Las tablas matemáticas son listas de números que muestran los resultados de un cálculo con distintos argumentos. Las tablas trigonométricas se utilizaron en la antigua Grecia y la India para aplicaciones de astronomía y navegación celeste , y continuaron utilizándose ampliamente hasta que las calculadoras electrónicas se volvieron baratas y abundantes en la década de 1970, con el fin de simplificar y acelerar drásticamente el cálculo . Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias, y se publicaron tablas especializadas para numerosas aplicaciones.
Las primeras tablas de funciones trigonométricas que se sabe fueron elaboradas por Hiparco (c.190 – c.120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.), pero ambas se han perdido. Junto con la tabla superviviente de Ptolomeo (c. 90 – c. 168 d. C.), todas eran tablas de acordes y no de medias cuerdas, es decir, la función seno . [1] La tabla producida por el matemático indio Āryabhaṭa (476–550 d.C.) se considera la primera tabla de senos jamás construida. [1] La mesa de Āryabhaṭa siguió siendo la mesa sinusoidal estándar de la antigua India. Hubo continuos intentos de mejorar la precisión de esta tabla, que culminaron con el descubrimiento de las expansiones en series de potencias de las funciones seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), y la tabulación de una tabla de senos por Madhava. con valores con una precisión de siete u ocho decimales.
Las tablas de logaritmos comunes se utilizaron hasta la invención de las computadoras y las calculadoras electrónicas para realizar multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones rápidas, incluida la extracción de raíces enésimas .
En el siglo XIX se propusieron computadoras mecánicas de propósito especial conocidas como motores diferenciales para tabular aproximaciones polinómicas de funciones logarítmicas, es decir, para calcular tablas logarítmicas grandes. Esto fue motivado principalmente por errores en las tablas logarítmicas realizadas por las computadoras humanas de la época. Las primeras computadoras digitales se desarrollaron durante la Segunda Guerra Mundial en parte para producir tablas matemáticas especializadas para apuntar artillería . A partir de 1972, con el lanzamiento y el creciente uso de las calculadoras científicas , la mayoría de las tablas matemáticas quedaron en desuso.
Uno de los últimos esfuerzos importantes para construir tales tablas fue el Proyecto de Tablas Matemáticas que se inició en los Estados Unidos en 1938 como un proyecto de la Works Progress Administration (WPA), empleando a 450 empleados desempleados para tabular funciones matemáticas superiores. Duró durante la Segunda Guerra Mundial. [2]
Todavía se utilizan tablas de funciones especiales . Por ejemplo, el uso de tablas de valores de la función de distribución acumulativa de la distribución normal (las llamadas tablas normales estándar ) sigue siendo común hoy en día, especialmente en las escuelas, aunque el uso de calculadoras científicas y gráficas, así como de computadoras personales, está haciendo que tal uso sea común. tablas redundantes.
La creación de tablas almacenadas en la memoria de acceso aleatorio es una técnica de optimización de código común en la programación de computadoras, donde el uso de dichas tablas acelera los cálculos en aquellos casos en los que la búsqueda de una tabla es más rápida que los cálculos correspondientes (particularmente si la computadora en cuestión no tener una implementación hardware de los cálculos). En esencia, se cambia la velocidad de cálculo por el espacio de memoria de la computadora necesario para almacenar las tablas.
Las tablas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaban ampliamente en cálculos antes de la llegada de las calculadoras electrónicas y las computadoras porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles. Los logaritmos de base 10 tienen una propiedad adicional que es única y útil: el logaritmo común de números mayores que uno que difieren solo en un factor de una potencia de diez tiene la misma parte fraccionaria, conocida como mantisa . Las tablas de logaritmos comunes normalmente incluían sólo las mantisas ; la parte entera del logaritmo, conocida como característica , podría determinarse fácilmente contando dígitos en el número original. Un principio similar permite el cálculo rápido de logaritmos de números positivos menores que 1. Por tanto, se puede utilizar una única tabla de logaritmos comunes para todo el rango de números decimales positivos. [3] Véase logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.
En 1544, Michael Stifel publicó Arithmetica integra , que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que ha sido considerada una versión temprana de una tabla logarítmica. [4] [5] [6]
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). [7] El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con logaritmos naturales . El matemático inglés Henry Briggs visitó Napier en 1615 y propuso un cambio de escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada. En 1617, publicaron Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que daba una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto decimal. Antes de la invención de Napier, existían otras técnicas de alcance similar, como el uso de tablas de progresiones, ampliamente desarrolladas por Jost Bürgi alrededor de 1600. [8] [9]
El avance computacional disponible a través de los logaritmos comunes, lo contrario de los números potenciados o la notación exponencial , fue tal que hizo que los cálculos manuales fueran mucho más rápidos.
Los cálculos trigonométricos jugaron un papel importante en los primeros estudios de la astronomía. Las primeras tablas se construyeron aplicando repetidamente identidades trigonométricas (como las identidades de medio ángulo y suma de ángulos) para calcular nuevos valores a partir de los antiguos.
Para calcular la función seno de 75 grados, 9 minutos, 50 segundos usando una tabla de funciones trigonométricas como la tabla de Bernegger de 1619 ilustrada arriba, uno podría simplemente redondear a 75 grados, 10 minutos y luego encontrar la entrada de 10 minutos en la tabla. Página de 75 grados, que se muestra arriba a la derecha, que es 0,9666746.
Sin embargo, esta respuesta sólo tiene una precisión de cuatro decimales. Si se quisiera mayor precisión, se podría interpolar linealmente de la siguiente manera:
De la mesa de Bernegger:
La diferencia entre estos valores es 0,0000745.
Como hay 60 segundos en un minuto de arco, multiplicamos la diferencia por 50/60 para obtener una corrección de (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; y luego agregue esa corrección al pecado (75° 9′) para obtener:
Una calculadora moderna da sen(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, por lo que nuestra respuesta interpolada tiene una precisión de 7 dígitos de la tabla de Bernegger.
Para tablas con mayor precisión (más dígitos por valor), es posible que se necesite una interpolación de orden superior para obtener una precisión total. [10] En la era anterior a las computadoras electrónicas, interpolar datos de tablas de esta manera era la única forma práctica de obtener valores de alta precisión de las funciones matemáticas necesarias para aplicaciones como la navegación, la astronomía y la topografía.
Para comprender la importancia de la precisión en aplicaciones como la navegación, tenga en cuenta que, al nivel del mar, un minuto de arco a lo largo del ecuador de la Tierra o de un meridiano (de hecho, cualquier círculo máximo ) equivale a una milla náutica (aproximadamente 1,852 km o 1,151 mi).
