Caos polinómico

El caos polinomial (PC) , también llamado expansión del caos polinómico ( PCE ) y expansión del caos de Wiener , es un método para representar una variable aleatoria en términos de una función polinómica de otras variables aleatorias. Los polinomios se eligen para que sean ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad conjunta de estas variables aleatorias. Tenga en cuenta que, a pesar de su nombre, PCE no tiene conexiones inmediatas con la teoría del caos . La palabra "caos" aquí debe entenderse como "aleatorio". ^[1]

El PCE fue introducido por primera vez en 1938 por Norbert Wiener utilizando polinomios de Hermite para modelar procesos estocásticos con variables aleatorias gaussianas . ^[2] Fue introducido a la comunidad de física e ingeniería por R. Ghanem y PD Spanos en 1991 ^[3] y generalizado a otras familias de polinomios ortogonales por D. Xiu y GE Karniadakis en 2002. ^[4] Pruebas de existencia matemáticamente rigurosas y La convergencia del PCE generalizado fue dada por OG Ernst y sus compañeros de trabajo en 2011. ^[5]

PCE ha encontrado un uso generalizado en ingeniería y ciencias aplicadas porque permite abordar la incertidumbre probabilística en los parámetros de un sistema. En particular, el PCE se ha utilizado como modelo sustituto para facilitar los análisis de cuantificación de la incertidumbre . ^{[6] [7]} El PCE también se ha utilizado ampliamente en el análisis estocástico de elementos finitos ^[3] y para determinar la evolución de la incertidumbre en un sistema dinámico cuando existe incertidumbre probabilística en los parámetros del sistema. ^[8]

Principios fundamentales

La expansión del caos polinomial (PCE) proporciona una manera de representar una variable aleatoria con varianza finita (es decir, ) en función de un vector aleatorio de dimensiones , utilizando una base polinómica que es ortogonal con respecto a la distribución de este vector aleatorio. El PCE prototípico se puede escribir como: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)<\infty }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}\Psi _{i}(\mathbf {X} ).}$

En esta expresión, es un coeficiente y denota una función de base polinómica. Según la distribución de , se distinguen distintos tipos de PCE. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Caos del polinomio de Hermite

La formulación PCE original utilizada por Norbert Wiener ^[2] se limitaba al caso en el que es un vector aleatorio con una distribución gaussiana. Considerando solo el caso unidimensional (es decir, y ), la función de base polinómica ortogonal con respecto a la distribución gaussiana es el conjunto de polinomios de Hermite de -ésimo grado . El PCE de puede entonces escribirse como: ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle M=1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathbb {N} }c_{i}H_{i}(X)}$.

Caos polinomial generalizado

Xiu (en su doctorado con Karniadakis en la Universidad de Brown) generalizó el resultado de Cameron-Martin a varias distribuciones continuas y discretas utilizando polinomios ortogonales del llamado esquema de Askey y demostró convergencia en el espacio funcional de Hilbert correspondiente. Esto se conoce popularmente como marco de caos polinomial generalizado (gPC). El marco gPC se ha aplicado a aplicaciones que incluyen dinámica de fluidos estocástica , elementos finitos estocásticos, mecánica de sólidos , estimación no lineal, evaluación de efectos de longitud de palabras finitas en sistemas digitales de punto fijo no lineales y control probabilístico robusto. Se ha demostrado que los métodos basados ​​en gPC son computacionalmente superiores a los métodos basados ​​en Monte-Carlo en varias aplicaciones. ^[9] Sin embargo, el método tiene una limitación notable. Para grandes cantidades de variables aleatorias, el caos polinomial se vuelve muy costoso desde el punto de vista computacional y los métodos de Monte-Carlo suelen ser más factibles. ^[10] ${\displaystyle L_{2}}$

