Funciones especiales

Funciones matemáticas con nombres y notaciones establecidas.

Las funciones especiales son funciones matemáticas particulares que tienen nombres y notaciones más o menos establecidos debido a su importancia en el análisis matemático , análisis funcional , geometría , física u otras aplicaciones.

El término se define por consenso y, por tanto, carece de una definición formal general, pero la lista de funciones matemáticas contiene funciones que se aceptan comúnmente como especiales.

Tablas de funciones especiales

Muchas funciones especiales aparecen como soluciones de ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales . Por lo tanto, las tablas de integrales ^[1] suelen incluir descripciones de funciones especiales, y las tablas de funciones especiales ^[2] incluyen las integrales más importantes; al menos, la representación integral de funciones especiales. Debido a que las simetrías de ecuaciones diferenciales son esenciales tanto para la física como para las matemáticas, la teoría de funciones especiales está estrechamente relacionada con la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie , así como con ciertos temas de la física matemática .

Los motores de cálculo simbólicos suelen reconocer la mayoría de funciones especiales.

Notaciones utilizadas para funciones especiales.

Las funciones con notaciones internacionales establecidas son el seno ( ), el coseno ( ), la función exponencial ( ) y la función de error ( o ). ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

Algunas funciones especiales tienen varias notaciones:

• El logaritmo natural puede denotarse por , , o según el contexto. ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log _{e}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$
• La función tangente puede denotarse como , o ( se utiliza en varios idiomas europeos). ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \operatorname {Tan} }$ ${\displaystyle \operatorname {tg} }$ ${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• Arctangente puede denotarse por , , o . ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle \operatorname {atan} }$ ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$ ${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• Las funciones de Bessel pueden denotarse
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

Los subíndices se utilizan a menudo para indicar argumentos, normalmente números enteros. En algunos casos, el punto y coma (;) o incluso la barra invertida (\) se utilizan como separador. En este caso, la traducción a lenguajes algorítmicos admite ambigüedad y puede dar lugar a confusión.

Los superíndices pueden indicar no sólo exponenciación, sino también modificación de una función. Los ejemplos (particularmente con funciones trigonométricas e hiperbólicas ) incluyen:

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$normalmente significa ${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$es típicamente , pero nunca ${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$ ${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$normalmente significa , no ; esto puede causar confusión, ya que el significado de este superíndice es inconsistente con los demás. ${\displaystyle \arccos(x)}$ ${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$

Evaluación de funciones especiales.

La mayoría de las funciones especiales se consideran función de una variable compleja . Son analíticos ; se describen las singularidades y cortes; se conocen las representaciones diferencial e integral y se dispone de la expansión a series de Taylor o series asintóticas . Además, en ocasiones existen relaciones con otras funciones especiales; una función especial complicada se puede expresar en términos de funciones más simples. Se pueden utilizar varias representaciones para la evaluación; La forma más sencilla de evaluar una función es expandirla a una serie de Taylor. Sin embargo, dicha representación puede converger lentamente o no converger en absoluto. En los lenguajes algorítmicos, normalmente se utilizan aproximaciones racionales , aunque pueden comportarse mal en el caso de argumentos complejos.

Historia de funciones especiales.

teoría clásica

Si bien la trigonometría y las funciones exponenciales fueron sistematizadas y unificadas en el siglo XVIII, la búsqueda de una teoría completa y unificada de funciones especiales ha continuado desde el siglo XIX. El punto culminante de la teoría de funciones especiales en 1800-1900 fue la teoría de las funciones elípticas ; tratados que eran esencialmente completos, como el de Tannery y Molk , ^[3] exponían todas las identidades básicas de la teoría utilizando técnicas de la teoría analítica de funciones (basada en el análisis complejo ). El final del siglo también vio una discusión muy detallada sobre los armónicos esféricos .

Motivaciones cambiantes y fijas.

Mientras que los matemáticos puros buscaban una teoría amplia que derivara la mayor cantidad posible de funciones especiales conocidas a partir de un solo principio, durante mucho tiempo las funciones especiales fueron competencia de las matemáticas aplicadas . Las aplicaciones a las ciencias físicas y la ingeniería determinaron la importancia relativa de las funciones. Antes del cálculo electrónico , la importancia de una función especial se afirmaba mediante el laborioso cálculo de tablas de valores extendidas para una fácil consulta , al igual que las conocidas tablas de logaritmos . ( El motor diferencial de Babbage fue un intento de calcular dichas tablas). Para ello, las técnicas principales son:

• análisis numérico , descubrimiento de series infinitas u otras expresiones analíticas que permitan un cálculo rápido; y
• reducción de tantas funciones como sea posible a la función dada.

Las preguntas más teóricas incluyen: análisis asintótico ; continuación analítica y monodromía en el plano complejo ; y principios de simetría y otras ecuaciones estructurales.

