Ecuación diferencial

En matemáticas , una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas . ^[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre las dos. Tales relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales juegan un papel destacado en muchas disciplinas, incluidas la ingeniería , la física , la economía y la biología .

El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación) y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada se pueden determinar sin calcularlas con exactitud.

A menudo, cuando no se dispone de una expresión cerrada para las soluciones, las soluciones se pueden aproximar numéricamente mediante computadoras. La teoría de sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que se han desarrollado muchos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

Historia

Las ecuaciones diferenciales surgieron con la invención del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz . En el capítulo 2 de su obra de 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , ^[2] Newton enumeró tres tipos de ecuaciones diferenciales:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

En todos estos casos, $y$ es una función desconocida de $x$ (o de $x 1$ y $x 2$ ), y $f$ es una función dada.

Resuelve estos ejemplos y otros utilizando series infinitas y analiza la no unicidad de las soluciones.

Jacob Bernoulli propuso la ecuación diferencial de Bernoulli en 1695. ^[3] Esta es una ecuación diferencial ordinaria de la forma

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

para lo cual al año siguiente Leibniz obtuvo soluciones simplificándola. ^[4]

Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como la de un instrumento musical fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange . ^[5]^[6]^[7]^{[8] En 1746, d'Alembert descubrió la}ecuación de onda unidimensional , y diez años después Euler descubrió la ecuación de onda tridimensional. ^[9]

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocrona . Este es el problema de determinar una curva en la que una partícula ponderada caerá a un punto fijo en una cantidad de tiempo fija, independientemente del punto de partida. Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica lagrangiana .

En 1822, Fourier publicó su trabajo sobre el flujo de calor en Théorie analytique de la chaleur (La teoría analítica del calor), ^[10] en la que basó su razonamiento en la ley de enfriamiento de Newton , es decir, que el flujo de calor entre dos moléculas adyacentes es proporcional a la diferencia extremadamente pequeña de sus temperaturas. En este libro se incluía la propuesta de Fourier de su ecuación del calor para la difusión conductiva del calor. Esta ecuación diferencial parcial es ahora una parte común del plan de estudios de física matemática.

Ejemplo

En mecánica clásica , el movimiento de un cuerpo se describe mediante su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton permiten expresar estas variables de forma dinámica (dada la posición, la velocidad, la aceleración y las distintas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo.

En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento ) puede resolverse explícitamente.

Un ejemplo de modelado de un problema del mundo real mediante ecuaciones diferenciales es la determinación de la velocidad de una pelota que cae por el aire, considerando únicamente la gravedad y la resistencia del aire. La aceleración de la pelota hacia el suelo es la aceleración debida a la gravedad menos la desaceleración debida a la resistencia del aire. La gravedad se considera constante y la resistencia del aire puede modelarse como proporcional a la velocidad de la pelota. Esto significa que la aceleración de la pelota, que es una derivada de su velocidad, depende de la velocidad (y la velocidad depende del tiempo). Encontrar la velocidad como función del tiempo implica resolver una ecuación diferencial y verificar su validez.

Tipos

Las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en varios tipos. Además de describir las propiedades de la ecuación en sí, estas clases de ecuaciones diferenciales pueden ayudar a orientar la elección del enfoque para llegar a una solución. Las distinciones que se utilizan habitualmente incluyen si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal y homogénea o heterogénea. Esta lista está lejos de ser exhaustiva; hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales que pueden ser muy útiles en contextos específicos.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial ordinaria ( EDO ) es una ecuación que contiene una función desconocida de una variable real o compleja $x$ , sus derivadas y algunas funciones dadas de $x$ . La función desconocida generalmente está representada por una variable (a menudo denotada como $y$ ), que, por lo tanto, depende de $x$ . Por lo tanto, $x$ se suele llamar variable independiente de la ecuación. El término " ordinaria " se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial , que puede ser con respecto a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas que son lineales en la función desconocida y sus derivadas. Su teoría está bien desarrollada y en muchos casos se pueden expresar sus soluciones en términos de integrales .

La mayoría de las EDO que se encuentran en física son lineales. Por lo tanto, la mayoría de las funciones especiales pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (véase Función holonómica ).

Como, en general, las soluciones de una ecuación diferencial no pueden expresarse mediante una expresión de forma cerrada , comúnmente se utilizan métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales en una computadora.

Ecuaciones diferenciales parciales

Una ecuación diferencial parcial ( EDP ) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales . (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias , que tratan funciones de una sola variable y sus derivadas). Las EDP se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven en forma cerrada o se utilizan para crear un modelo informático relevante .

Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden utilizar para describir una amplia variedad de fenómenos de la naturaleza, como el sonido , el calor , la electrostática , la electrodinámica , el flujo de fluidos , la elasticidad o la mecánica cuántica . Estos fenómenos físicos aparentemente distintos se pueden formalizar de manera similar en términos de ecuaciones diferenciales parciales. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales , las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales . Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas generalizan las ecuaciones diferenciales parciales para modelar la aleatoriedad .

