Ecuación de Kardar-Parisi-Zhang

Ecuación diferencial parcial estocástica no lineal

En matemáticas , la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) es una ecuación diferencial parcial estocástica no lineal , introducida por Mehran Kardar , Giorgio Parisi y Yi-Cheng Zhang en 1986. ^{[1] [2]} Describe el cambio temporal de un campo de altura con coordenadas espaciales y coordenadas temporales : ${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;.}$

Aquí hay ruido gaussiano blanco con promedio ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0}$

y segundo momento

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t'),}$

${\displaystyle \nu }$, , y son parámetros del modelo, y es la dimensión. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$

En una dimensión espacial, la ecuación KPZ corresponde a una versión estocástica de la ecuación de Burgers con campo mediante la sustitución . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u=-\lambda \,\partial h/\partial x}$

A través del grupo de renormalización , se conjetura que la ecuación KPZ es la teoría de campo de muchos modelos de crecimiento de superficie , como el modelo Eden , la deposición balística y el modelo de proceso sólido sobre sólido (SOS) de un solo paso débilmente asimétrico. Bertini y Giacomin han proporcionado una prueba rigurosa en el caso del modelo SOS. ^[3]

Clase de universalidad KPZ

Muchos sistemas de partículas en interacción , como el proceso de exclusión simple totalmente asimétrico , se encuentran en la clase de universalidad KPZ . Esta clase se caracteriza por los siguientes exponentes críticos en una dimensión espacial (dimensión 1+1): el exponente de rugosidad , el exponente de crecimiento y el exponente dinámico . Para verificar si un modelo de crecimiento está dentro de la clase KPZ, se puede calcular el ancho de la superficie: ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle z={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle W(L,t)=\left\langle {\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}{\big (}h(x,t)-{\bar {h}}(t){\big )}^{2}\,dx\right\rangle ^{1/2},}$

donde es la altura media de la superficie en el momento y es el tamaño del sistema. Para los modelos dentro de la clase KPZ, las principales propiedades de la superficie se pueden caracterizar mediante la relación de escala de la rugosidad de Family - Vicsek ^[4]. ${\displaystyle {\bar {h}}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle h(x,t)}$

${\displaystyle W(L,t)\approx L^{\alpha }f(t/L^{z}),}$

con una función de escala que satisface ${\displaystyle f(u)}$

${\displaystyle f(u)\propto {\begin{cases}u^{\beta }&\ u\ll 1\\1&\ u\gg 1\end{cases}}}$

En 2014, Hairer y Quastel demostraron que, de manera más general, las siguientes ecuaciones similares a KPZ se encuentran dentro de la clase de universalidad KPZ: ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+P\left(\nabla h\right)+\eta ({\vec {x}},t)\;,}$

donde es cualquier polinomio de grado par . ${\displaystyle P}$

Una familia de procesos que se considera que son límites universales en la clase de universalidad KPZ (1+1) y que gobiernan las fluctuaciones de largo tiempo son los procesos de Airy y el punto fijo KPZ .

Solución de la ecuación KPZ

Debido a la no linealidad de la ecuación y a la presencia de ruido blanco espacio-temporal , se sabe que las soluciones de la ecuación KPZ no son suaves o regulares, sino más bien " fractales " o " rugosas ". Incluso sin el término no lineal, la ecuación se reduce a la ecuación de calor estocástica , cuya solución no es diferenciable en la variable espacial pero satisface una condición de Hölder con exponente menor que 1/2. Por lo tanto, el término no lineal está mal definido en un sentido clásico. ${\displaystyle \left(\nabla h\right)^{2}}$

En 2013, Martin Hairer hizo un gran avance en la resolución de la ecuación KPZ mediante una extensión de la transformación de Cole-Hopf y la construcción de aproximaciones utilizando diagramas de Feynman . ^[5] En 2014, recibió la Medalla Fields por este trabajo sobre la ecuación KPZ, junto con la teoría de trayectorias aproximadas y las estructuras de regularidad . Se encontraron 6 soluciones analíticas autosimilares diferentes para la ecuación KPZ (1+1) con diferentes términos de ruido analítico. ^[6]

Derivación física

Esta derivación es de ^[7] y. ^[8] Supongamos que queremos describir un crecimiento de superficie mediante alguna ecuación diferencial parcial . Sea α la altura de la superficie en la posición y el tiempo . Sus valores son continuos. Esperamos que haya una especie de mecanismo de suavizado . Entonces, la ecuación más simple para el crecimiento de la superficie puede tomarse como la ecuación de difusión , ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}}$

Pero esta es una ecuación determinista , lo que implica que la superficie no tiene fluctuaciones aleatorias. La forma más sencilla de incluir fluctuaciones es agregar un término de ruido . Luego podemos emplear la ecuación

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t),}$

con tomado como el ruido blanco gaussiano con media cero y covarianza . Esto se conoce como la ecuación de Edwards-Wilkinson (EW) o ecuación de calor estocástica con ruido aditivo (SHE). Dado que se trata de una ecuación lineal, se puede resolver exactamente mediante el análisis de Fourier . Pero como el ruido es gaussiano y la ecuación es lineal, las fluctuaciones observadas para esta ecuación siguen siendo gaussianas. Esto significa que la ecuación EW no es suficiente para describir el crecimiento de la superficie de interés, por lo que necesitamos agregar una función no lineal para el crecimiento. Por lo tanto, el cambio del crecimiento de la superficie en el tiempo tiene tres contribuciones. La primera modela el crecimiento lateral como una función no lineal de la forma . La segunda es una relajación , o regularización , a través del término de difusión , y la tercera es el forzamiento del ruido blanco . Por lo tanto, ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E[\eta (x,t)\eta (x',t')]=\delta (x-x')\delta (t-t')}$ ${\displaystyle F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial ^{2}x}}}$ ${\displaystyle \eta (x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t)}$

