esquema askey

Clasificación de polinomios ortogonales.

En matemáticas, el esquema de Askey es una forma de organizar polinomios ortogonales de tipo hipergeométrico o hipergeométrico básico en una jerarquía. Para los polinomios ortogonales clásicos analizados en Andrews y Askey (1985), el esquema de Askey fue elaborado por primera vez por Labelle (1985) y por Askey y Wilson (1985), y desde entonces ha sido ampliado por Koekoek y Swarttouw (1998) y Koekoek, Lesky. & Swarttouw (2010) para cubrir polinomios ortogonales básicos.

Esquema Askey para polinomios ortogonales hipergeométricos.

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010, p.183) dan la siguiente versión del esquema de Askey:

${\displaystyle {}_{4}F_{3}(4)}$

Wilson | Raçah

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(3)}$

Hahn dual continuo | Hahn continuo | Hahn | doble hahn

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(2)}$

Meixner–Pollaczek | Jacobi | Pseudo Jacobi | Meixner | Krawtchouk

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)}$

Laguerre | Bessel | charlie

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(0)}$

ermita

Aquí se indica una representación de serie hipergeométrica con parámetros. ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(n)}$ ${\displaystyle n}$

Esquema Askey para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos.

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010, p.413) dan el siguiente esquema para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos:

_{4 3} ${\displaystyle \phi }$

Askey-Wilson | q-Racah

_{3 2} ${\displaystyle \phi }$

Q-Hahn dual continuo | Continuo q-Hahn | Gran q-Jacobi | q-Hahn | dual q-Hahn

_{2 1} ${\displaystyle \phi }$

Al-Salam-Chihara | q-Meixner–Pollaczek | Continuo q-Jacobi | Gran q-Laguerre | Pequeño q-Jacobi | q-Meixner | Q-Krawtchouk cuántico | q-Krawtchouk | Afín q-Krawtchouk | Doble q-Krawtchouk

_{2 0} / _{1 1} ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Continuo gran q-Hermite | Continuo q-Laguerre | El pequeño q-Laguerre | q-Laguerre | q-Bessel | q-Charlier | Al-Salam-Carlitz I | Al-Salam-Carlitz II

_{1 0} ${\displaystyle \phi }$

Q-Hermite continuo | Stieltjes-Wigert | Discreto q-Hermite I | Discreto q-Hermite II

Lo completo

Si bien existen varios enfoques para construir familias aún más generales de polinomios ortogonales, generalmente no es posible ampliar el esquema de Askey reutilizando funciones hipergeométricas de la misma forma. Por ejemplo, uno podría ingenuamente esperar encontrar nuevos ejemplos dados por

${\displaystyle p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)}$

arriba que corresponde a los polinomios de Wilson. Esto fue descartado en Cheikh, Lamiri y Ouni (2009) bajo el supuesto de que son polinomios de grado 1 tales que ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)}$

para algún polinomio . ${\displaystyle \pi (r)}$

Referencias

• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985), "Polinomios ortogonales clásicos", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alfonso P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes orthogonaux et aplicaciones. Actas del simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc, del 15 al 18 de octubre de 1984. Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 36–62, doi :10.1007/BFb0076530, ISBN 978-3-540-16059-5, señor  0838970
• Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Algunos polinomios ortogonales hipergeométricos básicos que generalizan los polinomios de Jacobi", Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 54 (319): iv+55, doi :10.1090/memo/0319, ISBN 978-0-8218-2321-7, ISSN  0065-9266, SEÑOR  0783216
• Cheikh, Y. Ben; Lamiri, I.; Ouni, A. (2009), "Sobre el esquema de Askey y la ortogonalidad d, I: un teorema de caracterización", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 : 621–629
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), El esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos y su análogo q, vol. 98–17, Universidad Tecnológica de Delft, Facultad de Sistemas y Tecnologías de la Información, Departamento de Matemáticas Técnicas e Informática
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, señor  2656096
• Koornwinder, Tom H. (1988), "Interpretaciones teóricas grupales del esquema de polinomios ortogonales hipergeométricos de Askey", Polinomios ortogonales y sus aplicaciones (Segovia, 1986), Lecture Notes in Math., vol. 1329, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 46–72, doi :10.1007/BFb0083353, ISBN 978-3-540-19489-7, señor  0973421
• Labelle, Jacques (1985), "Tableau d'Askey", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alfonso P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Actas del Simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xxxvi–xxxvii, doi :10.1007/BFb0076527, ISBN 978-3-540-16059-5, señor  0838967