia y tiempo en dicho plano son

• unidades de 30 centímetros de longitud y nanosegundos , o
• unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos y 20 segundos, o
• años luz y años .

Cada una de estas escalas de coordenadas da como resultado conexiones de fotones de eventos a lo largo de líneas diagonales de pendiente más o menos uno. Cinco elementos constituyen el diagrama que Hermann Minkowski utilizó para describir las transformaciones de la relatividad: la hipérbola unitaria, su hipérbola conjugada, los ejes de la hipérbola, un diámetro de la hipérbola unitaria y el diámetro conjugado . El plano con los ejes se refiere a un marco de referencia en reposo . El diámetro de la hipérbola unitaria representa un marco de referencia en movimiento con rapidez a donde tanh a = y / x y ( x , y ) es el punto final del diámetro en la hipérbola unitaria. El diámetro conjugado representa el hiperplano espacial de simultaneidad correspondiente a la rapidez a . En este contexto, la hipérbola unitaria es una hipérbola de calibración ^{[3] [4]} Comúnmente en el estudio de la relatividad, la hipérbola con eje vertical se toma como primaria:

La flecha del tiempo va de abajo hacia arriba de la figura, una convención adoptada por Richard Feynman en sus famosos diagramas. El espacio está representado por planos perpendiculares al eje del tiempo. El aquí y ahora es una singularidad en el medio. ^[5]

La convención del eje de tiempo vertical proviene de Minkowski en 1908, y también está ilustrada en la página 48 de La naturaleza del mundo físico (1928) de Eddington.

Parametrización

Las ramas de la hipérbola unitaria evolucionan como puntos y en función del parámetro del ángulo hiperbólico . ${\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}$ ${\displaystyle (-\cosh a,-\sinh a)}$ ${\displaystyle a}$

Una forma directa de parametrizar la hipérbola unitaria comienza con la hipérbola xy = 1 parametrizada con la función exponencial : ${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t}).}$

Esta hipérbola se transforma en la hipérbola unitaria mediante una aplicación lineal que tiene la matriz ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :}$

${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

Este parámetro t es el ángulo hiperbólico , que es el argumento de las funciones hiperbólicas .

Una expresión temprana de la hipérbola unitaria parametrizada se encuentra en Elements of Dynamic (1878) de W. K. Clifford . Describe el movimiento cuasi armónico en una hipérbola de la siguiente manera:

El movimiento tiene algunas analogías curiosas con el movimiento armónico elíptico. ... La aceleración, por tanto, es siempre proporcional a la distancia desde el centro, como en el movimiento armónico elíptico, pero dirigida lejos del centro. ^[6] ${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$ ${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \ ;}$

Como cónica particular , la hipérbola puede parametrizarse mediante el proceso de adición de puntos en una cónica. La siguiente descripción fue dada por analistas rusos:

Fije un punto E en la cónica. Considere los puntos en los que la línea recta trazada a través de E paralela a AB interseca la cónica por segunda vez como la suma de los puntos A y B.

Para la hipérbola con punto fijo E = (1,0) la suma de los puntos y es el punto bajo la parametrización y esta adición corresponde a la adición del parámetro t . ^[7] ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$ ${\displaystyle x=\cosh \ t}$ ${\displaystyle y=\sinh \ t}$

Álgebra plana compleja

Mientras que el círculo unitario se asocia con números complejos , la hipérbola unitaria es clave para el plano de números complejos divididos que consiste en z = x + yj , donde j ² = +1. Entonces jz = y + xj , por lo que la acción de j en el plano es intercambiar las coordenadas. En particular, esta acción intercambia la hipérbola unitaria con su conjugado e intercambia pares de diámetros conjugados de las hipérbolas.

En términos del parámetro de ángulo hiperbólico a , la hipérbola unitaria consta de puntos

${\displaystyle \pm (\cosh a+j\sinh a)}$, donde j = (0,1).

La rama derecha de la hipérbola unitaria corresponde al coeficiente positivo. De hecho, esta rama es la imagen de la función exponencial que actúa sobre el eje j . Por lo tanto, esta rama es la curva. La pendiente de la curva en a está dada por la derivada. ${\displaystyle f(a)=\exp(aj).}$

${\displaystyle f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).}$Para cualquier a , ) es hiperbólicamente ortogonal a . Esta relación es análoga a la perpendicularidad de exp( a i) y i exp( a i) cuando i ² = − 1. ${\displaystyle f^{\prime }(a}$ ${\displaystyle f(a)}$

Dado que , la rama es un grupo bajo multiplicación. ${\displaystyle \exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)}$

A diferencia del grupo de círculos , este grupo de hipérbolas unitarias no es compacto . De manera similar al plano complejo ordinario, un punto que no se encuentra en las diagonales tiene una descomposición polar utilizando la parametrización de la hipérbola unitaria y la longitud radial alternativa.

Referencias

1. Eric Weisstein Hipérbola rectangular de Wolfram Mathworld
2. CG Gibson (1998) Geometría elemental de curvas algebraicas , pág. 159, Cambridge University Press ISBN  0-521-64140-3
3. Anthony French (1968) Relatividad especial , página 83, WW Norton & Company
4. WGV Rosser (1964) Introducción a la teoría de la relatividad , figura 6.4, página 256, Londres: Butterworths
5. AP French (1989) "Aprendiendo del pasado; mirando hacia el futuro", discurso de aceptación de la Medalla Oersted de 1989 , American Journal of Physics 57(7):587–92
6. William Kingdon Clifford (1878) Elements of Dynamic, páginas 89 y 90, Londres: MacMillan & Co; presentación en línea de Cornell University Historical Mathematical Monographs
7. Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página uno, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, American Mathematical Society

• F. Reese Harvey (1990) Espinores y calibraciones , Figura 4.33, página 70, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 .