Se supone que el término clave , la parte determinista del crecimiento, es una función únicamente de la pendiente y una función simétrica. Una gran observación de Kardar, Parisi y Zhang (KPZ) ^[1] fue que mientras una superficie crece en una dirección normal (a la superficie), estamos midiendo la altura en el eje de altura, que es perpendicular al eje del espacio, y por lo tanto debería aparecer una no linealidad proveniente de este simple efecto geométrico. Cuando la pendiente de la superficie es pequeña, el efecto toma la forma , pero esto conduce a una ecuación aparentemente intratable. Para sortear esta dificultad, se puede tomar una general y expandirla como una serie de Taylor , ${\displaystyle F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)}$ ${\displaystyle \partial _{x}h={\tfrac {\partial h}{\partial x}}}$ ${\displaystyle F(\partial _{x}h)=(1+|\partial _{x}h|^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(s)=F(0)+F'(0)s+{\frac {1}{2}}F''(0)s^{2}+...}$

El primer término se puede eliminar de la ecuación mediante un cambio de tiempo, ya que si resuelve la ecuación KPZ, entonces resuelve ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x,t)-\lambda F(0)t}$

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F(0)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

El segundo debería desaparecer debido a la simetría de , pero de todos modos podría haber sido eliminado de la ecuación mediante un cambio de velocidad constante de coordenadas, ya que si resuelve la ecuación KPZ, entonces resuelve ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x-\lambda F'(0)t,t-\lambda F'(0)x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F'(0){\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {h}}(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

Así, el término cuadrático es la primera contribución no trivial y es la única que se conserva. Llegamos a la ecuación KPZ

${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda \left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$

Véase también

• Ecuación de Fokker-Planck
• Fractal
• Teoría cuántica de campos
• Grupo de renormalización
• Camino áspero
• Ecuación diferencial parcial estocástica
• Crecimiento superficial
• Distribución de Tracy-Widom
• Universalidad (sistemas dinámicos)

Fuentes

1. Kardar, Mehran; Parisi, Giorgio; Zhang, Yi-Cheng (3 de marzo de 1986). "Escalamiento dinámico de interfaces en crecimiento". Physical Review Letters . 56 (9): 889–892. Código Bibliográfico :1986PhRvL..56..889K. doi :10.1103/PhysRevLett.56.889. PMID  10033312.
2. Hairer, Martin; Quastel, J (2014), Universalidad débil de la ecuación KPZ (PDF)
3. Bertini, Lorenzo; Giacomin, Giambattista (1997). "Ecuaciones estocásticas de Burgers y KPZ a partir de sistemas de partículas". Communications in Mathematical Physics . 183 (3): 571–607. Bibcode :1997CMaPh.183..571B. CiteSeerX 10.1.1.49.4105 . doi :10.1007/s002200050044. S2CID  122139894. 
4. Familia, F. ; Vicsek, T. (1985). "Escalamiento de la zona activa en el proceso Eden sobre redes de percolación y el modelo de deposición balística". Journal of Physics A: Mathematical and General . 18 (2): L75–L81. Bibcode :1985JPhA...18L..75F. doi :10.1088/0305-4470/18/2/005.
5. Hairer, Martin (2013). "Resolución de la ecuación KPZ". Anales de Matemáticas . 178 (2): 559–664. arXiv : 1109.6811 . doi :10.4007/annals.2013.178.2.4. S2CID  119247908.
6. Barna, Imre Ferenc; Bognár, Gabriella; Mahoma, Guedda; Hriczó, Krisztián; Mátyás, László (2020). "Soluciones analíticas autosimilares de la ecuación creciente de la interfaz Kardar-Parisi-Zhang con varios términos de ruido". Modelado y Análisis Matemático . 25 (2): 241–257. Código Bib : 2019arXiv190401838F. doi : 10.3846/mma.2020.10459 . S2CID  102487227.
7. "Notas de la conferencia de Jeremy Quastel" (PDF) .
8. Tomohiro, Sasamoto (2016). "La ecuación 1D de Kardar-Parisi-Zhang: distribución de alturas y universalidad". Progreso de la física teórica y experimental . 2016 (2). doi : 10.1093/ptep/ptw002 .

Lectura adicional

• Barabási, A.- L.; Stanley, HE (13 de abril de 1995). "6 - Ecuación de Kardar–Parisi–Zhang". Conceptos fractales en crecimiento superficial (1.ª ed.). Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511599798.008. ISBN 978-0-521-48308-7.
• Corwin, Ivan (2011). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang y la clase de universalidad". arXiv : 1106.1596 [math.PR].
• "Notas de la clase de Jeremy Quastel" (PDF) .
• Tomohiro, Sasamoto (2016). "La ecuación 1D de Kardar-Parisi-Zhang: distribución de alturas y universalidad". Progreso de la física teórica y experimental . 2016 (2). doi : 10.1093/ptep/ptw002 .