Segunda derivada

Operacion matematica

La segunda derivada de una función cuadrática es constante .

En cálculo , la derivada segunda , o derivada de segundo orden , de una función f es la derivada de la derivada de f . Informalmente, la segunda derivada puede expresarse como "la tasa de cambio de la tasa de cambio"; por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto, o la velocidad a la que la velocidad del objeto cambia con respecto al tiempo. En notación Leibniz :

$${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$

avtxx ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

En la gráfica de una función , la segunda derivada corresponde a la curvatura o concavidad de la gráfica. La gráfica de una función con una segunda derivada positiva es cóncava hacia arriba, mientras que la gráfica de una función con una segunda derivada negativa se curva en sentido opuesto.

Regla de la potencia de la segunda derivada

La regla de la potencia para la primera derivada, si se aplica dos veces, producirá la regla de la potencia de la segunda derivada de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

Notación

Generalmente se denota la segunda derivada de una función . ^{[1] [2]} Es decir: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f''(x)}$

$${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$

la notación de Leibnizyx

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

Ejemplo

Dada la función

$${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$

f

$${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$

f ${\displaystyle f'}$

$${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

Relación con el gráfico

Un gráfico de desde hasta . La línea tangente es azul donde la curva es cóncava hacia arriba, verde donde la curva es cóncava hacia abajo y roja en los puntos de inflexión (0, /2 y ). ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ ${\displaystyle -\pi /4}$ ${\displaystyle 5\pi /4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Concavidad

La segunda derivada de una función f se puede utilizar para determinar la concavidad de la gráfica de f . ^[2] Una función cuya segunda derivada es positiva se dice que es cóncava hacia arriba (también conocida como convexa), lo que significa que la línea tangente cerca del punto donde toca la función quedará debajo de la gráfica de la función. De manera similar, una función cuya segunda derivada es negativa será cóncava hacia abajo (a veces simplemente llamada cóncava) y su recta tangente quedará encima de la gráfica de la función cerca del punto de contacto.

Puntos de inflexión

Si la segunda derivada de una función cambia de signo, la gráfica de la función cambiará de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, o viceversa. Un punto donde esto ocurre se llama punto de inflexión . Suponiendo que la segunda derivada es continua, debe tomar un valor de cero en cualquier punto de inflexión, aunque no todos los puntos donde la segunda derivada es cero son necesariamente un punto de inflexión.

Prueba de la segunda derivada

La relación entre la segunda derivada y la gráfica se puede utilizar para probar si un punto estacionario para una función (es decir, un punto donde ) es un máximo local o un mínimo local . Específicamente, ${\displaystyle f'(x)=0}$

• Si , entonces tiene un máximo local en . ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Si , entonces tiene un mínimo local en . ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Si , la prueba de la segunda derivada no dice nada sobre el punto , un posible punto de inflexión. ${\displaystyle f''(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

La razón por la que la segunda derivada produce estos resultados puede verse mediante una analogía del mundo real. Considere un vehículo que al principio avanza a gran velocidad, pero con aceleración negativa. Claramente, la posición del vehículo en el punto donde la velocidad llega a cero será la distancia máxima desde la posición inicial; después de este tiempo, la velocidad se volverá negativa y el vehículo retrocederá. Lo mismo ocurre con el mínimo, con un vehículo que al principio tiene una velocidad muy negativa pero una aceleración positiva.

Límite

Es posible escribir un límite único para la segunda derivada:

$${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$$

El límite se llama segunda derivada simétrica . ^{[3] [4]} La segunda derivada simétrica puede existir incluso cuando la segunda derivada (habitual) no existe.