Siglo veinte

El siglo XX vio varias oleadas de interés en la teoría de funciones especiales. El clásico libro de texto de Whittaker y Watson (1902) ^[4] buscó unificar la teoría mediante análisis complejos; el tomo de GN Watson Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel impulsó las técnicas lo más lejos posible para un tipo importante, incluidos los resultados asintóticos.

El posterior Proyecto de Manuscrito Bateman , bajo la dirección de Arthur Erdélyi , intentó ser enciclopédico y surgió en la época en que la computación electrónica estaba pasando a primer plano y la tabulación dejó de ser el tema principal.

Teorías contemporáneas

La teoría moderna de los polinomios ortogonales tiene un alcance definido pero limitado. Las series hipergeométricas , consideradas importantes por Felix Klein en astronomía y física matemática , ^[5] se convirtieron en una teoría intrincada, que necesitaba una disposición conceptual posterior. Los grupos de mentiras , y en particular su teoría de la representación , explican lo que puede ser una función esférica en general; a partir de 1950, partes sustanciales de la teoría clásica pudieron reformularse en términos de grupos de Lie. Además, el trabajo sobre combinatoria algebraica también revivió el interés en partes más antiguas de la teoría. Las conjeturas de Ian G. Macdonald ayudaron a abrir nuevos campos amplios y activos con el típico sabor de función especial. Las ecuaciones en diferencias han comenzado a ocupar su lugar junto a las ecuaciones diferenciales como fuente de funciones especiales.

Funciones especiales en teoría de números.

En teoría de números tradicionalmente se han estudiado ciertas funciones especiales, como las series particulares de Dirichlet y las formas modulares . Allí se reflejan casi todos los aspectos de la teoría de funciones especiales, así como algunos nuevos, como los que surgieron de la monstruosa teoría del alcohol ilegal.

Funciones especiales de argumentos matriciales.

Se han definido análogos de varias funciones especiales en el espacio de matrices definidas positivas , entre ellas la función de potencia que se remonta a Atle Selberg , ^[6] la función gamma multivariada , ^[7] y tipos de funciones de Bessel . ^[8]

La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST tiene una sección que cubre varias funciones especiales de argumentos matriciales. ^[9]

Investigadores

• George Andrews
• Richard Askey
• Harold Extón
• George Gaspar
• Wolfgang Hahn
• Mizan Rahman
• Mourad EH Ismail
• Tom Koornwinder
• Waleed Al-Salam
• Dennis Stanton
• Theodore S. Chihara
• James Wilson
• Erik Koelink
• Eric Lluvias
• Arpad Baricz

Ver también

• Lista de funciones matemáticas
• Lista de funciones especiales y epónimos.
• Función elemental

Referencias

1. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Manual de funciones matemáticas. Departamento de Comercio de EE. UU., Oficina Nacional de Normas.
3. Curtiduría, Jules (1972). Elementos de la teoría de las funciones elípticas. Chelsea. ISBN 0-8284-0257-4. OCLC  310702720.
4. Whittaker, et al; Watson, GN (13 de septiembre de 1996). Un curso de análisis moderno. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-58807-2.
5. Vilenkin, Nueva Jersey (1968). Funciones especiales y teoría de las representaciones grupales . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . pag. III. ISBN 978-0-8218-1572-4.
6. Terras 2016, pag. 44.
7. Terras 2016, pag. 47.
8. Terras 2016, págs. 56 y siguientes.
9. D. St. P. Richards (sin fecha). "Capítulo 35 Funciones del argumento matricial". Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas . Consultado el 23 de julio de 2022 .

Bibliografía

• Andrews, George E .; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999). Funciones especiales . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 71. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-62321-6. SEÑOR  1688958.
• Terras, Audrey (2016). Análisis armónico en espacios simétricos: espacios de rango superior, espacio matricial definido positivo y generalizaciones (segunda ed.). Naturaleza Springer . ISBN 978-1-4939-3406-5. SEÑOR  3496932.
• Whittaker, et al; Watson, GN (13 de septiembre de 1996). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-58807-2 . 

enlaces externos

• Instituto Nacional de Estándares y Tecnología , Departamento de Comercio de Estados Unidos. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST. Archivado desde el original el 13 de diciembre de 2018.
• Weisstein, Eric W. "Función especial". MundoMatemático .
• Calculadora en línea, Calculadora científica en línea con más de 100 funciones (>=32 dígitos, muchas complejas) (idioma alemán)
• Funciones especiales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas
• Funciones especiales y polinomios por Gerard 't Hooft y Stefan Nobbenhuis (8 de abril de 2013)
• Métodos numéricos para funciones especiales, por A. Gil, J. Segura, NM Temme (2007).
• R. Jagannathan, (P,Q) -Funciones especiales
• Funciones especialeswiki