Caos polinomial arbitrario

Recientemente, la expansión del caos recibió una generalización hacia la expansión polinómica arbitraria del caos (aPC), ^[11] que es la llamada generalización basada en datos de la PC. Como todas las técnicas de expansión del caos polinomial, aPC aproxima la dependencia de la salida del modelo de simulación de los parámetros del modelo mediante la expansión en una base polinómica ortogonal. El aPC generaliza las técnicas de expansión del caos hacia distribuciones arbitrarias con medidas de probabilidad arbitrarias, que pueden ser discretas, continuas o continuas discretizadas y pueden especificarse analíticamente (como funciones de densidad de probabilidad/distribución acumulativa), numéricamente como histograma o como conjuntos de datos sin procesar. El aPC en orden de expansión finito sólo exige la existencia de un número finito de momentos y no requiere el conocimiento completo o incluso la existencia de una función de densidad de probabilidad. Esto evita la necesidad de asignar distribuciones de probabilidad paramétricas que no están suficientemente respaldadas por los limitados datos disponibles. Alternativamente, permite a los modeladores elegir libremente, entre restricciones técnicas, las formas de sus supuestos estadísticos. Las investigaciones indican que el aPC muestra una tasa de convergencia exponencial y converge más rápido que las técnicas clásicas de expansión del caos polinómico ^{[ cita requerida ]} . Sin embargo, estas técnicas están en progreso, pero su impacto en los modelos de dinámica de fluidos computacional (CFD) es bastante impresionable.

Caos polinomial e información estadística incompleta

En muchas situaciones prácticas, sólo se dispone de conocimientos estadísticos incompletos e inexactos sobre parámetros de entrada inciertos. Afortunadamente, para construir una expansión de orden finito, sólo se requiere cierta información parcial sobre la medida de probabilidad que pueda representarse simplemente mediante un número finito de momentos estadísticos. Cualquier orden de expansión sólo se justifica si va acompañada de información estadística fiable sobre los datos de entrada. Por tanto, la información estadística incompleta limita la utilidad de las expansiones del caos polinómico de alto orden. ^[12]

Caos polinómico y predicción no lineal.

El caos polinomial se puede utilizar en la predicción de funcionales no lineales de procesos incrementales estacionarios gaussianos condicionados a sus realizaciones pasadas. ^[13] Específicamente, dicha predicción se obtiene derivando la expansión del caos del funcional con respecto a una base especial para el espacio gaussiano de Hilbert generado por el proceso que con la propiedad de que cada elemento base es medible o independiente con respecto al dado. muestras. Por ejemplo, este enfoque conduce a una fórmula de predicción sencilla para el movimiento browniano fraccionario .

Caos polinomial bayesiano

En un entorno no intrusivo, la estimación de los coeficientes de expansión para un conjunto dado de funciones básicas puede considerarse como un problema de regresión bayesiana mediante la construcción de un modelo sustituto . Este enfoque tiene la ventaja de que se encuentran disponibles expresiones analíticas para la evidencia de datos (en el sentido de la inferencia bayesiana ), así como la incertidumbre de los coeficientes de expansión. ^[14] La evidencia puede usarse entonces como medida para la selección de términos de expansión y poda de la serie (ver también Comparación de modelos bayesianos ). La incertidumbre de los coeficientes de expansión se puede utilizar para evaluar la calidad y confiabilidad del PCE y, además, el impacto de esta evaluación sobre la cantidad real de interés . ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle Y}$

Sea un conjunto de pares de datos de entrada-salida que se utiliza para estimar los coeficientes de expansión . Sea la matriz de datos con elementos , sea el conjunto de datos de salida escritos en forma vectorial y sea el conjunto de coeficientes de expansión en forma vectorial. Bajo el supuesto de que la incertidumbre del PCE es de tipo gaussiano con varianza desconocida y un valor previo invariante de escala , el valor esperado para los coeficientes de expansión es ${\displaystyle D=\{\mathbf {X} ^{(j)},Y^{(j)}\}}$ ${\displaystyle j=1,...,N_{s}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]_{ij}=\Psi _{i}(\mathbf {X} ^{(j)})}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}=(Y^{(1)},...,Y^{(j)},...,Y^{(N_{s})})^{T}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}=(c_{1},...,c_{i},...,c_{N_{p}})^{T}}$ ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle {\vec {c}}\rangle =(M^{T}\;M)^{-1}\;M^{T}\;{\vec {Y}}}$

