Punto fijo del KPZ

En teoría de probabilidad , el punto fijo KPZ es un campo de Markov y se conjetura que es un límite universal de una amplia gama de modelos estocásticos que forman la clase de universalidad de una ecuación diferencial parcial estocástica no lineal llamada ecuación KPZ . Aunque la clase de universalidad ya se introdujo en 1986 con la propia ecuación KPZ, el punto fijo KPZ no se especificó concretamente hasta 2021, cuando los matemáticos Konstantin Matetski, Jeremy Quastel y Daniel Remenik dieron una descripción explícita de las probabilidades de transición en términos de determinantes de Fredholm . ^[1]

Introducción

Todos los modelos de la clase KPZ tienen en común que tienen una función de altura fluctuante o alguna función análoga, que puede considerarse como una función, que modela el crecimiento del modelo en el tiempo. La ecuación KPZ en sí misma también es miembro de esta clase y del modelo canónico de modelado del crecimiento aleatorio de la interfaz. La conjetura de universalidad fuerte de KPZ conjetura que todos los modelos de la clase de universalidad KPZ convergen bajo una escala específica de la función de altura al punto fijo de KPZ y solo dependen de la condición inicial.

Matetski-Quastel-Remenik construyeron el punto fijo KPZ para la clase de universalidad KPZ de dimensión dimensional (es decir, una dimensión espacial y una temporal) en el espacio de pulido de funciones semicontinuas superiores (UC) con la topología de convergencia UC local. Lo hicieron estudiando un modelo particular de la clase de universalidad KPZ, el TASEP („Proceso de exclusión simple totalmente asimétrico“) con condiciones iniciales generales y el recorrido aleatorio de su función de altura asociada. Lo lograron reescribiendo la función biortogonal del núcleo de correlación, que aparece en la fórmula del determinante de Fredholm para la distribución multipunto de las partículas en la cámara de Weyl . Luego demostraron la convergencia al punto fijo. ^[1] ${\displaystyle (1+1)}$

Punto fijo del KPZ

Sea una función de altura de algún modelo probabilístico con que denota espacio-tiempo. Hasta ahora solo se ha estudiado en profundidad el caso de , también señalado como , por lo tanto, fijamos esta dimensión para el resto del artículo. En la clase de universalidad KPZ existen dos puntos de equilibrio o puntos fijos, el punto fijo trivial de Edwards-Wilkinson (EW) y el punto fijo no trivial de KPZ . La ecuación de KPZ los conecta entre sí. ${\displaystyle h(t,{\vec {x}})}$ ${\displaystyle (t,{\vec {x}})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle (1+1)}$

El punto fijo KPZ se define más bien como una función de altura y no como un modelo particular con una función de altura. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(t,{\vec {x}})}$

Punto fijo del KPZ

El punto fijo KPZ es un proceso de Markov, de modo que la distribución de n puntos para y se puede representar como ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(I-K)_{L^{2}(\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

donde y es un operador de clase de traza llamado operador de dispersión browniana extendida y el subíndice significa que el proceso en comienza. ^[1] ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,\cdot )}$

Conjeturas sobre la universalidad del KPZ

La conjetura KPZ supone que la función de altura de todos los modelos en la universalidad KPZ fluctúa en el tiempo alrededor de la media con un orden de y la correlación espacial de la fluctuación es del orden de . Esto motiva la denominada escala 1:2:3, que es la escala característica del punto fijo KPZ. El punto fijo EW también tiene una escala 1:2:4 . Los puntos fijos son invariantes bajo su escala asociada. ${\displaystyle h(t,{\vec {x}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{1/3}}$ ${\displaystyle t^{2/3}}$

Escala 1:2:3

La escala 1:2:3 de una función de altura es para ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}h(\varepsilon ^{-3/2}t,\varepsilon ^{-1}x)-C_{\varepsilon }t,}$

donde 1:3 y 2:3 representan las proporciones de los exponentes y es solo una constante. ^[2] ${\displaystyle C_{\varepsilon }}$

Conjetura fuerte

La conjetura fuerte dice que todos los modelos en la clase de universalidad KPZ convergen bajo una escala 1:2:3 de la función de altura si sus condiciones iniciales también convergen, es decir

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

con condición inicial

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),}$

donde son constantes que dependen del modelo. ^[3] ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$

Conjetura débil

Si eliminamos el término de crecimiento en la ecuación KPZ, obtenemos

${\displaystyle \partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,}$

que converge bajo la escala 1:2:4

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

al punto fijo EW. La conjetura débil dice ahora que la ecuación KPZ es la única órbita heteroclínica entre el punto fijo KPZ y EW.

Proceso aireado

Si uno fija la dimensión del tiempo y mira el límite

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathcal {A}}(x),}$

Entonces se obtiene el proceso de Airy que también ocurre en la teoría de matrices aleatorias . ^[4] ${\displaystyle ({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }}$

Referencias

1. Matetski, Konstantin; Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2021). "El punto fijo KPZ". Acta Mathematica . 227 (1). Prensa internacional de Boston: 115–203. arXiv : 1701.00018 . doi :10.4310/acta.2021.v227.n1.a3.
2. Ivan Corwin (2012). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang y la clase de universalidad". Matrices aleatorias: teoría y aplicaciones . 1 (1). arXiv : 1106.1596 . doi :10.1142/S2010326311300014.
3. Corwin, Ivan; Quastel, Jeremy; Remenik, Daniel (2015). "Punto fijo de renormalización de la clase de universalidad KPZ". Revista de física estadística . 160 (4). Springer Science and Business Media LLC: 815–834. arXiv : 1103.3422 . Código Bibliográfico :2015JSP...160..815C. doi :10.1007/s10955-015-1243-8.
4. Daniel Remenik (2022). "Fluctuaciones integrables en la clase de universalidad KPZ". Contribución a las Actas del ICM 2022. arXiv : 2205.01433 .