Linealización

Encontrar la aproximación lineal de una función en un punto dado

En matemáticas , la linealización es la búsqueda de la aproximación lineal a una función en un punto dado. La aproximación lineal de una función es la expansión de Taylor de primer orden alrededor del punto de interés. En el estudio de sistemas dinámicos , la linealización es un método para evaluar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales o sistemas dinámicos discretos . ^[1] Este método se utiliza en campos como la ingeniería , la física , la economía y la ecología .

Linealización de una función

Las linealizaciones de una función son líneas , generalmente líneas que se pueden usar para fines de cálculo. La linealización es un método eficaz para aproximar el resultado de una función en cualquier función en función del valor y la pendiente de la función en , dado que es diferenciable en (o ) y que está cerca de . En resumen, la linealización aproxima el resultado de una función cerca de . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [b,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x=a}$

Por ejemplo, . Sin embargo, ¿cuál sería una buena aproximación de ? ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$

Para cualquier función dada , se puede aproximar si está cerca de un punto diferenciable conocido. El requisito más básico es que , donde es la linealización de en . La forma punto-pendiente de una ecuación forma una ecuación de una línea, dado un punto y pendiente . La forma general de esta ecuación es: . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle (H,K)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y-K=M(x-H)}$

Usando el punto , se convierte en . Debido a que las funciones diferenciables son localmente lineales , la mejor pendiente para sustituir en sería la pendiente de la línea tangente a en . ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle L_{a}(x)}$ ${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x=a}$

Si bien el concepto de linealidad local se aplica más a puntos arbitrariamente cercanos a , aquellos relativamente cercanos funcionan relativamente bien para aproximaciones lineales. La pendiente debería ser, con mayor precisión, la pendiente de la línea tangente en . ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x=a}$

Una aproximación de f ( x ) = x ² en ( x , f ( x ))

Visualmente, el diagrama adjunto muestra la línea tangente de en . En , donde es cualquier valor positivo o negativo pequeño, es muy cercano al valor de la línea tangente en el punto . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$

La ecuación final para la linealización de una función en es: ${\displaystyle x=a}$ $${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}$$

Para , . La derivada de es , y la pendiente de en es . ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle f(a)=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Ejemplo

Para hallar , podemos utilizar el hecho de que . La linealización de en es , porque la función define la pendiente de la función en . Sustituyendo en , la linealización en 4 es . En este caso , por lo que es aproximadamente . El valor verdadero es cercano a 2,00024998, por lo que la aproximación de linealización tiene un error relativo de menos de una millonésima de un por ciento. ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$ ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a=4}$ ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$ ${\displaystyle x=4.001}$ ${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$

Linealización de una función multivariable

La ecuación para la linealización de una función en un punto es: ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle p(a,b)}$

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}$

La ecuación general para la linealización de una función multivariable en un punto es: ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$

donde es el vector de variables, es el gradiente y es el punto de linealización de interés. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\nabla f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Usos de la linealización

La linealización permite utilizar herramientas de estudio de sistemas lineales para analizar el comportamiento de una función no lineal cerca de un punto dado. La linealización de una función es el término de primer orden de su expansión de Taylor alrededor del punto de interés. Para un sistema definido por la ecuación

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$,

El sistema linealizado se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$

donde es el punto de interés y es el - jacobiano de evaluado en . ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ ${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$

Análisis de estabilidad

En el análisis de estabilidad de sistemas autónomos , se pueden utilizar los valores propios de la matriz jacobiana evaluada en un punto de equilibrio hiperbólico para determinar la naturaleza de ese equilibrio. Este es el contenido del teorema de linealización . Para sistemas que varían en el tiempo, la linealización requiere una justificación adicional. ^[3]

Microeconomía

En microeconomía , las reglas de decisión pueden aproximarse bajo el enfoque de linealización del espacio de estados. ^[4] Bajo este enfoque, las ecuaciones de Euler del problema de maximización de la utilidad se linealizan alrededor del estado estable estacionario. ^[4] Se encuentra entonces una solución única para el sistema resultante de ecuaciones dinámicas. ^[4]

Mejoramiento

En la optimización matemática , las funciones de costo y los componentes no lineales dentro de ellas se pueden linealizar para aplicar un método de resolución lineal como el algoritmo Simplex . El resultado optimizado se alcanza de manera mucho más eficiente y es determinista como un óptimo global .

Multifísica

En sistemas multifísicos (sistemas que involucran múltiples campos físicos que interactúan entre sí), se puede realizar una linealización con respecto a cada uno de los campos físicos. Esta linealización del sistema con respecto a cada uno de los campos da como resultado un sistema de ecuaciones monolíticas linealizadas que se puede resolver utilizando procedimientos de solución iterativos monolíticos, como el método de Newton-Raphson . Algunos ejemplos de esto incluyen los sistemas de escáneres de resonancia magnética que dan como resultado un sistema de campos electromagnéticos, mecánicos y acústicos. ^[5]

Véase también

• Estabilidad lineal
• Matriz de rigidez tangente
• Derivados de estabilidad
• Teorema de linealización
• Aproximación de Taylor
• Ecuación funcional (función L)
• Cuasilinealización

Referencias

1. El problema de linealización en sistemas dinámicos complejos de dimensión uno en Scholarpedia
2. Linealización. Universidad Johns Hopkins. Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computacional Archivado el 7 de junio de 2010 en Wayback Machine.
3. Leonov, GA; Kuznetsov, NV (2007). "Linealización variable en el tiempo y los efectos Perron". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 17 (4): 1079–1107. Código Bibliográfico :2007IJBC...17.1079L. doi :10.1142/S0218127407017732.
4. Moffatt, Mike. (2008) About.com State-Space Approach Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine. Glosario de economía; términos que comienzan con S. Consultado el 19 de junio de 2008.
5. Bagwell, S.; Ledger, PD; Gil, AJ; Mallett, M.; Kruip, M. (2017). "Un marco de elementos finitos hp linealizado para el acoplamiento acústico-magneto-mecánico en escáneres de resonancia magnética axisimétricos". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 112 (10): 1323–1352. Código Bibliográfico :2017IJNME.112.1323B. doi : 10.1002/nme.5559 .

Enlaces externos

Tutoriales de linealización

• Linealización para análisis de modelos y diseño de control