Con , entonces la covarianza de los coeficientes es ^[14] ${\displaystyle H=(M^{T}M)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Cov}}(c_{m},c_{n})={\frac {\chi _{\text{min}}^{2}}{N_{s}-N_{p}-2}}H_{m,n}}$

donde es el desajuste mínimo y es la matriz identidad. La incertidumbre de la estimación del coeficiente viene dada por . Por lo tanto, la incertidumbre de la estimación de los coeficientes de expansión se puede obtener con simples multiplicaciones de matrices vectoriales. Para una función de densidad de probabilidad de entrada dada , se demostró que el segundo momento para la cantidad de interés simplemente es ^[14] ${\displaystyle \chi _{\text{min}}^{2}={\vec {Y}}^{T}(\mathrm {I} -M\;H^{-1}M^{T})\;{\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \mathrm {I} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{Var}}(c_{m})={\text{Cov}}(c_{m},c_{m})}$ ${\displaystyle p(\mathbf {X} )}$

${\displaystyle \langle Y^{2}\rangle =\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\langle c_{m}\rangle \langle c_{m'}\rangle p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{1}}+\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\;{\text{Cov}}(c_{m},c_{m'})\;p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{2}}}$

Esta ecuación suma las multiplicaciones matriz-vector anteriores más la marginación con respecto a . El primer término determina la incertidumbre primaria de la cantidad de interés , obtenida en función del PCE utilizado como sustituto. El segundo término constituye una incertidumbre inferencial adicional (a menudo de tipo mixto aleatorio-epistémico) en la cantidad de interés que se debe a una incertidumbre finita del PCE. ^[14] Si hay suficientes datos disponibles, en términos de calidad y cantidad, se puede demostrar que se vuelve insignificante y se vuelve pequeño ^[14] Esto se puede juzgar simplemente construyendo las razones de los dos términos, por ejemplo . Esta razón cuantifica la cantidad de la propia incertidumbre del PCE en la incertidumbre total y está en el intervalo . Por ejemplo, si , entonces la mitad de la incertidumbre proviene del propio PCE y se pueden tomar medidas para mejorarlo o recopilar más datos. Si , entonces la incertidumbre del PCE es baja y el PCE puede considerarse confiable. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{Var}}(c_{m})}$ ${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 0.5}$ ${\displaystyle {\frac {I_{1}}{I_{1}+I_{2}}}\approx 1}$

En la selección de un modelo sustituto bayesiano, la probabilidad de un modelo sustituto particular, es decir, un conjunto particular de coeficientes de expansión y funciones básicas , viene dada por la evidencia de los datos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle Z_{S}}$

${\displaystyle Z_{S}=\Omega _{N_{p}}\mid H\mid ^{-1/2}(\chi _{\text{min}}^{2})^{-{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {N_{p}}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}}{2}}{\big )}}}}$

donde es la función Gamma , es el determinante de , es el número de datos y es el ángulo sólido en dimensiones, donde es el número de términos en el PCE. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mid H\mid }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle \Omega _{N_{p}}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle N_{p}}$

Se pueden transferir hallazgos análogos al cálculo de índices de sensibilidad basados ​​en PCE . Se pueden obtener resultados similares para Kriging . ^[14]

Ver también

• Polinomios ortogonales
• modelo sustituto
• Análisis de sensibilidad basado en varianza.
• Teorema de Karhunen-Loève
• Espacio de Hilbert
• Descomposición ortogonal adecuada
• regresión bayesiana
• Comparación de modelos bayesianos

