En matemáticas , una curva integral es una curva paramétrica que representa una solución específica a una ecuación diferencial ordinaria o un sistema de ecuaciones.
Las curvas integrales se conocen con otros nombres, según la naturaleza y la interpretación de la ecuación diferencial o del campo vectorial. En física , las curvas integrales de un campo eléctrico o magnético se conocen como líneas de campo , y las curvas integrales del campo de velocidad de un fluido se conocen como líneas de corriente . En sistemas dinámicos , las curvas integrales de una ecuación diferencial que gobierna un sistema se denominan trayectorias u órbitas .
Supóngase que F es un campo vectorial estático , es decir, una función vectorial con coordenadas cartesianas ( F 1 , F 2 ,..., F n ), y que x ( t ) es una curva paramétrica con coordenadas cartesianas ( x 1 ( t ), x 2 ( t ),..., x n ( t )). Entonces x ( t ) es una curva integral de F si es una solución del sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias,
Un sistema de este tipo puede escribirse como una única ecuación vectorial,
Esta ecuación dice que el vector tangente a la curva en cualquier punto x ( t ) a lo largo de la curva es precisamente el vector F ( x ( t )), y por lo tanto la curva x ( t ) es tangente en cada punto al campo vectorial F .
Si un campo vectorial dado es Lipschitz continuo , entonces el teorema de Picard-Lindelöf implica que existe un flujo único para un tiempo pequeño.
Si la ecuación diferencial se representa como un campo vectorial o un campo de pendientes , entonces las curvas integrales correspondientes son tangentes al campo en cada punto.
Sea M una variedad de Banach de clase C r con r ≥ 2. Como es habitual, T M denota el fibrado tangente de M con su proyección natural π M : T M → M dada por
Un campo vectorial sobre M es una sección transversal del fibrado tangente T M , es decir, una asignación a cada punto de la variedad M de un vector tangente a M en ese punto. Sea X un campo vectorial sobre M de clase C r −1 y sea p ∈ M . Una curva integral para X que pasa por p en el instante t 0 es una curva α : J → M de clase C r −1 , definida en un intervalo abierto J de la recta real R que contiene a t 0 , tal que
La definición anterior de una curva integral α para un campo vectorial X , que pasa por p en el tiempo t 0 , es lo mismo que decir que α es una solución local al problema de ecuación diferencial ordinaria/valor inicial.
Es local en el sentido de que está definida solo para tiempos en J , y no necesariamente para todos los t ≥ t 0 (y mucho menos t ≤ t 0 ). Por lo tanto, el problema de probar la existencia y unicidad de las curvas integrales es el mismo que el de encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias/problemas de valor inicial y demostrar que son únicas.
En el ejemplo anterior, α ′( t ) denota la derivada de α en el tiempo t , la "dirección a la que apunta α " en el tiempo t . Desde un punto de vista más abstracto, esta es la derivada de Fréchet :
En el caso especial de que M sea algún subconjunto abierto de R n , esta es la derivada familiar
donde α 1 , ..., α n son las coordenadas de α con respecto a las direcciones de coordenadas habituales.
Lo mismo puede expresarse de forma aún más abstracta en términos de funciones inducidas . Nótese que el fibrado tangente T J de J es el fibrado trivial J × R y que existe una sección transversal canónica ι de este fibrado tal que ι ( t ) = 1 (o, más precisamente, ( t , 1) ∈ ι ) para todo t ∈ J . La curva α induce una función de fibrado α ∗ : T J → T M de modo que el siguiente diagrama conmuta:
Entonces la derivada temporal α ′ es la composición α ′ = α ∗ o ι , y α ′( t ) es su valor en algún punto t ∈ J .