Ecuaciones diferenciales no lineales

Una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial que no es una ecuación lineal en la función desconocida y sus derivadas (la linealidad o no linealidad en los argumentos de la función no se consideran aquí). Hay muy pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de manera exacta; los que se conocen dependen típicamente de que la ecuación tenga simetrías particulares . Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos de tiempo extendidos, característico del caos . Incluso las cuestiones fundamentales de existencia, unicidad y extensibilidad de soluciones para ecuaciones diferenciales no lineales, y el planteamiento correcto de problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales parciales no lineales son problemas difíciles y su resolución en casos especiales se considera un avance significativo en la teoría matemática (cf. existencia y suavidad de Navier-Stokes ). Sin embargo, si la ecuación diferencial es una representación correctamente formulada de un proceso físico significativo, entonces se espera que tenga una solución. ^[11]

Las ecuaciones diferenciales lineales aparecen frecuentemente como aproximaciones a ecuaciones no lineales. Estas aproximaciones sólo son válidas bajo condiciones restringidas. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico es una aproximación a la ecuación del péndulo no lineal que es válida para oscilaciones de pequeña amplitud.

Orden y grado de la ecuación

El orden de la ecuación diferencial es el orden más alto de la derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación diferencial. Por ejemplo, una ecuación que contiene solo derivadas de primer orden es una ecuación diferencial de primer orden , una ecuación que contiene la derivada de segundo orden es una ecuación diferencial de segundo orden , y así sucesivamente. ^[12]^[13]

Cuando se escribe como ecuación polinómica en la función desconocida y sus derivadas, su grado de la ecuación diferencial es, dependiendo del contexto, el grado del polinomio en la derivada más alta de la función desconocida, ^[14] o su grado total en la función desconocida y sus derivadas. En particular, una ecuación diferencial lineal tiene grado uno para ambos significados, pero la ecuación diferencial no lineal es de grado uno para el primer significado pero no para el segundo. $y'+y^{2}=0$

Las ecuaciones diferenciales que describen fenómenos naturales casi siempre tienen sólo derivadas de primer y segundo orden, pero hay algunas excepciones, como la ecuación de película delgada , que es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden.

Ejemplos

En el primer grupo de ejemplos, u es una función desconocida de x y c y ω son constantes que se supone que son conocidas. Dos grandes clasificaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales consisten en distinguir entre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales , y entre ecuaciones diferenciales homogéneas y heterogéneas .

Ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes lineales de primer orden heterogéneos:
${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$
Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden:
${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$
Ecuación diferencial ordinaria de coeficiente constante lineal homogénea de segundo orden que describe el oscilador armónico :
${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$
Ecuación diferencial ordinaria no lineal heterogénea de primer orden:
${\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.$
Ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden (debido a la función seno) que describe el movimiento de un péndulo de longitud L :
$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida u depende de dos variables x y t o x e y .

Ecuación diferencial parcial lineal homogénea de primer orden:
${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$
Ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden homogénea con coeficientes constantes de tipo elíptico, ecuación de Laplace :
${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$
Ecuación diferencial parcial no lineal homogénea de tercer orden, ecuación KdV :
${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Existencia de soluciones

Resolver ecuaciones diferenciales no es como resolver ecuaciones algebraicas . No sólo sus soluciones suelen ser poco claras, sino que también es de notable interés si las soluciones son únicas o si existen en absoluto.

Para problemas con valores iniciales de primer orden, el teorema de existencia de Peano proporciona un conjunto de circunstancias en las que existe una solución. Dado cualquier punto en el plano xy, defina una región rectangular , tal que y esté en el interior de . Si se nos da una ecuación diferencial y la condición de que cuando , entonces hay localmente una solución para este problema si y son ambos continuos en . Esta solución existe en algún intervalo con su centro en . La solución puede no ser única. (Véase Ecuación diferencial ordinaria para otros resultados). $(a,b)$ $Z$ $Z=[l,m]\times [n,p]$ $(a,b)$ $Z$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$ $y=b$ $x=a$ $g(x,y)$ ${\textstyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$ $Z$ $a$

Sin embargo, esto sólo nos sirve para problemas de valor inicial de primer orden . Supongamos que tuviéramos un problema de valor inicial lineal de orden n:

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

de tal manera que

{\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}

Para cualquier distinto de cero , si y son continuos en algún intervalo que contiene a , existe y es único. ^[15] $f_{n}(x)$ $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ $g$ $x_{0}$ $y$

Conceptos relacionados

Una ecuación diferencial de retardo (EDT) es una ecuación para una función de una sola variable, generalmente llamada tiempo , en la que la derivada de la función en un tiempo determinado se da en términos de los valores de la función en tiempos anteriores.
Las ecuaciones integrales pueden considerarse análogas a las ecuaciones diferenciales, donde en lugar de que la ecuación involucre derivadas, la ecuación contiene integrales .
Una ecuación integro-diferencial (EDI) es una ecuación que combina aspectos de una ecuación diferencial y una ecuación integral.
Una ecuación diferencial estocástica (EDT) es una ecuación en la que la cantidad desconocida es un proceso estocástico y la ecuación involucra algunos procesos estocásticos conocidos, por ejemplo, el proceso de Wiener en el caso de ecuaciones de difusión.
Una ecuación diferencial parcial estocástica (SPDE) es una ecuación que generaliza las SDE para incluir procesos de ruido espacio-temporal, con aplicaciones en la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística .
Una ecuación pseudodiferencial ultramétrica es una ecuación que contiene números p-ádicos en un espacio ultramétrico . Los modelos matemáticos que involucran ecuaciones pseudodiferenciales ultramétricas utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales .
Una ecuación algebraica diferencial (DAE) es una ecuación diferencial que comprende términos diferenciales y algebraicos, dados en forma implícita.