La expresión de la derecha se puede escribir como un cociente en diferencias de cocientes en diferencias:

$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$$

segunda diferenciasecuencias

Sin embargo, la existencia del límite anterior no significa que la función tenga una segunda derivada. El límite anterior simplemente brinda la posibilidad de calcular la segunda derivada, pero no proporciona una definición. Un contraejemplo es la función de signo , que se define como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

La función de signo no es continua en cero y, por tanto, la segunda derivada de no existe. Pero el límite anterior existe para : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

Aproximación cuadrática

Así como la primera derivada está relacionada con aproximaciones lineales , la segunda derivada está relacionada con la mejor aproximación cuadrática de una función f . Esta es la función cuadrática cuya primera y segunda derivadas son las mismas que las de f en un punto dado. La fórmula para la mejor aproximación cuadrática de una función f alrededor del punto x = a es

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$$

polinomio de Taylorx = a

Valores propios y vectores propios de la segunda derivada.

Para muchas combinaciones de condiciones de contorno se pueden obtener fórmulas explícitas para valores propios y vectores propios de la segunda derivada . Por ejemplo, suponiendo condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas (es decir, donde v es el vector propio), los valores propios son y los vectores propios correspondientes (también llamados funciones propias ) son . Aquí por .​ ${\displaystyle x\in [0,L]}$ ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$

Para otros casos conocidos, véase Valores propios y vectores propios de la segunda derivada .

Generalización a dimensiones superiores.

El arpillera

La segunda derivada se generaliza a dimensiones superiores mediante la noción de segundas derivadas parciales . Para una función f : R ³ → R , estos incluyen los tres parciales de segundo orden

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$$

Si tanto la imagen como el dominio de la función tienen potencial, entonces encajan en una matriz simétrica conocida como Hessiana . Los valores propios de esta matriz se pueden utilizar para implementar un análogo multivariable de la prueba de la segunda derivada. (Véase también la prueba de la segunda derivada parcial ).

El laplaciano

Otra generalización común de la segunda derivada es la laplaciana . Este es el operador diferencial (o ) definido por ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

divergenciagradientetraza

Ver también

• Chirpyness , segunda derivada de fase instantánea
• Diferencia finita , utilizada para aproximar la segunda derivada
• Prueba de la segunda derivada parcial
• Simetría de segundas derivadas.

Referencias

1. "Contenido: la segunda derivada". amsi.org.au. ​Consultado el 16 de septiembre de 2020 .
2. "Segundas derivadas". Matemáticas24 . Consultado el 16 de septiembre de 2020 .
3. A. Zygmund (2002). Serie trigonométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 22-23. ISBN 978-0-521-89053-3.
4. Thomson, Brian S. (1994). Propiedades simétricas de funciones reales . Marcel Dekker. pag. 1.ISBN​ 0-8247-9230-0.

Otras lecturas

Imprimir

• Antón, Howard; Bivens, Irlanda; Davis, Stephen (2 de febrero de 2005), Cálculo: Trascendentales tempranos simples y multivariables (8ª ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (junio de 1967), Cálculo, vol. 1: Cálculo de una variable con introducción al álgebra lineal, vol. 1 (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (junio de 1969), Cálculo, vol. 2: Cálculo multivariable y álgebra lineal con aplicaciones , vol. 1 (2ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (2 de enero de 1990), Introducción a la historia de las matemáticas (6ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (28 de febrero de 2006), Cálculo: funciones trascendentales tempranas (4ª ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (septiembre de 1994), Cálculo (3.ª ed.), Publicar o perecer, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (24 de diciembre de 2002), Cálculo (5ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (8 de septiembre de 1998), Calculus Made Easy (edición revisada, actualizada y ampliada), Nueva York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Libros en línea

• Crowell, Benjamin (2003), Cálculo
• Garrett, Paul (2004), Notas sobre cálculo del primer año
• Hussain, Faraz (2006), Comprensión del cálculo
• Keisler, H. Jerome (2000), Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales
• Mauch, Sean (2004), versión íntegra del libro de matemáticas aplicadas de Sean, archivado desde el original el 15 de abril de 2006
• Sloughter, Dan (2000), Ecuaciones en diferencias a ecuaciones diferenciales
• Strang, Gilbert (1991), Cálculo
• Stroyan, Keith D. (1997), Breve introducción al cálculo infinitesimal, archivado desde el original el 11 de septiembre de 2005
• Wikilibros, Cálculo

enlaces externos

• Segunda derivada discreta a partir de puntos espaciados desigualmente