Ecuación de película delgada

Ecuación diferencial que describe el espesor de una película líquida a lo largo del tiempo

En mecánica de fluidos , la ecuación de película delgada es una ecuación diferencial parcial que predice aproximadamente la evolución temporal del espesor h de una película de líquido que se encuentra sobre una superficie. La ecuación se deriva a través de la teoría de la lubricación que se basa en el supuesto de que las escalas de longitud en las direcciones de la superficie son significativamente mayores que en la dirección normal a la superficie. En la forma adimensional de la ecuación de Navier-Stokes , el requisito es que los términos de orden ε ² y ε ² Re sean despreciables, donde ε ≪ 1 es la relación de aspecto y Re es el número de Reynolds . Esto simplifica significativamente las ecuaciones que rigen. Sin embargo, la teoría de la lubricación, como sugiere el nombre, se deriva típicamente para el flujo entre dos superficies sólidas, por lo tanto, el líquido forma una capa lubricante . La ecuación de película delgada se cumple cuando hay una sola superficie libre . Con dos superficies libres, el flujo debe tratarse como una lámina viscosa . ^{[1] [2]}

Definición

La forma básica de una ecuación de película delgada bidimensional es ^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {Q} }$

donde esta el flujo del fluido ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {h^{3}}{3\mu }}\left[\nabla \right(\gamma \nabla ^{2}h+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{n}} )+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ]+{\frac {h^{2}}{2\mu }}\mathbf {A} }$,

y μ es la viscosidad (o viscosidad dinámica) del líquido, h ( x , y , t ) es el espesor de la película, γ es la tensión interfacial entre el líquido y la fase gaseosa sobre él, es la densidad del líquido y la cizalladura superficial. La cizalladura superficial podría ser causada por el flujo del gas suprayacente o gradientes de tensión superficial. ^{[6] [7]} Los vectores representan el vector unitario en las direcciones de coordenadas de la superficie, el producto escalar sirve para identificar el componente de gravedad en cada dirección. El vector es el vector unitario perpendicular a la superficie. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$

En la SIAM ( Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas ) se analiza una ecuación generalizada de película delgada ^[5].

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{n}\,\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h\right)\right)}$.

Cuando esto puede representar flujo con deslizamiento en la superficie sólida, describe el espesor de un puente delgado entre dos masas de fluido en una celda de Hele-Shaw . ^[8] El valor representa el flujo impulsado por la tensión superficial. ${\displaystyle n<3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=3}$

Una forma frecuentemente investigada con respecto a la ruptura de películas delgadas de líquido implica la adición de una presión disjunta Π( h ) en la ecuación, ^[9] como en

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{3}\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h-\Pi (h)\right)\right)}$

donde la función Π( h ) suele tener un valor muy pequeño para espesores de película h moderados a grandes y crece muy rápidamente cuando h se acerca mucho a cero.

Propiedades

Las aplicaciones físicas, las propiedades y el comportamiento de la solución de la ecuación de película delgada se revisan en Reviews of Modern Physics ^[3] y SIAM. ^[5] Con la inclusión del cambio de fase en el sustrato, se deriva una forma de ecuación de película delgada para una superficie arbitraria en Physics of Fluids . ^[10] Un estudio detallado del flujo constante de una película delgada cerca de una línea de contacto móvil se proporciona en otro artículo de SIAM. ^[11] Para un flujo de fluido de tensión de fluencia impulsado por la gravedad y la tensión superficial, se investiga en Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. ^[12]

Para un flujo impulsado puramente por tensión superficial, es fácil ver que una solución estática (independiente del tiempo) es un paraboloide de revolución.

${\displaystyle h(x,y)=A-B(x^{2}+y^{2})\,}$

y esto es consistente con la forma de casquete esférico observada experimentalmente de una gota sésil estática , ya que un casquete esférico "plano" que tiene una altura pequeña se puede aproximar con precisión en segundo orden con un paraboloide. Esto, sin embargo, no maneja correctamente la circunferencia de la gota donde el valor de la función h ( x , y ) cae a cero y por debajo, ya que una película de líquido físico real no puede tener un espesor negativo. Esta es una razón por la que el término de presión disjunta Π( h ) es importante en la teoría.

Una forma realista posible del término de presión disjunta es ^[9]

${\displaystyle \Pi (h)=B\left[\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{n}-\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{m}\right]}$

donde B , h _* , m y n son algunos parámetros. Estas constantes y la tensión superficial se pueden relacionar aproximadamente con el ángulo de contacto líquido-sólido de equilibrio a través de la ecuación ^{[9] [13]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta _{e}}$

${\displaystyle B\approx {\frac {(m-1)(n-1)}{h_{*}(n-m)}}\gamma (1-\cos \theta _{e})}$.