Referencias

1. El uso de la palabra "caos" por Norbert Wiener en su publicación de 1938 precede en casi 40 años al uso de "caos" en la rama de las matemáticas llamada teoría del caos . [1]
2. Wiener, Norbert (1938). "El caos homogéneo". Revista Estadounidense de Matemáticas . 60 (4): 897–936. doi :10.2307/2371268. JSTOR  2371268.
3. Ghanem, Roger G.; Spanos, Pol D. (1991), "Método estocástico de elementos finitos: estadísticas de respuesta", Elementos finitos estocásticos: un enfoque espectral , Nueva York, NY: Springer New York, págs. 101–119, doi :10.1007/978-1- 4612-3094-6_4, ISBN 978-1-4612-7795-8, recuperado el 29 de septiembre de 2021
4. Xiu, Dongbin; Karniadakis, George Em (2002). "El caos polinomial de Wiener-Askey para ecuaciones diferenciales estocásticas". Revista SIAM de Computación Científica . 24 (2): 619–644. Código Bib : 2002SJSC...24..619X. doi :10.1137/s1064827501387826. ISSN  1064-8275. S2CID  10358251.
5. Ernst, Oliver G.; Mugler, Antje; Starkloff, Hans-Jörg; Ullmann, Elisabeth (12 de octubre de 2011). "Sobre la convergencia de expansiones del caos polinómico generalizado". ESAIM: Modelización Matemática y Análisis Numérico . 46 (2): 317–339. doi : 10.1051/m2an/2011045 . ISSN  0764-583X.
6. Soize, cristiano; Ghanem, Roger (2004). "Sistemas físicos con incertidumbres aleatorias: representaciones del caos con medida de probabilidad arbitraria". Revista SIAM de Computación Científica . 26 (2): 395–410. Código Bib : 2004SJSC...26..395S. doi :10.1137/s1064827503424505. ISSN  1064-8275. S2CID  39569403.
7. O'Hagan, Anthony. "Caos polinomial: un tutorial y una crítica desde la perspectiva de un estadístico". SIAM/ASA J. Cuantificación de la incertidumbre 20 (2013): 1-20.
8. "Caos polinómico de Wiener para el análisis y control de sistemas dinámicos no lineales con incertidumbres probabilísticas [perspectivas históricas]". Sistemas de control IEEE . 33 (5): 58–67. 2013. doi : 10.1109/MCS.2013.2270410. ISSN  1066-033X. S2CID  5610154.
9. Enstedt, Mattías; Wellander, Niklas (2016). "Cuantificación de la incertidumbre de la propagación de radio mediante caos polinómico" (PDF) . Avances en la investigación electromagnética M . 50 : 205-213. doi :10.2528/PIERM16062101.
10. Días, Fabio; Peters, Gareth W. (2020). Precio de opciones con interpoladores de puente estocásticos de expansión de caos polinomial y dependencia de ruta firmada. pag. 11.
11. Oladyshkin, S.; Nowak, W. (2012). "Cuantificación de la incertidumbre basada en datos utilizando la expansión del caos polinómico arbitrario". Ingeniería de confiabilidad y seguridad de sistemas . 106 : 179-190. doi :10.1016/j.ress.2012.05.002.
12. Oladyshkin, Sergey; Nowak, Wolfgang (2018). "La información estadística incompleta limita la utilidad de las expansiones del caos polinómico de alto orden". Ingeniería de confiabilidad y seguridad de sistemas . 169 : 137-148. doi :10.1016/j.ress.2017.08.010.
13. Alpay, Daniel; Kipnis, Alon (2015). "Enfoque Wiener Chaos para la predicción óptima". Análisis y Optimización Funcional Numérica . 36 (10): 1286-1306. arXiv : 1411.3032 . doi :10.1080/01630563.2015.1065273. S2CID  54744829.
14. Ranftl, Sascha; Von der Linden, Wolfgang (13 de noviembre de 2021). "Análisis sustituto bayesiano y propagación de la incertidumbre". Foro de Ciencias Físicas . 3 (1): 6. arXiv : 2101.04038 . doi : 10.3390/psf2021003006 . ISSN  2673-9984.