Conexión con ecuaciones diferenciales

La teoría de ecuaciones diferenciales está estrechamente relacionada con la teoría de ecuaciones diferenciales , en la que las coordenadas asumen solo valores discretos y la relación involucra valores de la función o funciones desconocidas y valores en coordenadas cercanas. Muchos métodos para calcular soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales o estudiar las propiedades de ecuaciones diferenciales implican la aproximación de la solución de una ecuación diferencial mediante la solución de una ecuación diferencial correspondiente.

Aplicaciones

El estudio de las ecuaciones diferenciales es un campo amplio en las matemáticas puras y aplicadas , la física y la ingeniería . Todas estas disciplinas se ocupan de las propiedades de las ecuaciones diferenciales de varios tipos. Las matemáticas puras se centran en la existencia y unicidad de las soluciones, mientras que las matemáticas aplicadas enfatizan la justificación rigurosa de los métodos para aproximar las soluciones. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel importante en el modelado de prácticamente todos los procesos físicos, técnicos o biológicos, desde el movimiento celeste hasta el diseño de puentes y las interacciones entre neuronas. Las ecuaciones diferenciales como las que se utilizan para resolver problemas de la vida real pueden no ser necesariamente directamente solucionables, es decir, no tienen soluciones de forma cerrada . En cambio, las soluciones se pueden aproximar utilizando métodos numéricos .

Muchas leyes fundamentales de la física y la química pueden formularse como ecuaciones diferenciales. En biología y economía , las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas complejos. La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales se desarrolló primero junto con las ciencias donde se originaron las ecuaciones y donde encontraron aplicación los resultados. Sin embargo, diversos problemas, a veces originados en campos científicos bastante distintos, pueden dar lugar a ecuaciones diferenciales idénticas. Siempre que esto sucede, la teoría matemática detrás de las ecuaciones puede verse como un principio unificador detrás de diversos fenómenos. Como ejemplo, considere la propagación de la luz y el sonido en la atmósfera, y de las ondas en la superficie de un estanque. Todas ellas pueden describirse mediante la misma ecuación diferencial parcial de segundo orden , la ecuación de onda , que nos permite pensar en la luz y el sonido como formas de ondas, muy similares a las ondas familiares en el agua. La conducción del calor, cuya teoría fue desarrollada por Joseph Fourier , está gobernada por otra ecuación diferencial parcial de segundo orden, la ecuación del calor . Resulta que muchos procesos de difusión , aunque aparentemente diferentes, se describen mediante la misma ecuación; La ecuación de Black-Scholes en finanzas está relacionada, por ejemplo, con la ecuación del calor.

La cantidad de ecuaciones diferenciales que han recibido un nombre en diversas áreas científicas es un testimonio de la importancia del tema. Ver Lista de ecuaciones diferenciales con nombre .

Software

Algunos programas CAS pueden resolver ecuaciones diferenciales. Estos son los comandos que se utilizan en los programas principales:

Arce : ^[16] dsolve
Matemática : ^[17] DSolve[]
Máxima : ^[18] ode2(equation, y, x)
Matemáticas Sage : ^[19] desolve()
SimPy : ^[20] sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
Xcas : ^[21] desolve(y'=k*y,y)

Véase también

Ecuación diferencial exacta
Ecuación diferencial funcional
Condición inicial
Ecuaciones integrales
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales
Teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de las soluciones
Relación de recurrencia , también conocida como 'ecuación de diferencia'
Ecuación diferencial abstracta
Sistema de ecuaciones diferenciales

Referencias

^ Dennis G. Zill (15 de marzo de 2012). Un primer curso de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
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^ Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis" , Acta Eruditarum
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^ Para conocer las contribuciones de De Lagrange a la ecuación de onda acústica, consulte Acústica: Introducción a sus principios físicos y aplicaciones, Allan D. Pierce, Sociedad Americana de Acústica, 1989; página 18. (consultado el 9 de diciembre de 2012)
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^ "Álgebra simbólica y matemáticas con Xcas" (PDF) .

Lectura adicional

Abbott, P.; Neill, H. (2003). Aprenda cálculo por su cuenta . págs. 266–277.
Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). Ecuaciones diferenciales . Thompson.
Boyce, W.; DiPrima, R .; Meade, D. (2017). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Wiley.
Coddington, EA; Levinson, N. (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . McGraw-Hill.
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Daniel Zwillinger (12 de mayo de 2014). Manual de ecuaciones diferenciales. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

Enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con Ecuación diferencial .

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Wikiversidad tiene recursos de aprendizaje sobre ecuaciones diferenciales.

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 " Ecuación diferencial ".

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