Ecuación diferencial parcial estocástica

Las ecuaciones diferenciales estocásticas parciales ( SPDE ) generalizan las ecuaciones diferenciales parciales mediante términos y coeficientes de fuerza aleatorios, de la misma manera que las ecuaciones diferenciales estocásticas ordinarias generalizan las ecuaciones diferenciales ordinarias .

Tienen relevancia para la teoría cuántica de campos , la mecánica estadística y el modelado espacial . ^{[1] [2]}

Ejemplos

Una de las SPDE más estudiadas es la ecuación del calor estocástico , ^[3] que puede escribirse formalmente como

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

donde es el laplaciano y denota ruido blanco espacio-temporal . Otros ejemplos también incluyen versiones estocásticas de famosas ecuaciones lineales, como la ecuación de onda ^[4] y la ecuación de Schrödinger . ^[5] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \xi }$

Discusión

Una dificultad es su falta de regularidad. En el espacio unidimensional, las soluciones de la ecuación del calor estocástico son sólo casi 1/2- Hölder continuas en el espacio y 1/4-Hölder continuas en el tiempo. Para dimensiones dos y superiores, las soluciones ni siquiera tienen valores de función, sino que pueden entenderse como distribuciones aleatorias .

Para las ecuaciones lineales, normalmente se puede encontrar una solución suave mediante técnicas de semigrupos . ^[6]

Sin embargo, empiezan a aparecer problemas al considerar ecuaciones no lineales. Por ejemplo

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

donde es un polinomio. En este caso ni siquiera está claro cómo debería entenderse la ecuación. Tal ecuación tampoco tendrá una solución valorada en función en una dimensión mayor que uno y, por lo tanto, no tendrá significado puntual. Es bien sabido que el espacio de distribuciones no tiene estructura de producto. Éste es el problema central de tal teoría. Esto lleva a la necesidad de alguna forma de renormalización . ${\displaystyle P}$

Un primer intento de sortear estos problemas para algunas ecuaciones específicas fue el llamado truco de Prato-Debussche, que implicaba estudiar ecuaciones no lineales como perturbaciones de las lineales. ^[7] Sin embargo, esto sólo se puede utilizar en entornos muy restrictivos, ya que depende tanto del factor no lineal como de la regularidad del término de ruido de conducción. En los últimos años, este campo se ha ampliado drásticamente y ahora existe un gran mecanismo para garantizar la existencia local de una variedad de SPDE subcríticas . ^[8]

Ver también

• superficie browniana
• Ecuación de Kardar-Parisi-Zhang
• ecuación de Kushner
• Cálculo de Malliavin
• Caos polinómico
• Producto de mecha
• ecuación de zakai

Referencias

1. Prevôt, Claudia; Rockner, Michael (2007). Un curso conciso sobre ecuaciones diferenciales parciales estocásticas. Apuntes de conferencias de matemáticas. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.
2. Krainski, Elías T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, finlandés; Rue, Håvard (2018). Modelado espacial avanzado con ecuaciones diferenciales parciales estocásticas utilizando R e INLA. Boca Ratón, FL: Chapman y Hall/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.
3. Edwards, SF; Wilkinson, DR (8 de mayo de 1982). "Las estadísticas de superficie de un agregado granular". Proc. R. Soc. Londres. A . 381 (1780): 17–31. Código Bib : 1982RSPSA.381...17E. doi :10.1098/rspa.1982.0056. JSTOR  2397363.
4. Dalang, Robert C.; Frangos, NE (1998). "La ecuación de onda estocástica en dos dimensiones espaciales". Los anales de la probabilidad . 26 (1): 187–212. doi : 10.1214/aop/1022855416. ISSN  0091-1798. JSTOR  2652898.
5. Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. (24 de noviembre de 1997). "La ecuación de Schrödinger estocástica no markoviana para sistemas abiertos". Letras de Física A. 235 (6): 569–573. arXiv : quant-ph/9706050 . Código bibliográfico : 1997PhLA..235..569D. doi :10.1016/S0375-9601(97)00717-2. ISSN  0375-9601.
6. Walsh, John B. (1986). "Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas". En Carmona, René; Kesten, Harry; Walsh, John B.; Hennequin, PL (eds.). École d'Été de Probabilités de Saint Flour XIV - 1984 . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1180. Springer Berlín Heidelberg. págs. 265–439. doi :10.1007/bfb0074920. ISBN 978-3-540-39781-6.
7. Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud (2003). "Soluciones sólidas para las ecuaciones de cuantificación estocástica". Anales de probabilidad . 31 (4): 1900-1916. JSTOR  3481533.
8. Corwin, Iván; Shen, Hao (2020). "Algunos avances recientes en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas singulares". Toro. América. Matemáticas. Soc . 57 (3): 409–454. doi : 10.1090/bull/1670 .

Otras lecturas

• Bain, A.; Crisan, D. (2009). Fundamentos del filtrado estocástico . Modelización estocástica y probabilidad aplicada. vol. 60. Nueva York: Springer. ISBN 978-0387768953.
• Holden, H.; Øksendal, B.; Uboe, J.; Zhang, T. (2010). Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas: un enfoque funcional de modelado y ruido blanco . Universitext (2ª ed.). Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.
• Lindgren, F.; Rue, H.; Lindstrom, J. (2011). "Un vínculo explícito entre campos gaussianos y campos aleatorios gaussianos de Markov: el enfoque estocástico de la ecuación diferencial parcial". Revista de la Royal Statistical Society Serie B: Metodología estadística . 73 (4): 423–498. doi :10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412.
• Xiu, D. (2010). Métodos numéricos para cálculos estocásticos: un enfoque de método espectral . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14212-8.

enlaces externos

• "Un minicurso sobre ecuaciones diferenciales parciales estocásticas" (PDF) . 2006.
• Hairer, Martín (2009). "Una introducción a las PDE estocásticas". arXiv : 0907.4178 [matemáticas.PR].