La ecuación de película delgada se puede utilizar para simular varios comportamientos de líquidos, como la inestabilidad de digitación en el flujo impulsado por la gravedad. ^[14]

La falta de una derivada temporal de segundo orden en la ecuación de película delgada es el resultado de la suposición de un número de Reynolds pequeño en su derivación, lo que permite ignorar los términos inerciales que dependen de la densidad del fluido . ^[14] Esto es algo similar a la situación con la ecuación de Washburn , que describe el flujo impulsado por capilaridad de un líquido en un tubo delgado. ${\displaystyle \rho }$

Véase también

• Ecuación diferencial parcial
• Teoría de la lubricación
• Presión disgregadora

Referencias

1. Fliert, BW Van De; Howell, PD; Ockenden, JR (junio de 1995). "Flujo impulsado por presión de una lámina viscosa delgada". Journal of Fluid Mechanics . 292 : 359–376. Bibcode :1995JFM...292..359V. doi :10.1017/S002211209500156X. ISSN  1469-7645. S2CID  120047555.
2. Buckmaster, JD; Nachman, A.; Ting, L. (mayo de 1975). "El pandeo y el estiramiento de una víscida". Revista de mecánica de fluidos . 69 (1): 1–20. Bibcode :1975JFM....69....1B. doi :10.1017/S0022112075001279. ISSN  1469-7645. S2CID  120390660.
3. A. Oron, SH Davis, SG Bankoff, "Evolución a larga escala de películas líquidas delgadas", Rev. Mod. Phys., 69, 931–980 (1997)
4. H. Knüpfer, "Soluciones clásicas para una ecuación de película delgada", tesis doctoral, Universidad de Bonn.
5. Myers, TG (enero de 1998). "Películas delgadas con alta tensión superficial". SIAM Review . 40 (3): 441–462. Bibcode :1998SIAMR..40..441M. doi :10.1137/S003614459529284X. ISSN  0036-1445.
6. O'Brien, SBGM (septiembre de 1993). "Sobre el secado de Marangoni: ondas cinemáticas no lineales en una película delgada". Journal of Fluid Mechanics . 254 : 649–670. Bibcode :1993JFM...254..649O. doi :10.1017/S0022112093002290. ISSN  0022-1120. S2CID  122742594.
7. Myers, TG; Charpin, JPF; Thompson, CP (enero de 2002). "Acreción lenta de hielo debido al impacto del agua superenfriada sobre una superficie fría". Física de fluidos . 14 (1): 240–256. Bibcode :2002PhFl...14..240M. doi :10.1063/1.1416186. ISSN  1070-6631.
8. Constantin, Peter; Dupont, Todd F.; Goldstein, Raymond E.; Kadanoff, Leo P.; Shelley, Michael J.; Zhou, Su-Min (1993-06-01). "Desintegración de gotitas en un modelo de la célula de Hele-Shaw". Physical Review E . 47 (6): 4169–4181. Bibcode :1993PhRvE..47.4169C. doi :10.1103/PhysRevE.47.4169. ISSN  1063-651X. PMID  9960494.
9. LW Schwartz, RV Roy, RR Eley, S. Petrash, "Patrones de deshumectación en una película de líquido secante Archivado el 11 de junio de 2010 en Wayback Machine ", Journal of Colloid and Interface Science , 243, 363374 (2001).
10. Myers, TG; Charpin, JPF; Chapman, SJ (agosto de 2002). "El flujo y la solidificación de una película fina de fluido sobre una superficie tridimensional arbitraria". Física de fluidos . 14 (8): 2788–2803. Bibcode :2002PhFl...14.2788M. doi :10.1063/1.1488599. hdl : 2117/102903 . ISSN  1070-6631.
11. Tuck, EO; Schwartz, LW (septiembre de 1990). "Un estudio numérico y asintótico de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias de tercer orden relevantes para los flujos de drenaje y revestimiento". SIAM Review . 32 (3): 453–469. doi :10.1137/1032079. ISSN  0036-1445.
12. Balmforth, Neil; Ghadge, Shilpa; Myers, Tim (marzo de 2007). "Digitación impulsada por la tensión superficial de una película viscoplástica". Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics . 142 (1–3): 143–149. doi :10.1016/j.jnnfm.2006.07.011.
13. NV Churaev, VD Sobolev, Adv. Colloid Interface Sci. 61 (1995) 1-16
14. L. Kondic, "Inestabilidades en el flujo impulsado por la gravedad de películas líquidas delgadas", SIAM Review, 45, 95–115 (2003)

Enlaces externos

• Películas delgadas viscosas - Instituto Max Planck