Prueba de la segunda derivada parcial

Método en cálculo multivariable.

El hessiano aproxima la función en un punto crítico con un polinomio de segundo grado.

En matemáticas , la prueba de la segunda derivada parcial es un método de cálculo multivariable utilizado para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo , un máximo o un punto de silla local .

Funciones de dos variables.

Supongamos que f ( x , y ) es una función real diferenciable de dos variables cuyas segundas derivadas parciales existen y son continuas . La matriz de Hesse H de f es la matriz 2 × 2 de derivadas parciales de f :

$${\displaystyle H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

Definir D ( x , y ) como el determinante

$${\displaystyle D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x,y)\right)^{2}}$$

H.( a , b )ff _x ( a , b ) = f _y ( a , b ) = 0^[1]

1. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) > 0 entonces ( a , b ) es un mínimo local de f .
2. Si D ( a , b ) > 0 y f _xx ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un máximo local de f .
3. Si D ( a , b ) < 0 entonces ( a , b ) es un punto silla de f .
4. Si D ( a , b ) = 0 entonces el punto ( a , b ) podría ser cualquiera de los puntos mínimo, máximo o silla (es decir, la prueba no es concluyente).

A veces se utilizan otras versiones equivalentes de la prueba. En los casos 1 y 2, el requisito de que f _xx f _yy − f _xy ² sea positivo en ( x , y ) implica que f _xx y f _yy tienen el mismo signo allí. Por lo tanto, la segunda condición, que f _xx sea mayor (o menor) que cero, podría ser equivalente que f _yy o tr( H ) = f _xx + f _yy sea mayor (o menor) que cero en ese punto.

Una condición implícita en el enunciado de la prueba es que si o , debe ser el caso y por lo tanto sólo los casos 3 o 4 son posibles. ${\displaystyle f_{xx}=0}$ ${\displaystyle f_{yy}=0}$ ${\displaystyle D(a,b)\leq 0,}$

Funciones de muchas variables.

Para una función f de tres o más variables, existe una generalización de la regla anterior. En este contexto, en lugar de examinar el determinante de la matriz de Hesse, hay que observar los valores propios de la matriz de Hesse en el punto crítico. La siguiente prueba se puede aplicar en cualquier punto crítico para el cual la matriz de Hesse sea invertible :

1. Si el hessiano es positivo definido (de manera equivalente, tiene todos los valores propios positivos) en a , entonces f alcanza un mínimo local en a .
2. Si el hessiano es definido negativo (de manera equivalente, tiene todos los valores propios negativos) en a , entonces f alcanza un máximo local en a .
3. Si el hessiano tiene valores propios positivos y negativos, entonces a es un punto de silla para f (y de hecho esto es cierto incluso si a es degenerado).

En aquellos casos no enumerados anteriormente, la prueba no es concluyente. ^[2]

Para funciones de tres o más variables, el determinante del hessiano no proporciona suficiente información para clasificar el punto crítico, porque el número de condiciones de segundo orden conjuntamente suficientes es igual al número de variables, y la condición de signo del determinante de el hessiano es sólo una de las condiciones. Tenga en cuenta que en el caso de una variable, la condición de Hesse simplemente proporciona la prueba habitual de la segunda derivada .

En el caso de dos variables, y son los menores principales del Hesse. Las dos primeras condiciones enumeradas anteriormente sobre los signos de estos menores son las condiciones para la definición positiva o negativa del Hesse. Para el caso general de un número arbitrario n de variables, hay n condiciones de signo en los n menores principales de la matriz de Hesse que en conjunto son equivalentes a la precisión positiva o negativa de la matriz de Hesse ( criterio de Sylvester ): para un mínimo local, todas las los menores principales deben ser positivos, mientras que para un máximo local, los menores con un número impar de filas y columnas deben ser negativos y los menores con un número par de filas y columnas deben ser positivos. Consulte Matriz de Hesse # Hesse bordeado para obtener una discusión que generaliza estas reglas al caso de optimización con restricciones de igualdad. ${\displaystyle D(a,b)}$ ${\displaystyle f_{xx}(a,b)}$

Ejemplos

Puntos críticos de máximos (rojo) y puntos de silla (azul). ${\displaystyle f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$

Encontrar y clasificar los puntos críticos de la función.

${\displaystyle z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})}$,

primero establecemos las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)}$y ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)}$

igual a cero y resuelve las ecuaciones resultantes simultáneamente para encontrar los cuatro puntos críticos

${\displaystyle (0,0),(0,-1),(1,-1)}$y . ${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$

Para clasificar los puntos críticos, examinamos el valor del determinante D ( x , y ) del hessiano de f en cada uno de los cuatro puntos críticos. Tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right)^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Ahora conectamos todos los diferentes valores críticos que encontramos para etiquetarlos; tenemos

${\displaystyle D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.}$

Por lo tanto, la segunda prueba de la derivada parcial indica que f ( x , y ) tiene puntos silla en (0, −1) y (1, −1) y tiene un máximo local en since . En el punto crítico restante (0, 0) la prueba de la segunda derivada es insuficiente y se deben utilizar pruebas de orden superior u otras herramientas para determinar el comportamiento de la función en este punto. (De hecho, se puede demostrar que f toma valores tanto positivos como negativos en vecindades pequeñas alrededor de (0, 0) y, por lo tanto, este punto es un punto de silla de f .) ${\displaystyle \left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)}$ ${\displaystyle f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0}$

Notas

1. Stewart 2005, pag. 803.
2. Kurt Endl/Wolfgang Luh: Análisis II . Aula-Verlag 1972, 7.ª edición 1989, ISBN  3-89104-455-0 , págs. 248-258 (alemán)

Referencias

• Stewart, James (2005). Cálculo multivariable: conceptos y contextos . Brooks/Cole. ISBN 0-534-41004-9.

enlaces externos

• Mínimos y máximos relativos - Notas de matemáticas en línea de Paul - Notas de Calc III (Universidad de Lamar)
• Weisstein, Eric W. "Prueba de la segunda derivada". MundoMatemático .