Ecuación de Kushner

En teoría de filtrado, la ecuación de Kushner (en honor a Harold Kushner ) es una ecuación para la densidad de probabilidad condicional del estado de un sistema dinámico no lineal estocástico , dadas mediciones ruidosas del estado. ^[1] Por lo tanto, proporciona la solución del problema de filtrado no lineal en teoría de estimación . La ecuación a veces se conoce como ecuación de Stratonovich-Kushner ^{[2] [3] [4] [5] (o} ecuación de Kushner-Stratonovich) . Sin embargo, la ecuación correcta en términos del cálculo de Itō fue derivada por primera vez por Kushner, aunque una versión más heurística de Stratonovich ya apareció en los trabajos de Stratonovich a fines de los años cincuenta. Sin embargo, la derivación en términos del cálculo de Itō se debe a Richard Bucy. ^{[6] [ aclaración necesaria ]}

Descripción general

Supongamos que el estado del sistema evoluciona de acuerdo con

${\displaystyle dx=f(x,t)\,dt+\sigma \,dw}$

y está disponible una medición ruidosa del estado del sistema:

${\displaystyle dz=h(x,t)\,dt+\eta \,dv}$

donde w , v son procesos de Wiener independientes . Entonces la densidad de probabilidad condicional p ( x ,  t ) del estado en el tiempo t está dada por la ecuación de Kushner:

${\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}h(x,t)-E_{t}h(x,t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-E_{t}h(x,t)dt{\big )}.}$

dónde

${\displaystyle L[p]:=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum (\sigma \sigma ^{\top })_{i,j}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

es el operador de avance de Kolmogorov y

${\displaystyle dp(x,t)=p(x,t+dt)-p(x,t)}$

es la variación de la probabilidad condicional.

El término es innovación , es decir, la diferencia entre la medida y su valor esperado. ${\displaystyle dz-E_{t}h(x,t)dt}$

Filtro Kalman-Bucy

Se puede utilizar la ecuación de Kushner para derivar el filtro de Kalman-Bucy para un proceso de difusión lineal. Supongamos que tenemos y . La ecuación de Kushner estará dada por ${\displaystyle f(x,t)=Ax}$ ${\displaystyle h(x,t)=Cx}$

${\displaystyle dp(x,t)=L[p(x,t)]dt+p(x,t){\big (}Cx-C\mu (t){\big )}^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )},}$

donde es la media de la probabilidad condicional en el tiempo . Multiplicando por e integrando sobre ella, obtenemos la variación de la media ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\mu (t)=A\mu (t)dt+\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}{\big (}dz-C\mu (t)dt{\big )}.}$

Asimismo, la variación de la varianza viene dada por ${\displaystyle \Sigma (t)}$

${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}\Sigma (t)=A\Sigma (t)+\Sigma (t)A^{\top }+\sigma ^{\top }\sigma -\Sigma (t)C^{\top }\eta ^{-\top }\eta ^{-1}C\,\Sigma (t).}$

La probabilidad condicional se da entonces en cada instante mediante una distribución normal . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu (t),\Sigma (t))}$

Véase también

• Ecuación de Zakai

Referencias

1. Kushner, HJ (1964). "Sobre las ecuaciones diferenciales satisfechas por densidades de probabilidad condicional de procesos de Markov, con aplicaciones". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Serie A: Control . 2 (1): 106–119. doi :10.1137/0302009.
2. Stratonovich, RL (1959). Sistemas no lineales óptimos que provocan una separación de una señal con parámetros constantes del ruido . Radiofizika, 2:6, págs. 892–901.
3. Stratonovich, RL (1959). Sobre la teoría del filtrado no lineal óptimo de funciones aleatorias . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 4, págs. 223-225.
4. Stratonovich, RL (1960) Aplicación de la teoría de procesos de Markov al filtrado óptimo . Ingeniería de radio y física electrónica, 5:11, págs. 1–19.
5. Stratonovich, RL (1960). Procesos condicionales de Markov . Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 5, págs. 156-178.
6. Bucy, RS (1965). "Teoría del filtrado no lineal". IEEE Transactions on Automatic Control . 10 (2): 198. doi :10.1109/TAC.1965.1098109.