campo pendiente

Representación visual de soluciones a una ecuación diferencial.

El campo de pendiente de , siendo las líneas azul, roja y turquesa , y , respectivamente. ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x}$ ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4}$

Un campo de pendiente (también llamado campo de dirección ^{[1] ) es una representación gráfica de las soluciones de una} ecuación diferencial de primer orden ^[2] de una función escalar. Las soluciones a un campo de pendientes son funciones dibujadas como curvas sólidas. Un campo de pendiente muestra la pendiente de una ecuación diferencial en ciertos intervalos verticales y horizontales en el plano xy, y puede usarse para determinar la pendiente tangente aproximada en un punto de una curva, donde la curva es alguna solución de la ecuación diferencial.

Definición

Caso estándar

El campo de pendiente se puede definir para el siguiente tipo de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle y'=f(x,y),}$

que puede interpretarse geométricamente como dar la pendiente de la tangente a la gráfica de la solución de la ecuación diferencial ( curva integral ) en cada punto ( x , y ) en función de las coordenadas del punto. ^[3]

Puede verse como una forma creativa de trazar una función con valor real de dos variables reales como una imagen plana. Específicamente, para un par dado , se dibuja un vector con las componentes en el punto del plano. A veces, el vector se normaliza para que la trama se vea mejor para el ojo humano. Para el dibujo normalmente se utiliza un conjunto de pares que forman una cuadrícula rectangular. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle [1,f(x,y)]}$ ${\displaystyle x,y}$

A menudo se utiliza una isoclina (una serie de líneas con la misma pendiente) para complementar el campo de pendientes. En una ecuación de la forma , la isoclina es una línea en el plano obtenida igualándola a una constante. ${\displaystyle y'=f(x,y)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Caso general de un sistema de ecuaciones diferenciales.

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$

el campo de pendiente es una serie de marcas de pendiente en el espacio de fase (en cualquier número de dimensiones dependiendo del número de variables relevantes; por ejemplo, dos en el caso de una EDO lineal de primer orden , como se ve a la derecha). Cada marca de pendiente está centrada en un punto y es paralela al vector ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}$

El número, posición y longitud de las marcas de pendiente pueden ser arbitrarios. Las posiciones generalmente se eligen de manera que los puntos formen una cuadrícula uniforme. El caso estándar, descrito anteriormente, representa . El caso general del campo de pendientes para sistemas de ecuaciones diferenciales no es fácil de visualizar . ${\displaystyle (t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>2}$

Aplicacion General

Con las computadoras, se pueden crear rápidamente y sin tedio campos de pendientes complicados, por lo que una aplicación práctica sólo recientemente es usarlos simplemente para tener una idea de cuál debería ser una solución antes de buscar una solución general explícita. Por supuesto, las computadoras también pueden resolver uno, si existe.

Si no existe una solución general explícita, las computadoras pueden usar campos de pendientes (incluso si no se muestran) para encontrar soluciones gráficas numéricamente. Ejemplos de tales rutinas son el método de Euler , o mejor, los métodos de Runge-Kutta .

Software para trazar campos de pendiente

Diferentes paquetes de software pueden trazar campos de pendientes.

Código de campo de dirección en GNU Octave / MATLAB

funn = @( x , y ) y - x ; % función f(x, y) = yx [ x , y ] = meshgrid ( - 5 : 0.5 : 5 ); % de intervalos para pendientes xey = funn ( x , y ); % de matriz de valores de pendientes dy = pendientes ./ sqrt ( 1 + pendientes .^ 2 ); % normaliza el elemento de línea... dx = unos ( longitud ( dy )) ./ sqrt ( 1 + pendientes .^ 2 ); % ...magnitudes para dy y dx h = carcaj ( x , y , dx , dy , 0.5 ); % traza el conjunto de campos de dirección ( h , "maxheadsize" , 0.1 ); % altera el tamaño de la cabeza                                    

Código de ejemplo para Maxima

/* campo para y'=xy (haga clic en un punto para obtener una curva integral). Plotdf requiere Xmaxima */plotdf( x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

Código de ejemplo para Mathematica

(* campo para y'=xy *) VectorPlot [{ 1 , x * y -5 x },{ x , -2 , 2 },{ y , -2 , 2 }]

Código de ejemplo para SageMath [4]

var('x,y')plot_slope_field(x*y, (x,-2,2), (y,-2,2))

Ejemplos

• y' = x/y
• 
  campo pendiente
• 
  Curvas integrales
• 
  Isoclinas (azul), campo de pendiente (negro) y algunas curvas solución (roja)

Ver también

• Ejemplos de ecuaciones diferenciales
• Campo vectorial
• Transformada de Laplace aplicada a ecuaciones diferenciales
• Lista de temas de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales.
• Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.

Referencias

1. Boyce, William (2001). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (7 ed.). Wiley. pag. 3.ISBN​ 9780471319993.
2. Vladimir A. Dobrushkin (2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: el curso primario. Prensa CRC. pag. 13.ISBN​ 978-1-4987-2835-5.
3. Andrei D. Polyanin; Alejandro V. Manzhirov (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos. Prensa CRC. pag. 453.ISBN​ 978-1-58488-502-3.
4. "Trazado de campos - Manual de referencia de Sage 9.4: gráficos 2D".

• Blanchard, Pablo; Devaney, Robert L .; y Hall, Glen R. (2002). Ecuaciones diferenciales (2ª ed.). Brooks/Cole: Aprendizaje Thompson. ISBN 0-534-38514-1 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Campo en pendiente". MundoMatemático .
• Trazador de campo de pendiente (Java)
• Trazador de campo de pendiente (JavaScript)